Многоугольник

Различные типы многоугольников

Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Если граничная ломаная не имеет точек самопересечения, многоугольник называется простым^[1]. Например, треугольники и квадраты — простые многоугольники, а пентаграмма — нет.

Точки перелома ломаной называются вершинами многоугольника, а её звенья — сторонами многоугольника. Число сторон многоугольника совпадает с числом его вершин^[2].

Правильный тринадцатиугольник — многоугольник, у которого 13 равных сторон, углов и 13 вершин.

Варианты определений

Существуют два различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым^[1]:

• одномерный многоугольник — замкнутая ломаная (не обязательно плоская) без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
• двумерный многоугольник, или многоугольная фигура — часть плоскости, ограниченная замкнутой плоской ломаной без самопересечений; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

Существуют также несколько вариантов обобщения данного определения, допускающие бесконечное число звеньев ломаных, несколько несвязных граничных ломаных, ломаные в пространстве, произвольные отрезки непрерывных кривых вместо отрезков прямых и др.^[1]

Связанные определения

Основной источник: ^[2]

• Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
• Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
• Общая длина всех сторон многоугольника называется его периметром.
• Диагоналями называются отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника.
• Углом (или внутренним углом) плоского многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами, сходящимися в этой вершине. Угол может превосходить ${\displaystyle 180^{\circ }}$ в том случае, если многоугольник невыпуклый. Число углов простого многоугольника совпадает с числом его сторон или вершин.
• Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В случае невыпуклого многоугольника внешний угол — разность между ${\displaystyle 180^{\circ }}$ и внутренним углом, он может принимать значения от ${\displaystyle -180^{\circ }}$ до ${\displaystyle 180^{\circ }}$.
• Перпендикуляр, опущенный из центра вписанной окружности правильного многоугольника на одну из сторон, называется апофемой.

Виды многоугольников и их свойства

Основной источник: ^[2]

• Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и так далее. Многоугольник с ${\displaystyle n}$ вершинами называется ${\displaystyle n}$-угольником.

Многоугольник, вписанный в окружность

Многоугольник, описанный около окружности

• Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника. Выпуклый многоугольник всегда простой, то есть не имеет точек самопересечения.
• Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник. Символ Шлефли правильного ${\displaystyle n}$-угольника равен ${\displaystyle \{n\}}$.
• Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.
• Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности. Сама окружность при этом называется описанной, а её центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника. Любой треугольник является вписанным в некоторую окружность.
• Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной, а её центр лежит на пересечении биссектрис углов многоугольника. Любой треугольник является описанным около некоторой окружности.
• Выпуклый четырёхугольник называется внеописанным около окружности, если продолжения всех его сторон (но не сами стороны) касаются некоторой окружности.^[3] Окружность при этом называется вневписанной. Вневписанная окружность существует также и у произвольного треугольника.

Общие свойства

Неравенство треугольника

Неравенство треугольника влечёт, что любая сторона многоугольника меньше суммы остальных его сторон.

Теорема о сумме углов многоугольника

Сумма внутренних углов простого плоского ${\displaystyle n}$-угольника равна^[4] ${\displaystyle 180^{\circ }(n-2)}$. Сумма внешних углов не зависит от числа сторон и всегда равна ${\displaystyle 360^{\circ }.}$

Число диагоналей

• Число диагоналей всякого ${\displaystyle n}$-угольника равно ${\displaystyle {\tfrac {n(n-3)}{2}}}$.

Площадь

Пусть ${\displaystyle \{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,...,n}$ — последовательность координат соседних друг другу вершин ${\displaystyle n}$-угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})\right|}$, где ${\displaystyle (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})}$.

Если даны длины сторон многоугольника и азимутальные углы сторон, то площадь многоугольника может быть найдена по формуле Саррона ^[5].

Площадь правильного ${\displaystyle n}$-угольника вычисляется по одной из формул^[6]:

• половина произведения периметра ${\displaystyle n}$-угольника на апофему:
• ${\displaystyle S={\frac {n}{4}}\ a^{2}\mathop {\mathrm {} } \,\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}}$.
• ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}nR^{2}\sin {\frac {360^{\circ }}{n}};}$
• ${\displaystyle S=nr^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}$

где ${\displaystyle a}$ — длина стороны многоугольника, ${\displaystyle R}$ — радиус описанной окружности, ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности.

Квадрируемость фигур

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура ${\displaystyle F}$ называется квадрируемой, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует пара многоугольников ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$, таких, что ${\displaystyle P\subset F\subset Q}$ и ${\displaystyle S(Q)-S(P)<\varepsilon }$, где ${\displaystyle S(P)}$ обозначает площадь ${\displaystyle P}$.

Ориентированный многоугольник

Обзорная статья: Ориентация

Выпуклый ориентированный многоугольник с отрицательной ориентацией площади

Рассмотрим произвольный многоугольник (не обязательно на плоскости), то есть замкнутую ломаную линию^[7][8][9].

Ориентированный многоугольник, или замкнутый многоугольный путь, — многоугольник (возможно, самопересекающийся), у которого (см. рисунок справа с выпуклым многоугольником)^[7][8][9]:

• на каждой стороне задано направление, то есть одна из вершин стороны выбрана начальной, а другая — конечной;
• начало каждой стороны есть конец предыдущей.

Ориентация площади простого многоугольника — площадь области плоскости, ограниченной ориентированным простым (то есть не самопересекающимся) плоским многоугольником, назначается положительной, если обход многоугольника по направлению его сторон происходит против часовой стрелки, то есть эта область плоскости остаётся слева при обходе, и отрицательной в противоположном случае (см. рисунок справа с отрицательной ориентацией площади)^[7][8][9].

Определим площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника, который делит плоскость на фиксированное количество связных кусков^[7][8].

Коэффициент куска самопересекающегося ориентированного многоугольника — разность ${\displaystyle p-q}$, где числа ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ получаются следующим образом^[7][8]:

• точка, внешняя по отношению к многоугольнику части плоскости, соединяется отрезком с внутренней точкой выбранного куска;
• направленный многоугольник пересекает этот отрезок ${\displaystyle p}$ раз слева направо и ${\displaystyle q}$ справа налево.

Утверждение 1. Коэффициент куска самопересекающегося ориентированного многоугольника не зависит от положения внешней точки многоугольника и может быть равен положительному или отрицательному целому числу или нулю^[7][8].

Площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника — взвешенная сумма обычных площадей всех кусков самопересекающегося многоугольника, в которой обычная площадь куска умножается на его коэффициент^[7][8].

Практическое применение. Площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника важна для теории математических приборов^[англ.], в частности, для теории планиметра. В этом случае площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника равна следующим величинам:

• ${\displaystyle \oint {\frac {\rho ^{2}dw}{2}}}$ в полярных координатах ${\displaystyle (\rho ,w)}$;
• ${\displaystyle \oint ydx}$ в декартовых координатах ${\displaystyle (x,y)}$,

где соответственно конец радиус-вектора ${\displaystyle \rho }$ или ордината ${\displaystyle y}$ один раз пробегают данный замкнутый многоугольный путь^[7].

Вариации и обобщения

• Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.

Примечания

1. Многоугольник // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 749—752. Архивировано 16 октября 2013 года.
2. Элементарная математика, 1976, с. 383—384.
3. Картаслов.ру
4. Элементарная математика, 1976, с. 499.
5. Хренов Л. С. Вычисление площадей многоугольников по способу Саррона Архивная копия от 19 июля 2020 на Wayback Machine // Математическое просвещение. 1936. Выпуск 6. С. 12—15
6. Элементарная математика, 1976, с. 503—504.
7. Многоугольник, 1974, 376.
8. Делоне Б. Н. Многоугольник, 1988.
9. Сидоров Л. А. Многоугольник, 1982, 749.

Источники

• Делоне Б. Н. Многоугольник // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 378—379.
• Многоугольник // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1974. Т. 16. Мёзия — Моршанск. 1974. 616 с. с илл., 28 л. илл., 4 л. карт. С. 376—377. Многоугольник // БСЭ 3-е издание. Основной вариант Архивная копия от 7 апреля 2023 на Wayback Machine
• Сидоров Л. А. Многоугольник // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 3 Коо—Од. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб., ил. Стб. 749—752.

Литература

• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Polygon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.