Описанный многоугольник

Описанная трапеция

Описанный многоугольник, известный также как тангенциальный многоугольник — это выпуклый многоугольник, который содержит вписанную окружность. Это такая окружность, по отношению к которой каждая сторона описанного многоугольника является касательной. Двойственный многоугольник^[англ.] описанного многоугольника — это многоугольник, который имеет описанную окружность, проходящую через все его вершины.

Все треугольники являются описанными для какой-либо окружности, как и все правильные многоугольники с произвольным числом сторон. Хорошо изученная группа описанных многоугольников — описанные четырёхугольники, куда входят ромбы и дельтоиды.

Описания

Выпуклый многоугольник имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда все внутренние биссектрисы его углов конкурентны^[англ.] (пересекаются в одной точке) и эта общая точка пересечения является центром вписанной окружности^[1].

Описанный многоугольник с n последовательными сторонами ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ существует тогда и только тогда, когда система уравнений

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=a_{1},\quad x_{2}+x_{3}=a_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n}+x_{1}=a_{n}}$

имеет решение ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ в положительных вещественных числах ^[2]. Если такое решение существует, то ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ являются касательными длинами многоугольника (длинами от вершины до точки касания на стороне).

Единственность и неединственность

Если число сторон n нечётно, то для любого заданного набора длин сторон ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$, удовлетворяющих критерию выше, существует только один описанный многоугольник. Но если n чётно, существует их бесконечное число^[3]. Например, в случае четырёхугольника, когда все стороны равны, мы будем иметь ромб с любой величиной острого угла и все эти ромбы будут описаны вокруг какой-либо окружности.

Радиус вписанной окружности

Если длины сторон описанного многоугольника равны ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$, то радиус вписанной окружности равен^[4].

${\displaystyle r={\frac {K}{s}}={\frac {2K}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}}$

где K — площадь многоугольника, а s — его полупериметр. (Поскольку все треугольники имеют вписанную окружность, эта формула применима ко всем треугольникам.)

Другие свойства

• Для описанного многоугольника с нечётным числом сторон все стороны равны тогда и только тогда, когда углы равны (многоугольник правильный). Описанный многоугольник с чётным числом сторон имеет все стороны равными тогда и только тогда, когда чередующиеся углы равны.
• В описанном многоугольнике с чётным числом сторон сумма длин нечётных сторон равна сумме длин чётных сторон^[2].
• Описанный многоугольник имеет бо́льшую площадь, чем любой другой многоугольник с тем же периметром и теми же внутренними углами в той же последовательности^[5][6].
• Барицентр любого описанного многоугольника, барицентр его точек границы и центр вписанной окружности коллинеарны и барицентр многоугольника находится между двумя другими указанными центрами и вдвое дальше от центра вписанной окружности, чем от барицентра границы^[7].

Описанный треугольник

Все треугольники имеют некоторую вписанную окружность. Треугольник называется тангенциальным треугольником рассматриваемого треугольника, если все касания тангенциального треугольника окружности также являются вершинами рассматриваемого треугольника.

Описанный четырёхугольник

Основная статья: Описанный четырёхугольник

Описанный шестиугольник

Конкурентные главные диагонали

• В описанном шестиугольнике ABCDEF главные диагонали AD, BE и CF конкурентны^[англ.] согласно теореме Брианшона.

Примечания

1. Byer, Lazebnik, Smeltzer, 2010, с. 77.
2. Djukić, Janković, Matić, Petrović, 2006, с. 561.
3. Hess, 2014, с. 389.
4. Alsina, Nelsen, 2011, с. 125.
5. Apostol, Mnatsakanian, 2004, с. 862.
6. Apostol, 2005, с. 946.
7. Apostol, Mnatsakanian, 2004, с. 858-9.

Литература

• Albrecht Hess. On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2014. — Т. 14. — С. 389–396.
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Icons of Mathematics. An exploration of twenty key images. — Mathematical Association of America, 2011. — Т. 45. — (Dolciani Mathematical Expositions).
• Michael De Villiers. Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons // Mathematical Gazette. — 2011. — Март (вып. 95).
• Owen Byer, Felix Lazebnik, Deirdre Smeltzer. Methods for Euclidean Geometry. — Mathematical Association of America, 2010. — ISBN 9780883857632.
• Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović. The IMO Compendium. A collection of Problems Suggested for The International Mathematical Olympiads: 1959-2009. — Springer, 2006. — ISBN 978-1-4419-9853-8.
• Tom M. Apostol, Mamikon A. Mnatsakanian. Figures Circumscribing Circles // American Mathematical Monthly. — 2004. — Декабрь (т. 111). — С. 853–863. — doi:10.2307/4145094.
• Tom Apostol. =erratum // American Mathematical Monthly. — 2005. — Декабрь (т. 112, вып. 10). — doi:10.1080/00029890.2005.11920274.