Notacja Diraca

Notacja Diraca (nawiasy Diraca, notacja bra-ket) – wprowadzony w 1939 przez Paula Diraca[1] do mechaniki kwantowej, sposób zapisywania działania form liniowych na stany kwantowe.

  • tzw. bra, zapisywane „”, oznacza funkcjonał liniowy na przestrzeni (gdy jest przestrzenią Hilberta, zapis ten oznacza zwykle ciągły funkcjonał liniowy).

Działanie funkcjonału na wektorze zapisywane jest jako

Nazwy te biorą się z oznaczania iloczynu skalarnego dwóch stanów za pomocą nawiasu Po angielsku nawias to bracket, i stąd lewa i prawa część nawiasu to odpowiednio bra i ket. Notacja Diraca inspirowana była notacją używaną przez Grassmanna w operacjach na iloczynie skalarnym prawie 100 lat wcześniej.

Przestrzeń wektorowa

Wstęp

 Osobny artykuł: Przestrzeń wektorowa.

Aby lepiej wyobrazić sobie, czym jest notacja Diraca, dobrze jest rozpatrzyć wektor w trójwymiarowej przestrzeni wektorowej rozpiętej nad ciałem liczb rzeczywistych, co zapiszemy:

Wektor może być zapisany jako liniowa kombinacja wektorów bazowych:

gdzie wektory liniowo niezależne (a więc tworzą bazę), a liczby to odpowiadające im współrzędne.

W ogólności kiedy wektor znajduje się w N-wymiarowej przestrzeni wektorowej nad ciałem (gdzie to np. lub ), wektor jest nadal kombinacją liniową wektorów bazowych:

Jednak może być wektorem w zespolonej przestrzeni Hilberta, a taka przestrzeń może mieć nieskończoną liczbę wymiarów. Wtedy w reprezentacji macierzowej byłoby nieskończenie wiele współrzędnych zespolonych. Przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń .

Notacja ket

Zamiast używać standardowych symboli, notacja Diraca używa dla wektorów pionowych kresek i trójkątnych nawiasów: Tak zapisane wektory nazywają się ket, a czytane jako ket-A. Można zapisać rozważany poprzednio wektor jako

co można zapisać w skrócie

gdzie oznaczają odpowiednio wektory jednostkowe

Iloczyn skalarny i notacja ket

 Osobny artykuł: iloczyn skalarny.

Iloczynem skalarnym dwóch wektorów jest liczba zespolona. Notacja Diraca posiada specjalny zapis dla iloczynu skalarnego

W trójwymiarowej przestrzeni zespolonej z półtoraliniowym iloczynem skalarnym (jak przestrzeń )

gdzie oznacza sprzężenie zespolone. W przypadku, gdy iloczyn skalarny jest kwadratem długości tego wektora

W notacji Diraca iloczyn skalarny można podzielić na dwie części, „bra” i „ket”

gdzie nazywane jest bra i czytane jako bra-A, a to ket.

Powodem, dla którego dzielimy iloczyn skalarny na bra i ket, jest to, iż obydwa obiekty mają swój własny sens i mogą być użyte w innym kontekście niż w iloczynie skalarnym. Można o nich myśleć na dwa sposoby.

Bra i kety jako macierze

Dla przestrzeni wektorowej o skończonej liczbie wymiarów, używając ustalonych wektorów jednostkowych, iloczyn skalarnych można zapisać jako mnożenie macierzy postaci

Na tej podstawie można zdefiniować bra jako:

Sprzężenie hermitowskie bra to odpowiadające mu ket i vice versa:

ponieważ jeśli zastosuje się sprzężenie zespolone i transpozycje macierzy, to z:

otrzyma się:

Bra jako operator liniowy na ket

Równoważną definicją jest przyjęcie, że bra jest funkcjonałem linowym na ket, czyli operatorem, który z ket produkuje liczbę zespoloną.

Inaczej mówiąc, przestrzeń wektorowa bra jest przestrzenią dualną do przestrzeni wektorowej ket, a odpowiadające sobie ket i bra są w relacji według twierdzenia Riesza.

Zastosowanie w mechanice kwantowej

Aparat matematyczny mechaniki kwantowej w dużej części bazuje na algebrze liniowej:

  • Funkcje falowe i stany kwantowe mogą być przedstawione jako wektory w zespolonej przestrzeni Hilberta. (Szczególna struktura tej przestrzeni zależy od wybranej sytuacji). Przykładowym stwierdzeniem wykorzystującym notację Diraca mogłoby być „Elektron znajduje się w stanie ”. (Technicznie stany kwantowe są kierunkami wektorów w przestrzeni Hilberta; oznacza to, że stan c odnosi się do tego samego stanu dla każdego zespolonego c).
  • Superpozycje stanów kwantowych mogą być opisane jako suma wektorów stanów składowych. Przykładowo stan elektronu jest superpozycją stanów i
  • Pomiary w mechanice kwantowej są związane z operatorami liniowymi (zwanych obserwablami) w przestrzeni Hilberta stanów kwantowych.
  • Normalizacja funkcji falowej ustala jej normę na 1.

Praktycznie wszystkie obliczenia w mechanice kwantowej zawierają wektory i operatory liniowe, dlatego można do nich wykorzystywać notację bra-ket. Pokazują to następujące przykłady:

Oznaczenia w notacji Diraca

  • wektory bazowe oznacza się: gdzie
  • wektory bazowe sprzężone hermitowsko: oraz
  • iloczyn skalarny wektorów z bazy ortonormalnej i wektorów z bazy
  • iloczyn tensorowy wektorów bazowych:
  • sprzężenie hermitowskie iloczynu tensorowego:
  • wektor o współrzędnych zapisany w bazie
  • Inne wektory bazowe można oznaczyć na przykład:
  • Operatory (macierze) oznacza się na przykład operator jednostkowy:

Przypisy

  1. PAM Dirac. A new notation for quantum mechanics. „Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society”. 35 (3), s. 416–418, 1939. DOI: 10.1017/S0305004100021162. 

Linki zewnętrzne

Read other articles:

Esta página cita fontes, mas que não cobrem todo o conteúdo. Ajude a inserir referências. Conteúdo não verificável pode ser removido.—Encontre fontes: ABW  • CAPES  • Google (N • L • A) (Dezembro de 2019) Coordenadas: 46° 10' N 7° 36' E Ayer Comuna da Suíça Brasão de armas Administração Cantão Valais Distrito Sierre Localização(ões) Cuimey, La Comba, Le Bouillet, Les Morands, Mission, Mottec, Pralong, Zinal Comu...

 

Turismo CarreteraKategoriMobil stokNegara atau daerah ArgentinaMusim pertama1937Juara pembalap Omar MartínezJuara timMartínez CompeticiónJuara pabrikanFordSitus webACTC.org.ar Turismo Carretera (Bahasa Inggris: Road Touring, bahasa Indonesia: Turing Jalanan) merupakan sebuah ajang balap mobil turing yang berasal dan diselenggarakan di Argentina. Digelar sejak tahun 1937, ajang ini menjadi ajang seri balap mobil paling tua di dunia yang masih aktif dan tidak sekalipun berubah nama sampai sa...

 

British politician For other people named Richard Ryder, see Richard Ryder (disambiguation). The Right HonourableThe Lord Ryder of WensumOBE PCChief Whip of the House of CommonsParliamentary Secretary to the TreasuryIn office28 November 1990 – 20 July 1995Prime MinisterJohn MajorPreceded byTim RentonSucceeded byAlastair Goodlad Junior ministerial offices 1986–1990 Paymaster GeneralIn office14 July 1990 – 28 November 1990Prime MinisterMargaret ThatcherPreceded byThe Ear...

Berkas:Commercial Communications Satellites.pngSatelit komunikasi komersial di orbit geosinkron. Orbit Geosinkron adalah orbit suatu benda (umumnya satelit buatan) dengan bumi sebagai pusatnya, yang mempunyai perioda sama dengan rotasi bumi yaitu satu hari sideris atau 23,9344 jam. Secara geometri orbit ini mempunyai setengah sumbu utama (semimajor axis) yang panjangnya 42164.17 km. Satelit dengan orbit geosinkron akan berada di atas suatu titik di muka bumi pada jam tertentu. Selain dari wak...

 

Золотая маркаGoldmark 20 марок 1914 года, Пруссия1000 марок 1910 года Коды и символы Символы ℳ, M, Mk Территория обращения Страна-эмитент Германская империя (до 1918) Веймарская республика (с 1918) Производные и параллельные единицы Дробные пфенниг (1⁄100) Монеты и банкноты Монеты 1, 2, 5, 10, 20, ...

 

USS Adonis anchored at Shanghai, China on 4 February 1946. The bow of Amycus is just visible at the far left. History United States NameUSS Adonis BuilderJeffersonville Boat & Machine Company, Jeffersonville, Indiana Laid down31 March 1943 Launched14 June 1943 Commissioned6 August 1943 Decommissioned11 October 1946 Stricken1 January 1960 FateSold to private interest, 14 October 1960 General characteristics Class and typeAchelous-class repair ship Displacement1,781 long tons (1,810 t)...

2005 studio album by Judas PriestAngel of RetributionCover art by Mark WilkinsonStudio album by Judas PriestReleased23 February 2005 (2005-02-23)RecordedOctober–December 2004StudioOld Smithy (Worcestershire, England) Sound City (Van Nuys, California)GenreHeavy metalLength52:37LabelEpicProducerRoy ZJudas Priest chronology Demolition(2001) Angel of Retribution(2005) Nostradamus(2008) Singles from Angel of Retribuition RevolutionReleased: 2005 Professional ratingsAggrega...

 

English Nonconformist clergyman and scholar For the politician, see Henry Ainsworth (MP). For the British newspaper editor, see Harry Ainsworth. Henry Ainsworth (1571–1622) was an English Nonconformist clergyman and scholar. He led the Ancient Church, a Brownist or English Separatist congregation in Amsterdam alongside Francis Johnson from 1597, and after their split led his own congregation. His translations of and commentaries on the Hebrew scriptures were influential for centuries. Separ...

 

This article uses bare URLs, which are uninformative and vulnerable to link rot. Please consider converting them to full citations to ensure the article remains verifiable and maintains a consistent citation style. Several templates and tools are available to assist in formatting, such as reFill (documentation) and Citation bot (documentation). (May 2023) (Learn how and when to remove this template message) Annual race in Mexico since 1985 Guadalajara Half MarathonThe Arcos de Guadalajara...

Esta página cita fontes, mas que não cobrem todo o conteúdo. Ajude a inserir referências. Conteúdo não verificável pode ser removido.—Encontre fontes: ABW  • CAPES  • Google (N • L • A) (Julho de 2022) Copa dos Campeões Cearenses de 2019 Copa_dos_campeões_cearenses_de_2019.jpgLogo oficial da competição. Evento Copa dos Campeões Cearenses Ferroviário Ceará 1 0 Data 20 de janeiro Local Arena Castelão, Fortaleza ← A...

 

Smart speaker designed by Apple Inc. This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: HomePod Mini – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (March 2021) (Learn how and when to remove this template message) HomePod miniDeveloperApple Inc.Product familyHomePodTypeSmart speakerRelease date November 16,...

 

Short story by F. Scott Fitzgerald Bernice Bobs Her HairShort story by F. Scott FitzgeraldThe cover of The Saturday Evening Post (May 1, 1920) containing Bernice Bobs Her Hair. The issue marked the first time Fitzgerald's name appeared on the cover.Text available at WikisourceCountryUnited StatesLanguageEnglishGenre(s)Short storyPublicationPublished inSaturday Evening PostFlappers and PhilosophersPublication typeMagazineShort Story CollectionMedia typePrintPublication dateMay 1, 1920[1 ...

Munisipalitas Klina di Kosovo Klina (bahasa Albania: Klinë; Abjad Kiril Serbia: Клина) adalah kota dan munisipalitas di Distrik Peja, Kosovo.[a] Menurut sensus pada tahun 2011, populasi di Kota Klina berjumlah 5.542 penduduk, sementara populasi di munisipalitas ini sebanyak 38.496 penduduk. Lokasi ini berada di tepian Sungai Klina. Air terjun Mirusha [en] berada di munisipalitas ini. Orang terkemuka Anton Berisha, cendekiawan Kosovo-Albania Sadik Rama Gjurgj...

 

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Tarakeswar – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (September 2022) (Learn how and when to remove this template message) City in West Bengal, IndiaTarakeswar [Baba Dham][1]CityBaba Taraknath Temple of TarakeshwarNickname: The city of Shiva ...

 

Mitsuko Mito Información personalNombre de nacimiento Mitsuko SekibaNombre en japonés 水戸光子 Nacimiento 23 de marzo de 1919 Prefectura de Fukushima, JapónFallecimiento 5 de abril de 1981(62 años)Nacionalidad JaponesaInformación profesionalOcupación ActrizAños activa desde 1935[editar datos en Wikidata] Mitsuko Mito (水戸光子, Mito Mitsuko?, 23 de marzo de 1919 – 5 de abril de 1981) fue una actriz japonesa.[1]​ Ella apareció en más de 50 películas entre 19...

Artikel ini memberikan informasi dasar tentang topik kesehatan. Informasi dalam artikel ini hanya boleh digunakan untuk penjelasan ilmiah; bukan untuk diagnosis diri dan tidak dapat menggantikan diagnosis medis. Wikipedia tidak memberikan konsultasi medis. Jika Anda perlu bantuan atau hendak berobat, berkonsultasilah dengan tenaga kesehatan profesional.ChikungunyaRuam karena chikungunyaInformasi umumPelafalan/ˌtʃɪkənˈɡʌnjə/[1] CHIK-ən-GUN-yəSpesialisasiPenyakit infeksiPenyeb...

 

تحتاج هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر إضافية لتحسين وثوقيتها. فضلاً ساهم في تطوير هذه المقالة بإضافة استشهادات من مصادر موثوق بها. من الممكن التشكيك بالمعلومات غير المنسوبة إلى مصدر وإزالتها. (يناير 2017) حسين ياسر معلومات شخصية الميلاد 9 يناير 1984 (العمر 40 سنة)الدوحة  الطو...

 

Lukisan oleh Howard Chandler Christy, gambaran dari Konvensi Philadelphia yang menyebabkan penandatanganan Konstitusi Amerika Serikat, dokumen penting dalam filsafat politik dan hukum Amerika. Richard Brandt adalah seorang filsuf Amerika yang mewarisi tradisi utilitarian dalam filsafat moral.[1] Ia mengajar di Universitas Swarthmore sebelum menghabiskan sebagian besar kariernya di Universitas Michigan.[1] Universitas Michigan juga merupakan tempat ia mengajar dengan Charles St...

FCL M4.300, 350, 350c, 400dal 1989 FAL / FC Automotrice L'automotrice M4.406 in sosta presso il deposito di Cosenza. Anni di progettazione 1986 Anni di esercizio dal 1988 Quantità prodotta 45 Unità in 4 serie (di cui 10 atte a circolazione su tratte a cremagliera) Costruttore Fiat Ferroviaria, realizzazione Ferrosud Lunghezza 18.170 mm Larghezza 2.470 mm Altezza 3.280 mm Capacità 52 posti a sedere (54 nella serie 300)+ 2 strapuntini Quota del piano di calpestio 1.100 mm Scartamento 950 mm...

 

Bagoes HermantoHermanto in 2006LahirAndhika Anindyaguna HermantoKebangsaanIndonesia Nama lainBagoesPekerjaanPengusahaDikenal atasPembalap mobil Andhika Anindyaguna Hermanto (lahir 7 Desember 1980) adalah seorang pengusaha muda Indonesia. Ia merupakan juara Asia tahun 1997 di kejuaraan Asian Formula 2000 serta pembalap di Asian Formula 3 untuk tim R&W by Joson F3. Pernah menjadi Team Principal A1 Team Indonesia di A1GP. Ia juga lebih dikenal dengan nama Bagoes Hermanto. Biografi Kart...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!