Wczesna teoria kwantowa

Wczesna teoria kwantowa – zbiór rezultatów badań nad kwantami z lat 1900–1925, które poprzedzały współczesną mechanikę kwantową. Teoria ta nigdy nie została dokończona, ani nie była do końca spójna, lecz była zbiorem heurystycznych opisów, stanowiących pierwszą kwantową poprawkę mechaniki klasycznej[1]. Ogniskowała się głównie na modelu Bohra, a istotny wkład, polegający na kwantyzacji składowej z momentu pędu (co nosiło wówczas nazwę kwantyzacji przestrzeni), pochodził od Arnolda Sommerfelda[2]. To pozwalało na eliptyczne orbity elektronów, zamiast kołowych, i wprowadziło koncepcję degeneracji kwantowej. Teoria poprawnie wyjaśniała efekt Zeemana, z wyjątkiem przyczyny spinu elektronu. Głównym narzędziem była kwantyzacja Bohra-Sommerfelda, procedura wybierania konkretnego dyskretnego zbioru stanów klasycznego ruchu, jako stanów dozwolonych. Są one podobne do dozwolonych orbit w atomie Bohra. Układ mógł być tylko w tym stanie, a w żadnym stanie pośrednim.

Podstawy

Podstawowa idea wczesnej mechaniki kwantowej była taka, że ruch w układzie atomowym jest skwantowany, czyli dyskretny. Układ działa według mechaniki klasycznej, z wyjątkiem tego, że nie każdy ruch był dozwolony, a tylko ten, który spełnia warunek wczesnej teorii kwantowej:

gdzie są pędami układu, a odpowiednimi współrzędnymi. Liczby kwantowe są całkowite, a całka jest brana po jednym okresie ruchu ze stałą energią (jak opisuje to hamiltonian). Całka jest obszarem w przestrzeni fazowej, która jest wielkością zwaną działaniem i jest skwantowana w jednostkach stałej Plancka. Z tego powodu stała Plancka często jest nazywana kwantem działania.

Aby warunek wczesnej teorii kwantowej miał sens, ruch klasyczny musi być separowalny, tzn. muszą być oddzielne współrzędne w wyrażeniu, w którym ruch jest okresowy. Okresy różnych ruchów nie są takie same, mogą być nawet nieproporcjonalne, ale musi istnieć zbiór współrzędnych, w których ruch dekomponuje się w sposób wielookresowy.

Motywacją dla wczesnej teorii kwantowej była zasada odpowiedniości, wsparta fizyczną obserwacją, że wielkości, które są skwantowane, muszą być niezmiennikami adiabatycznymi. Dając zasadę kwantyzacji Plancka do oscylatora harmonicznego, warunki określają poprawną klasyczną wielkość do kwantowania w ogólności układu aż do stałej addytywnej.

Przykłady

Oscylator harmoniczny

Najprostszym układem we wczesnej teorii kwantowej jest oscylator harmoniczny, którego hamiltonian wynosi:

Zbiory poziomów H są orbitami, a warunek kwantowy jest taki, że przestrzeń zamknięta przez orbitę w przestrzeni fazowej jest liczbą całkowitą. Co za tym idzie, energia jest skwantowana zgodnie z zasadą Plancka:

wynik, który był znany wcześniej, i użyty do sformułowania warunku wczesnej mechaniki kwantowej. Wynik ten różni się o od wyniku dawanego przez współczesną mechanikę kwantową. Stała ta jest zaniedbywana w wyprowadzeniu według wczesnej teorii kwantowej, i używając jej, wartość ta nie może być wykryta. Właściwości termiczne skwantowanego oscylatora można odnaleźć przez uśrednienie energii każdego dyskretnego stanu, zakładając, że zajmowane są one przez rozkład Boltzmanna:

gdzie

kT jest stałą Boltzmanna pomnożoną przez temperaturę absolutną, która jest temperaturą mierzoną w bardziej naturalnych jednostkach. Wielkość β jest w termodynamice bardziej fundamentalna niż temperatura, ponieważ jest to potencjał termodynamiczny odnoszący się do energii.

Łatwo dla tego wyrażenia zauważyć, że dla dużych wartości dla bardzo niskich temperatur, uśredniona energia U wykładniczo zmierza do zera. Powodem tego jest to, że kT jest typową energią losowych ruchów w temperaturze T, a kiedy jest to mniejsze niż ℏω, nie ma wystarczającej energii, aby nadać oscylatorowi choćby jeden jej kwant. Oscylator pozostaje więc w stanie podstawowym, nie przechowując w sobie żadnej energii.

Oznacza to, że przy bardzo niskich temperaturach, zmiany w energii względem β, lub odpowiednio względem temperatury, również są wykładniczo malejące. Zmiana energii względem temperatury jest ciepłem właściwym, tak więc ciepło właściwe w niskich temperaturach zanika wykładniczo, zgodnie z

Przy małych wartościach β, a wysokich temperaturach, średnia energia U równa jest Reprodukuje to zasadę ekwipartycji energii mechaniki klasycznej: każdy oscylator harmoniczny o temperaturze T ma średnią energię kT. Oznacza to, że ciepło właściwe oscylatora jest w mechanice klasycznej stałe i równe k. Dla zbioru atomów połączonych sprężynkami, będącego przyzwoitym modelem ciała stałego, całkowite ciepło właściwe równe jest całkowitej liczbie oscylatorów mnożonej przez k. Istnieją trzy oscylatory dla każdego atomu, odpowiadające trzem możliwym kierunkom niezależnych oscylacji w trzech wymiarach. Zatem ciepło właściwe klasycznego ciała stałego zawsze wynosi 3k na jeden atom, lub też, w jednostkach chemicznych, 3R na mol atomów.

Monoatomowe ciała stałe w temperaturze pokojowej mają w przybliżeniu to samo ciepło właściwe, 3k na atom, ale w niskich temperaturach się to zmienia. Ciepło właściwe maleje w niskich temperaturach i w zerze absolutnym spada do zera. Jest to prawdziwe dla wszystkich układów materialnych i nazywa się to trzecią zasadą termodynamiki. Mechanika klasyczna nie potrafi jej wyjaśnić, gdyż jej mechanizm ciepła właściwego jest niezależny od temperatury.

Ta sprzeczność pomiędzy mechaniką klasyczną a ciepłem właściwym zimnych materiałów została odnotowana w XIX w przez Jamesa Clerka Maxwella i pozostawała głęboką zagadką dla obrońców atomowej teorii materii. Został on rozwiązany przez Einsteina w 1906 poprzez propozycję kwantyzacji ruchu atomów. Było to pierwsze zastosowanie teorii kwantowej do układów mechanicznych. Niedługo potem, Peter Debye podał ilościową teorię ciepła właściwego ciała stałego w kontekście skwantowanych oscylatorów o różnych częstotliwościach (patrz: Ciało stałe Einsteina i Model Debye’a ciała stałego).

Potencjał jednowymiarowy: U = 0

Problemy jednowymiarowe są łatwe do rozwiązania. Przy każdej energii E, wartość pędu p jest dana przez równanie zachowania:

które jest scałkowane po wszystkich wartościach q pomiędzy klasycznymi punktami zwrotnymi, miejscami, w których pęd zanika. Całka jest najprostsza dla cząstki w pudełku o długości L, gdzie warunek kwantowy wynosi

co z kolei daje dozwolone pędy

oraz poziomy energetyczne

Potencjał jednowymiarowy: U = Fx

Kolejny łatwy przypadek z wczesnej teorii kwantowej to potencjał liniowy na dodatniej półosi, stała ograniczająca siłę F, odbijając cząstkę od nieprzenikliwej ściany. Ten przypadek jest znacznie trudniejszy w ujęciu pełnej mechaniki kwantowej, i w przeciwieństwie do innych przykładów, półklasyczna odpowiedź nie jest dokładna, lecz przybliżona, stając się coraz dokładniejsza przy dużych liczbach kwantowych.

zatem warunek kwantowy wynosi

co z kolei determinuje poziomy energii,

W szczególnym przypadku F=mg, cząstka jest ograniczona przez potencjał grawitacyjny Ziemi oraz „ścianę” w postaci jej powierzchni.

Fale de Broglie

W 1905 Einstein odnotował, że entropia skwantowanych oscylatorów pola elektromagnetycznego, umieszczonych w pudełku, dla małych długości fali równa jest entropii cząsteczkowego gazu zamkniętego w tym samym pudełku. Liczba cząstek punktowych równa jest liczbie kwantów. Einstein wywnioskował, że kwant można potraktować jak obiekt o ustalonym położeniu (zobacz[3] strona 139/140), cząstki światła, i nazwał je fotonami.

Argument teoretyczny Einsteina oparty był na termodynamice, a dokładniej, na zliczaniu stanów, przez co nie był całkowicie przekonujący. Niemniej skonkludował, że światło ma właściwości zarówno fali, jak i cząstki, a bardziej precyzyjnie, że elektromagnetyczna fala stojąca o częstotliwości ω i skwantowanej energii

powinna być traktowana, jako zawierająca n fotonów o energii ℏω. Jednak Einstein nie potrafił wyjaśnić, w jaki sposób fotony są powiązane z falami.

Fotony, oprócz energii, posiadają również pęd wynoszący ℏk, gdzie k jest liczbą falową fali elektromagnetycznej. Jest to wymaganie teorii względności, gdyż pęd i energia są czterowektorem, podobnie jak częstotliwość i liczba falowa.

W 1924 Louis de Broglie zaproponował nową interpretację warunku kwantowego. Zasugerował, że cała materia, elektrony na równi z fotonami, jest opisana falą, zgodnie z relacją

lub wyrażeniem z długością fali,

Zapisał on warunek kwantowy:

zliczając zmianę fazy fal w miarę ich poruszania się po klasycznej orbicie i wymagając, aby była to liczba całkowita mnożona przez 2π. Mierzona w długościach fali, liczba długości fal wzdłuż klasycznej orbity musiała być liczbą całkowitą. Jest to warunek konstruktywnej interferencji i wyjaśniał on warunek kwantyzacji orbit – fale materii tworzyły fale stojące tylko dla dyskretnych częstotliwości, co implikuje dyskretne energie.

Na przykład dla cząstki ograniczonej pudełkiem, fala stojąca musi pasować do podwójnej ilości długości fali pomiędzy ścianami. Warunek przyjmuje postać:

zatem skwantowane pędy wynoszą

reprodukując poziomy energetyczne wczesnej teorii kwantowej.

Rozwinięcie to zyskało bardziej zmatematyzowaną formę dzięki Einsteinowi, który zapisał, że funkcja fazy fal w układzie mechanicznym powinna być identyfikowana z rozwiązaniem równania Hamiltona-Jacobiego, co do którego nawet Hamilton uważał, że jest to krótkofalowy limit mechaniki falowej.

Idee te legły u podstaw rozwoju równania Schrödingera.

Ograniczenia

Wczesna teoria kwantowa ma pewne ograniczenia[4]:

  • Wczesna teoria kwantowa nie daje środków do obliczenia intensywności linii widmowych.
  • Nie potrafi również wyjaśnić anomalnego efektu Zeemana (czyli takiego, w którym nie można zaniedbać spinu).
  • Nie potrafi kwantować układów chaotycznych, czyli układów dynamicznych, w których trajektorie nie są ani zamknięte, ani okresowe i dla których nie istnieje forma analityczna. Reprezentantem takiego układu jest już atom z dwoma elektronami, który jest klasycznie analogiczny do sławnego grawitacyjnego problemu trzech ciał.

Aczkolwiek można nią opisać atomy z więcej niż jednym elektronem (np. hel), oraz efekt Zeemana[5]. Zaproponowano, że wczesna teoria kwantowa jest półklasycznym przybliżeniem kanonicznej mechaniki kwantowej[6]. Niemniej jej ograniczenia wciąż są tematem badań.

Przypisy

  1. D. ter Haar: The Old Quantum Theory. Pergamon Press, 1967, s. 206. ISBN 0-08-012101-2.
  2. Arnold Sommerfeld: Atombau und Spektrallinien. Braunschweig: Friedrich Vieweg und Sohn, 1919. ISBN 3-87144-484-7.
  3. Albert Einstein. Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt. „Annalen der Physik”. 17 (6), s. 132–148, 1905. DOI: 10.1002/andp.19053220607. Bibcode1905AnP...322..132E. [dostęp 2008-02-18]. 
  4. G.S. Chaddha: Quantum Mechanics. New Dehli: New Age international, 2006, s. 8–9. ISBN 81-224-1465-6.
  5. E.A. E.A. Solov’ev. Classical approach in atomic physics. „European Physical Journal D”. 65 (3), s. 331–351, 2011. DOI: 10.1140/epjd/e2011-20261-6. arXiv:1003.4387. Bibcode2011EPJD...65..331S. 
  6. L.D. Landau, E.M. Lifshitz: Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Wyd. 3-cia. T. Vol. 3. Pergamon Press, 1977. ISBN 978-0-08-020940-1.

Read other articles:

2012 studio album by Curren$yThe Stoned ImmaculateStudio album by Curren$yReleasedJune 5, 2012 (2012-06-05)Recorded2011–March 2012GenreHip hopLength84:38LabelJet LifeWarner Bros.ProducerPharrellJ.U.S.T.I.C.E. LeagueBink!Big K.R.I.T.Daz DillingerSean C & LVRashad ThomasTone PMonsta BeatzThe YoungstarsThe InnovatorzThe FuturistiksRahkiCardoButcher BrownCurren$y chronology Muscle Car Chronicles(2012) The Stoned Immaculate(2012) Live in Concert(2013) Singles from The ...

 

堺市立八田荘中学校 北緯34度31分29秒 東経135度28分52秒 / 北緯34.52469度 東経135.48099度 / 34.52469; 135.48099座標: 北緯34度31分29秒 東経135度28分52秒 / 北緯34.52469度 東経135.48099度 / 34.52469; 135.48099国公私立の別 公立学校設置者 堺市設立年月日 1980年4月1日創立記念日 4月21日共学・別学 男女共学学期 3学期制学校コード C127210001621 所在地 〒599-8262 大...

 

二見港 所在地国 日本所在地 東京都小笠原村父島東町座標 北緯27度5分50秒 東経142度12分0秒 / 北緯27.09722度 東経142.20000度 / 27.09722; 142.20000座標: 北緯27度5分50秒 東経142度12分0秒 / 北緯27.09722度 東経142.20000度 / 27.09722; 142.20000詳細管理者 東京都小笠原支庁港湾課[1] この表について この表はテンプレートを用いて表示しています。編集の

هذه المقالة بحاجة لصندوق معلومات. فضلًا ساعد في تحسين هذه المقالة بإضافة صندوق معلومات مخصص إليها. تسمية الاتحاد الدولي للكيمياء البحتة والتطبيقية (أيوباك) نظام معتمد من International Union of Pure and Applied Chemistry (IUPAC) في تسمية المركبات الكيميائية والتي تصف علم الكيمياء بشكل عام.[1][2...

 

Peacock FeathersKartu lobiSutradara Svend Gade ProduserDitulis oleh James O. Spearing Svend Gade SkenarioJames O. SpearingSvend GadeBerdasarkanPeacock Feathersoleh Temple BaileyPemeranJacqueline LoganCullen LandisWard CraneGeorge FawcettEmmett KingYoucca TroubetzkoySinematograferCharles J. StumarPerusahaanproduksiUniversal PicturesDistributorUniversal PicturesTanggal rilis 18 Oktober 1925 (1925-10-18) Durasi70 menitNegara Amerika Serikat BahasaFilm bisu dengan antar judul Inggris Peacock...

 

Gereja Injili Karo Indonesia (GIKI)Logo GIKIPenggolonganInjiliPemimpinKetua Umum: Pdt. Drs. Edi Suranta Ginting, M. Div., M.Th.WilayahIndonesiaDidirikan27 Juni 1992 Kabanjahe, Kabupaten Karo, Sumatera Utara IndonesiaTerpisah dariGereja Kristen Kudus Indonesia (GKKI) Gereja Injili Karo Indonesia atau disingkat GIKI, merupakan sebuah komunitas Kristen beraliran injili/evangelikalisme di Indonesia yang tumbuh dan berkembang di tengah-tengah masyarakat Suku Karo, atau dengan kata lain, gereja yan...

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Alta Vista Drive – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (December 2009) (Learn how and when to remove this template message) Alta Vista Drive looking south in Riverview Alta Vista Drive in Alta Vista Alta Vista Drive is a suburban road in Ottawa, Ontario...

 

This article is about the Dravlje District. For the former village of Dravlje, see Dravlje. District in Upper Carniola, SloveniaDravlje District Četrtna skupnost DravljeDistrictMap of districts in Ljubljana. The Dravlje District is number 4.Dravlje DistrictLocation in SloveniaCoordinates: 46°4′49″N 14°28′47″E / 46.08028°N 14.47972°E / 46.08028; 14.47972Country SloveniaTraditional regionUpper CarniolaStatistical regionCentral SloveniaMunicipalityLjubljanaAr...

 

Pegunungan Lokris Ozalia, menghadap Naupaktos. Lokris (bahasa Yunani, Modern: Λοκρίδα Lokrida, Kuno: Λοκρίς Lokris) adalah daerah di Yunani kuno. Tempat ini merupakan tanah air suku Lokris dan terbagi menjadi tiga distrik. Pada masa kuno daerah orang Lokris dibagi mnejadi tiga termasuk Doris dan Phokis, kemungkinan karena invasi awal oleh negara Lokris. Fakta ini, ditambah dengan kesuburan daerah ini, membuat orang Lokris cenderung dikuasai oleh negara tetangga mereka, dan hanya ...

1993 greatest hits album by The Black SorrowsThe Chosen Ones – Greatest HitsGreatest hits album by The Black SorrowsReleased1 November 1993Recorded1984-1993LabelColumbia RecordsProducerJoe Camilleri, Jeff Burstin, Peter LuscombeThe Black Sorrows chronology Better Times(1992) The Chosen Ones – Greatest Hits(1993) Lucky Charm(1994) Singles from The Chosen Ones – Greatest Hits Stir It UpReleased: September 1993 The Chosen Ones – Greatest Hits is the first greatest hits album by A...

 

1932 film The Gambling SexDirected byFred C. NewmeyerWritten byF. McGrew WillisProduced byJohn R. FreulerBurton L. KingStarringRuth HallGrant WithersMaston WilliamsCinematographyEdward A. KullEdited byFred BainProductioncompanyMonarch Film CorporationDistributed byFreuler Film AssociatesRelease dateNovember 21, 1932Running time60 minutesCountryUnited StatesLanguageEnglish The Gambling Sex is a 1932 American drama film directed by Fred C. Newmeyer and starring Ruth Hall, Grant Withers and Mast...

 

Thai singer and actor This biography of a living person needs additional citations for verification. Please help by adding reliable sources. Contentious material about living persons that is unsourced or poorly sourced must be removed immediately from the article and its talk page, especially if potentially libelous.Find sources: Joni Anwar – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (June 2010) (Learn how and when to remove this template message)Jon...

Italian filmSplendorDirected byEttore ScolaWritten byEttore ScolaStarringMarcello MastroianniMarina VladyMassimo TroisiCinematographyLuciano TovoliEdited byFrancesco MalvestitoMusic byArmando TrovajoliRunning time110 minutesCountryItalyLanguageItalian Splendor is a 1989 Italian drama film directed by Ettore Scola.[1] Plot Jordan (Marcello Mastroianni) runs a struggling cinema called Splendor in a small town in Italy. Low ticket sales mean that the cinema is no longer a viable business...

 

English judge (born 1948) The Right HonourableThe Lord Neubergerof AbbotsburyGBS PC HonFRSNeuberger in 2017President of the Supreme Court of the United KingdomIn office1 October 2012 – 4 September 2017Nominated byKenneth ClarkeAppointed byElizabeth IIDeputyThe Lord Hope of CraigheadThe Baroness Hale of RichmondPreceded byThe Lord Phillips of Worth MatraversSucceeded byThe Baroness Hale of RichmondMaster of the RollsIn office1 October 2009 – 30 September 2012Preceded ...

 

Blaoui Houari Información personalNacimiento 23 de enero de 1926Orán, ArgeliaFallecimiento 19 de julio de 2017 (91 años)Orán, ArgeliaCausa de muerte Infarto agudo de miocardio Nacionalidad ArgelinaInformación profesionalOcupación Cantautor Años activo desde 1940Instrumento Voz[editar datos en Wikidata] Blaoui Houari (en árabe: بلاوي الهواري‎, romanizado: Blawī al-Hwārī; 23 de enero de 1926-19 de julio de 2017) fue un cantautor y compositor arge...

Flag of the Brazilian state of Pernambuco Flag of PernambucoUseCivil and state flagProportion2:3Adopted23 February 1917 The flag of Pernambuco is one of the official symbols of the Brazilian state of Pernambuco.[1][2] It is a bicolor pennant, blue and white, with the colors broken horizontally into two unequal sections, with blue in the upper and larger rectangle, the rainbow composed of three colors, red, yellow and green, with a star in above and below the sun, inside the se...

 

Sporting event delegationEthiopia at the2016 Summer OlympicsIOC codeETHNOCEthiopian Olympic CommitteeWebsitewww.ethiolympic.orgin Rio de JaneiroCompetitors38 in 3 sportsFlag bearer Robel Kiros Habte[1]MedalsRanked 44th Gold 1 Silver 2 Bronze 5 Total 8 Summer Olympics appearances (overview)19561960196419681972197619801984–1988199219962000200420082012201620202024 Ethiopia competed at the 2016 Summer Olympics in Rio de Janeiro, from 5 to 21 August 2016. The country's participation...

 

Not to be confused with Royal Canadian Regiment. The Royal Regiment of CanadaBadge of the regiment[1]Active1862–presentCountry Province of Canada (1862–1867) Canada (1867–present) BranchCanadian ArmyTypeInfantrySizeOne battalionPart of32 Canadian Brigade GroupGarrison/HQFort York Armoury, TorontoNickname(s)RoyalsMotto(s) Ready aye ready Nec aspera terrent (Latin for 'And difficulties do not daunt') March Quick: The British Grenadiers/Here's to the Maiden Slow: Royal...

American legislative district Map of Massachusetts House of Representatives' 6th Suffolk district, 2013. Based on 2010 United States Census Map of Massachusetts House of Representatives districts for Suffolk County, apportioned in 2011 Massachusetts House of Representatives' 6th Suffolk district in the United States is one of 160 legislative districts included in the lower house of the Massachusetts General Court. It covers part of the city of Boston in Suffolk County.[1][2] D...

 

روبن كاربنتر   معلومات شخصية الميلاد 20 يونيو 1992 (32 سنة)[1]  فيلادلفيا  الطول 178 سنتيمتر  الجنسية الولايات المتحدة  الحياة العملية الفرق رالي سايكلينغ (2018–2022)  المهنة دراج  نوع السباق سباق الدراجات على الطريق  تعديل مصدري - تعديل   روبن كاربنتر (بالإن...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!