Эрмитово сопряжённая матрица

Эрми́тово сопряжённая ма́трица (сопряжённо-транспони́рованная матрица) — матрица $A^{*}$ с комплексными элементами, полученная из исходной матрицы $A$ транспонированием и заменой каждого элемента комплексно сопряжённым ему.

Например, если:

A={\begin{bmatrix}3+i&5\\2-2i&i\end{bmatrix}}

то:

A^{*}={\begin{bmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\end{bmatrix}}

.

Эрмитово сопряжённые матрицы во многом играют ту же роль при изучении комплексных векторных пространств, что и транспонированные матрицы в случае вещественных пространств. Обобщение понятия эрмитово сопряжённой матрицы на бесконечномерные пространства — сопряжённый оператор.

Определения и обозначения

Если исходная матрица $A$ имеет размер $m\times n$ , то эрмитово сопряжённая к $A$ матрица $A^{*}$ будет иметь размер $n\times m$ , а её $(i,j)$ -й элемент будет равен:

\left(A^{*}\right)_{ij}={\overline {A_{ji}}}

,

где ${\overline {z}}$ обозначает комплексно сопряжённое число к $z$ (сопряжённое число к $a+bi$ есть $a-bi$ , где $a$ и $b$ — вещественные числа).

Другая запись определения:

A^{*}=\left({\overline {A}}\right)^{\text{T}}={\overline {{A}^{\text{T}}}}

.

Эрмитово сопряжённую матрицу обычно обозначают как $A^{*}$ или $A^{H}$ (от англ. Hermitian — эрмитова), но иногда применяются и другие обозначения, в частности, $A^{\dagger }$ (в квантовой механике) и $A^{+}$ (но редко используется, так как может быть спутано с обозначением для псевдообратной матрицы).

Если матрица $A$ состоит из вещественных чисел, то эрмитово сопряжённая к ней матрица — это просто транспонированная матрица $A^{*}=A^{T}$ , если $a_{ij}\in \mathbb {R}$ .

Для квадратных матриц существует набор связанных определений — $A$ называется:

эрмитовой, если $A^{*}=A$ ;
антиэрмитовой или косоэрмитовой, если $A^{*}=-A$ ;
нормальной, если $A^{*}A=AA^{*}$ ;
унитарной, если $A^{*}A=AA^{*}=I$ , где $I$ — единичная матрица.

Свойства антиэрмитовых, нормальных и унитарных матриц могут быть выражены через свойства эрмитовых матриц и наоборот.

Свойства

Взаимодействия с операциями матричной алгебры:

$(A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}$ для любых двух матриц $A$ и $B$ одинаковых размеров;
$(cA)^{*}={\overline {c}}A^{*}$ для любого комплексного скаляра $c\in \mathbb {C}$ ;
$(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$ для любых матриц $A$ и $B$ , таких, что определено их произведение $AB$ (в правой части равенства порядок перемножения матриц меняется на противоположный);
$(A^{*})^{*}=A$ для любой матрицы $A$ .

Собственные значения, определитель и след меняются на сопряжённые у эрмитово сопряжённой матрицы, по сравнению с исходной.

Матрица $A$ обратима тогда и только тогда, когда обратима матрица $A^{*}$ ; при этом:

(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}

\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle

для любой матрицы $A$ размера $m\times n$ и любых векторов $x\in \mathbb {C} ^{n}$ и $y\in \mathbb {C} ^{m}$ . Обозначение $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ обозначает стандартное скалярное произведение векторов в комплексном векторном пространстве.

Матрицы $AA^{*}$ и $A^{*}A$ являются эрмитовыми и положительно-полуопределёнными для любой матрицы $A$ (необязательно квадратной). Если $A$ квадратная и невырожденная, то эти две матрицы будут положительно-определёнными.