Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу
, что
.
Это означает, что она равна её транспонированной матрице:
![{\displaystyle A=A^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56e9814bd7bfa7b64baaa8f9406c5dbda65a2455)
Примеры
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&3&0\\3&2&6\\0&6&5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&5\\5&7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d68598120a7b1bbde274dff3dc6acb7195824db9)
Свойства
Симметричная матрица всегда квадратная.
Для любой симметричной матрицы A с вещественными элементами справедливо следующее:
![{\displaystyle Av=\lambda _{1}v,\ Aw=\lambda _{2}w,\ \lambda _{1}\neq \lambda _{2}\implies v^{T}w=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde0622a75e090b2971ff40d7a8a70eb95864dbf)
- из её собственных векторов всегда можно составить ортонормированный базис
- матрицу A можно привести к диагональному виду:
, где
— ортогональная матрица, столбцы которой содержат ортонормированный базис из собственных векторов, а D — диагональная матрица с собственными значениями матрицы A на диагонали.
- Если у симметричной матрицы A единственное собственное значение
, то она имеет диагональный вид:
, где
— единичная матрица, в любом базисе.
- Для симметричной матрицы любая конгруэнтная матрица также является симметричной, т. е.
Положительно (отрицательно) определённые матрицы
Симметричная матрица
размерностью
называется положительно определённой если
выполняется
Условие отрицательно, неположительно и неотрицательно определённой матрицы формулируется аналогично с соответствующим изменением знака неравенства.
Для выяснения характера определённости матрицы может использоваться критерий Сильвестра.
См. также
Литература
- Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Мир, 1969 (djvu).
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 560 с. — ISBN 5-9221-0524-8.; (2-е изд.). — М.: Наука, 1966 (djvu).
- Голуб Дж. (Gene H. Golub), Ван Лоун Ч. (Charles F. Van Loan) Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999. — 548 с. — ISBN 5-03-002406-9
- Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — 9-е изд. — М.: Наука, 1968. — 432 с.
![Перейти к шаблону «Векторы и матрицы»](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png) Векторы и матрицы |
---|
Векторы | Основные понятия | |
---|
Виды векторов | |
---|
Операции над векторами | |
---|
Типы пространств | |
---|
|
---|
Матрицы | |
---|
Другое | |
---|