Эрми́тово сопряжённая ма́трица (сопряжённо-транспони́рованная матрица) — матрица
с комплексными элементами, полученная из исходной матрицы
транспонированием и заменой каждого элемента комплексно сопряжённым ему.
Например, если:
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}3+i&5\\2-2i&i\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b196e5cefe1d7e4960814afe7a06f3d5dafd9c5)
то:
.
Эрмитово сопряжённые матрицы во многом играют ту же роль при изучении комплексных векторных пространств, что и транспонированные матрицы в случае вещественных пространств. Обобщение понятия эрмитово сопряжённой матрицы на бесконечномерные пространства — сопряжённый оператор.
Определения и обозначения
Если исходная матрица
имеет размер
, то эрмитово сопряжённая к
матрица
будет иметь размер
, а её
-й элемент будет равен:
,
где
обозначает комплексно сопряжённое число к
(сопряжённое число к
есть
, где
и
— вещественные числа).
Другая запись определения:
.
Эрмитово сопряжённую матрицу обычно обозначают как
или
(от англ. Hermitian — эрмитова), но иногда применяются и другие обозначения, в частности,
(в квантовой механике) и
(но редко используется, так как может быть спутано с обозначением для псевдообратной матрицы).
Если матрица
состоит из вещественных чисел, то эрмитово сопряжённая к ней матрица — это просто транспонированная матрица
, если
.
Для квадратных матриц существует набор связанных определений —
называется:
Свойства антиэрмитовых, нормальных и унитарных матриц могут быть выражены через свойства эрмитовых матриц и наоборот.
Свойства
Взаимодействия с операциями матричной алгебры:
для любых двух матриц
и
одинаковых размеров;
для любого комплексного скаляра
;
для любых матриц
и
, таких, что определено их произведение
(в правой части равенства порядок перемножения матриц меняется на противоположный);
для любой матрицы
.
Собственные значения, определитель и след меняются на сопряжённые у эрмитово сопряжённой матрицы, по сравнению с исходной.
Матрица
обратима тогда и только тогда, когда обратима матрица
; при этом:
![{\displaystyle (A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a43a08aa5df895fb297b353b5fefa864f67b4291)
![{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2df8c0231f3ba0fda6150d96d63836f00978ea8)
для любой матрицы
размера
и любых векторов
и
. Обозначение
обозначает стандартное скалярное произведение векторов в комплексном векторном пространстве.
Матрицы
и
являются эрмитовыми и положительно-полуопределёнными для любой матрицы
(необязательно квадратной). Если
квадратная и невырожденная, то эти две матрицы будут положительно-определёнными.
Ссылки
![Перейти к шаблону «Векторы и матрицы»](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png) Векторы и матрицы |
---|
Векторы | Основные понятия | |
---|
Виды векторов | |
---|
Операции над векторами | |
---|
Типы пространств | |
---|
|
---|
Матрицы | |
---|
Другое | |
---|