Нулевая матрица

Нулева́я ма́трица — это матрица, размера ${\displaystyle m\times n,}$ все элементы которой равны нулю. Она обозначается как ${\displaystyle Z}$ или ${\displaystyle O}$ или ${\displaystyle O_{m,n}}$^[1]

${\displaystyle Z={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}}$

Признаки

Нулевая матрица, и только она, имеет ранг 0.

Это означает, что только нулевая матрица обладает свойством давать нулевой столбец при умножении справа на любой вектор-столбец, и аналогично для умножения на вектор-строки слева.

Другим следствием этого факта является нулёвость всех матриц размера m×0 и 0×n, вследствие того, что ранг матрицы m×n не превосходит min(m, n).

Свойства

• Произведение нулевой матрицы на любое число равно ей самой:

${\displaystyle a\,Z=Z.}$

• Сумма матрицы ${\displaystyle A}$ и нулевой матрицы того же размера равна исходной матрице ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle A+Z=A,\;\;\;Z+A=A.}$

• Разница матрицы ${\displaystyle A}$ и нулевой матрицы того же размера равна исходной матрице ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle A-Z=A.}$

• Произведение матрицы ${\displaystyle A}$ размера ${\displaystyle l\times m,}$ на нулевую матрицу размера ${\displaystyle m\times n,}$ равно нулевой матрице размера ${\displaystyle l\times n:}$

${\displaystyle A\cdot Z=Z.}$

• Квадратная нулевая матрица n×n при ${\displaystyle n\geqslant 1}$ является вырожденной, и, как следствие, её определитель равен нулю:

  ${\displaystyle \left|Z\right|=0.}$

  Таким образом, такая матрица не имеет обратной.

• Квадратная нулевая матрица является симметричной, и, как следствие, её транспонированная матрица равна ей самой:

${\displaystyle Z^{T}=Z.}$

• Квадратная нулевая матрица является также кососимметричной:

${\displaystyle Z^{T}=-Z\,(=Z).}$

Только нулевая матрица является одновременно и симметричной, и кососимметричной.

• Последние два пункта дословно верны и в отношении эрмитовости и косоэрмитовости над полем комплексных чисел.

• Квадратная нулевая матрица является верхнетреугольной, нижнетреугольной и диагональной матрицей.

• Квадратная нулевая матрица является скалярной матрицей, и, следовательно, перестановочна с любой квадратной матрицей того же размера:

${\displaystyle ZA=AZ=Z}$.

Все вышеизложенные свойства нулевой матрицы являются, так или иначе, следствием того обстоятельства, что нулевая матрица является аддитивным нейтральным элементом (в просторечии: нулём) линейного пространства матриц своего размера, а значит она (и только она) принадлежит любому линейному подпространству. Ну заодно и нулём алгебры матриц, если матрица квадратная.

Несмотря на это, нулевая матрица имеет и нетривиальные свойство, касающееся ненулевых делителей. Вообще-то их сколько угодно, хоть справа, хоть слева, но точное определение «скольких угодно» зависит от того, в пространстве матриц какого размера мы будем их искать. Па́ры ненулевых матриц M размера m×l и N размера l×n таких, что ${\displaystyle NM=Z_{m\times n}}$ существуют тогда и только тогда, когда ${\displaystyle l\geqslant 2}$. Для существования l=0 недостаточно уже по той причине, что среди матриц размером как m×0, так и 0×n, ненулевых нет вообще (см. выше). А для объяснения несуществования делителей с l=1 см. статью тензорное произведение. Таким образом, в алгебре матриц n×n над любым полем имеются делители нуля тогда и только тогда, когда ${\displaystyle n\geqslant 2}$. Что, впрочем, неудивительно, если посмотреть, как устроены такие алгебры при n=1 и n=0.

Примечания

1. Основы линейной алгебры, 1975, с. 11.

Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1975. — 400 с.