Список матриц
Структура матрицы Здесь собраны наиболее важные классы матриц , используемые в математике , науке (в целом) и прикладной науке (в частности).
Под матрицей понимается прямоугольный массив чисел, называемых элементами . Матрицы имеют длинную историю исследований и приложений, что приводит к различным способам их классификации. Первая группа матриц удовлетворяет конкретным условиям и ограничениям на их элементы, включая постоянные матрицы. Важный пример матриц такого вида предоставляет единичная матрица :
I
n
=
[
1
0
⋯ ⋯ -->
0
0
1
⋯ ⋯ -->
0
⋮ ⋮ -->
⋮ ⋮ -->
⋱ ⋱ -->
⋮ ⋮ -->
0
0
⋯ ⋯ -->
1
]
.
{\displaystyle I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}
Обозначается также буквой E.
Другие способы классификации матриц связаны либо с их собственными значениями, либо с условиями в виде матричных уравнений (соотношений). Наконец, во многих областях (в физике и в химии) встречаются матрицы специального вида, которые применяются исключительно в этих областях.
Данный ниже список матриц определяется условиями, которые накладываются на элементы матриц. Многие из таких свойств оказываются применимыми только к квадратным матрицам. В квадратной матрице имеются две диагонали: главная диагональ (идущая из левого верхнего угла в правый нижний угол) и побочная диагональ (идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол).
Матрицы, представленные ниже, характеризуются тем, что условия на элементы матриц описываются в терминах структуры матрицы. Сюда относится взаимное расположение ненулевых элементов, а также свойства инвариантности относительно матричных преобразований.
Название
Описание
Примечания, пояснения
Бинарная матрица Матрица, состоящая из нулей и единиц.
Синонимы: булевская матрица, логическая матрица.
Матрица альтернанса Матрица, элементы которой представляют собой значения функций в определённых точках.
a
i
,
j
=
f
j
(
α α -->
i
)
{\displaystyle a_{i,j}=f_{j}(\alpha _{i})}
Нулевая матрица Матрица, полностью состоящая из нулей.
a
i
j
=
0
{\displaystyle a_{ij}=0}
Антидиагональная матрица Квадратная матрица, все элементы которой, лежащие вне побочной диагонали, равны нулю.
Антиэрмитова матрица Квадратная матрица с комплексными элементами, переходящая в себя с изменением знака при операции эрмитова сопряжения (то есть при комплексном сопряжении каждого элемента и последующем транспонировании матрицы),
A
=
− − -->
A
∗ ∗ -->
.
{\displaystyle A=-A^{*}.}
Синоним косо-эрмитовой матрицы.
Антисимметричная матрица Синоним кососимметричной матрицы.
Стрелочная матрица [англ.] Квадратная матрица, все ненулевые элементы которой являются элементами первого столбца, первой строки или главной диагонали.
Ленточная матрица [англ.] Квадратная матрица, все ненулевые элементы которой примыкают к главной диагонали.
Бидиагональная матрица [англ.] Матрица, все ненулевые элементы которой находятся на главной диагонали и на одной из под- или наддиагонали.
Бисимметричная матрица Квадратная матрица, симметричная как относительно главной диагонали, так и относительно побочной диагонали.
Блочно-диагональная матрица Блочная матрица , у которой имеются матрицы только на главной диагонали.
Блочная матрица Матрица, которая разбита на подматрицы, называемые блоками.
Блочно-трёхдиагональная матрица [англ.] Блочная матрица , чьи блоки организованы так же, как у трёхдиагональной матрицы .
Матрица Коши Матрица, каждый элемент которой имеет вид
a
i
j
=
1
/
(
x
i
+
y
j
)
,
{\displaystyle a_{ij}=1/(x_{i}+y_{j}),}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
y
j
{\displaystyle y_{j}}
Центросимметричная матрица Матрица, симметричная относительно своего центра, то есть:
a
i
j
=
a
n
− − -->
i
+
1
,
n
− − -->
j
+
1
{\displaystyle a_{ij}=a_{n-i+1,n-j+1}}
Конференс-матрица Квадратная матрица с нулевыми элементами на диагонали и элементами вида +1 и −1 вне диагонали, такая, что
C
T
C
{\displaystyle C^{T}C}
Комплексная матрица Адамара [англ.] Матрица, все строки и столбцы которой попарно ортогональны друг другу, а сами элементы унимодулярны.
Положительно полуопределенная матрица Квадратная матрица с вещественными элементами такая, что квадратичная форма
x
T
A
x
{\displaystyle x^{T}Ax}
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
=
x
T
A
x
{\displaystyle f(x)=x^{T}Ax}
Диагонально доминирующая матрица Матрица, элементы которой удовлетворяют указанному здесь условию:
|
a
i
i
|
≥ ≥ -->
∑ ∑ -->
j
≠ ≠ -->
i
|
a
i
j
|
for all
i
,
{\displaystyle |a_{ii}|\geq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|\quad {\text{for all }}i,}
Диагональная матрица Матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.
Элементарная матрица [англ.] Матрица, которая получается из единичной при помощи элементарных преобразований.
Эквивалентная матрица [англ.] Матрица, которая получается из другой матрицы при помощи элементарных преобразований над строками или столбцами.
Матрица Фробениуса Матрица, которая получается из единичной при помощи сдвига и добавления нового столбца.
Эрмитова матрица , эрмитово-самосопряжённая матрицаКвадратная матрица с комплексными элементами, переходящая в себя при операции эрмитова сопряжения (то есть при комплексном сопряжении каждого элемента и последующем транспонировании матрицы),
A
=
A
∗ ∗ -->
.
{\displaystyle A=A^{*}.}
Матрица Адамара Квадратная матрица , составленная из чисел
+
1
{\displaystyle +1}
− − -->
1
{\displaystyle -1}
ортогональны .
Ганкелева матрица Квадратная матрица, в которой на всех диагоналях, перпендикулярных главной, стоят равные элементы; также - перевёрнутая Матрица Тёплица .
Матрица Хессенберга Это квадратная матрица у которой все элементы лежащие ниже (выше) первой поддиагонали равны нулю.
Целочисленная матрица Матрица, элементы которой являются целыми числами .
Матрица Метцлера Матрица, у которой все недиагональные компоненты больше или равны нулю.
Неотрицательная матрица Матрица, все элементы которой неотрицательны.
Блочная матрица Представление матрицы, при котором она рассекается вертикальными и горизонтальными линиями на прямоугольные части — блоки.
Матрица перестановки Квадратная матрица, в которой в каждом столбце и в каждой строке стоит ровно одна единица, а остальные нули. Является матричным представлением перестановки.
Обобщённая матрица перестановки [англ.] Квадратная матрица с ровно одним ненулевым элементом в каждой строке и в каждом столбце.
Персимметричная матрица Матрица, симметричная относительно побочной диагонали:
a
i
j
=
a
n
− − -->
j
+
1
,
n
− − -->
i
+
1
.
{\displaystyle a_{ij}=a_{n-j+1,n-i+1}.}
Полиномиальная матрица Матрица, все элементы которой суть полиномы.
Положительная матрица Матрица, все элементы которой положительны.
Матрица кватернионов Матрица, все элементы которой представляют собой кватернионы .
Матрица знака [англ.] Матрица, все элементы которой равны 1, 0 или −1.
Матрица сигнатуры [англ.] Матрица, все элементы которой равны либо 1, либо −1.
Косоэрмитова матрица Квадратная комплексная матрица, которая меняет знак при эрмитовом сопряжении .
То же, что и антиэрмитова матрица .
Кососимметричная матрица Квадратная матрица, которая меняет знак при транспонировании,
a
i
j
=
− − -->
a
j
i
.
{\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}.}
То же, что и антисимметричная матрица .
Небесная матрица [англ.] Ленточная матрица , реорганизованная таким образом, чтобы уменьшить занимаемое пространство.
Разреженная матрица Матрица, практически полностью состоящая из нулей.
Алгоритмы для разреженных матриц позволяют обрабатывать бо́льшие матрицы, чем для плотных
Матрица Сильвестра Квадратная матрица , чьи элементы — это коэффициенты двух полиномов.Матрица Сильвестра не вырождена тогда и только тогда, когда два полинома взаимно просты .
Симметричная матрица Квадратная матрица , которая совпадает со своей транспонированной:
A
=
A
T
{\displaystyle A=A^{T}}
a
i
,
j
=
a
j
,
i
{\displaystyle a_{i,j}=a_{j,i}}
Тёплицева матрица Матрица, у которой на диагоналях стоят одни и те же элементы.
Треугольная матрица Матрица, у которой все элементы выше главной диагонали нулевые (нижнетреугольная матрица), или матрица, у которой все элементы ниже главной диагонали нулевые (верхнетреугольная матрица).
Трёхдиагональная матрица Матрица, у которой все ненулевые элементы располагаются на трёх диагоналях: главной, первой сверху и первой снизу.
Унитарная матрица Квадратная комплексная матрица, обращение которой даёт эрмитово-сопряжённую матрицу ,
A
− − -->
1
=
A
∗ ∗ -->
.
{\displaystyle A^{-1}=A^{*}.}
Специальная унитарная матрица Унитарная матрица , определитель которой равен единице
Матрица Вандермонда Матрица, строки (или столбцы) которой представляют собой последовательные степени: 1, a a 2 a 3 a n
Матрица Уэлша [англ.] Квадратная матрица размера, равного степени двойки, состоящая из элементов +1 или −1.
Z-матрица Матрица, все недиагональные элементы которой меньше нуля.
Матрицы, представленные ниже, характеризуются тем, что их элементы являются одними и теми же для всех возможных размеров матриц.
Название
Описание
Условия на элементы
Примечания
Обменная матрица Бинарная матрица , у которой на побочной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы нулевые.
a
i
j
=
δ δ -->
n
+
1
− − -->
i
,
j
{\displaystyle a_{ij}=\delta _{n+1-i,j}}
См. Матрица перестановки .
Матрица Гильберта
a
i
j
=
(
i
+
j
− − -->
1
)
− − -->
1
{\displaystyle a_{ij}={(i+j-1)}^{-1}}
См. Ганкелева матрица .
Единичная матрица Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю.
a
i
j
=
δ δ -->
i
j
{\displaystyle a_{ij}=\delta _{ij}}
Матрица Лемера aij = min(i, j ) ÷ max(i, j )См. положительную симметричную матрицу .
Матрица единиц Матрица, все элементы которой суть единицы.
a
i
j
=
1
{\displaystyle a_{ij}=1}
Матрица Паскаля Матрица, состоящая из элементов треугольника Паскаля .
Матрица Паули Блочная матрица, состоящая из блоков размера 2 × 2, каждый из которых представляет собой комплексную эрмитовую и унитарную матрицу.
Матрица Редхеффера a ij i делится на j или если j = 1; в противном случае, a ij См. (0, 1)-матрица .
Матрица сдвига Матрица, у которой на одной из побочных диагоналях стоят единицы, а остальные элементы нулевые.
a
i
j
=
δ δ -->
i
+
1
,
j
{\displaystyle a_{ij}=\delta _{i+1,j}}
a
i
j
=
δ δ -->
i
− − -->
1
,
j
{\displaystyle a_{ij}=\delta _{i-1,j}}
Умножением на эту матрицу элементы сдвигаются на одну позицию.
Нулевая матрица Матрица, у которой все элементы нулевые.
a
i
j
=
0
{\displaystyle a_{ij}=0}
Название
Описание
Примечания
Идемпотентная матрица Матрица A обладающая свойством A ² = AA = A .
Обратимая матрица Квадратная, имеющая обратную , то есть, такую матрицу B , что AB = BA = I .
Обратимые матрицы образуют общую линейную группу .
Инволютивная матрица Квадратная матрица A , обратная самой себе, то есть AA = I .
Нильпотентная матрица Квадратная матрица A такая, что A q q .
Эквивалентно, все собственные значения A равны 0.
Нормальная матрица Квадратная матрица, коммутирующая со своей эрмитово-сопряжённой : AA ∗ = A ∗ A
Для таких матриц справедлива спектральная теорема .
Ортогональная матрица Матрица, обратная своей транспонированной : A −1 = A T
Такие матрицы образуют ортогональную группу .
Ортонормированная матрица Матрица, столбцы которой являются ортонормированными векторами.
Вырожденная матрица Квадратная матрица, которая не является обратимой.
Унимодулярная матрица Квадратная матрица с целыми коэффициентами, определитель которой равен +1 или −1.
Унипотентная матрица Квадратная матрица, все собственные значения равны 1.
Эквивалентно, A − I унипотентная группа .
Вполне унимодулярная матрица Матрица, любая обратимая подматрица которой является унимодулярной .
Используется линейном программировании при релаксации целых программ.
Весовая матрица Квадратная матрица, элементы которой принадлежат множеству {0, 1, −1 }, так что AA T = wI для некоторого целого w .
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — М. : Физматлит, 2004. — 560 с. — ISBN 5-9221-0524-8 .Ланкастер П. Теория матриц. — М. : Наука , 1973.Векторы и матрицы
Векторы
Основные понятия Виды векторов Операции над векторами Типы пространств
Матрицы
Другое
