Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров — матрица размеров , определённая как .
Например,
- и
То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.
Свойства транспонированных матриц
- Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
- Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
- Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
- При транспонировании можно выносить скаляр.
- Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
Связанные определения
Симметричная матрица (симметрическая матрица) — матрица,
удовлетворяющая соотношению .
Для того чтобы матрица была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы:
- матрица была квадратной;
- элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны, то есть .
Антисимметричная (кососимметричная) матрица (антисимметрическая, кососимметрическая) — матрица,
удовлетворяющая соотношению .
Для того чтобы матрица была антисимметричной, необходимо и достаточно, чтобы:
- матрица была квадратной;
- элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и противоположны по знаку, то есть .
Отсюда следует, что элементы главной диагонали антисимметричной матрицы равняются нулю:
.
Для любой квадратной матрицы имеется представление
,
где — симметричная часть,
— антисимметричная часть.
См. также
Векторы и матрицы |
---|
Векторы | Основные понятия | |
---|
Виды векторов | |
---|
Операции над векторами | |
---|
Типы пространств | |
---|
|
---|
Матрицы | |
---|
Другое | |
---|