Mollificatore

Un mollificatore a supporto contenuto nell'intervallo [-1,1]

In matematica, più precisamente in analisi funzionale, un mollificatore è una funzione di variabile reale che soddisfa certe proprietà di regolarità e di limitatezza del supporto.

Le successioni di mollificatori sono usate spesso per approssimare (in un senso ben preciso) funzioni che presentano delle discontinuità o degli "angoli" mediante funzioni più regolari, che localmente sono costruite tramite una media integrale del valore della funzione nel punto.

Definizione

Un mollificatore è una funzione ${\displaystyle \rho :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ che soddisfa le seguenti proprietà:

• ${\displaystyle \rho \in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$
• ${\displaystyle {\mbox{supp}}(\rho )\subset B\left(0,{\frac {1}{n}}\right)}$
• ${\displaystyle \rho \geq 0}$
• ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\rho =1}$

dove con ${\displaystyle {\mbox{supp}}(\rho )}$ si intende il supporto di ${\displaystyle \rho }$, cioè la chiusura dell'insieme di punti dove ${\displaystyle \rho }$ non si annulla, e ${\displaystyle B\left(0,{\frac {1}{n}}\right)}$ è la palla centrata nell'origine di raggio ${\displaystyle 1/n}$.^[1]

Si dimostra che esistono infinite successioni di mollificatori; una possibile costruzione è la seguente:

${\displaystyle \rho _{1}(x)={\begin{cases}e^{1 \over ||x||^{2}-1}&{\mbox{ se }}||x||<1\\0&{\mbox{ se }}||x||\geq 1\end{cases}}}$

${\displaystyle \rho _{n}(x)=c_{n}\rho _{1}(nx)}$

dove ${\displaystyle c_{n}}$ è una costante che normalizza l'integrale a 1.

Proprietà e utilizzi

In alto: un mollificatore. In basso, una funzione irregolare in rosso e la sua regolarizzata in blu

In analisi funzionale e teoria delle distribuzioni si lavora di solito con funzioni "regolari", cioè possedenti un certo numero di derivate, costruendo strumenti per estrapolare informazioni e dare risultati su esse. Se ciò non è possibile, si tenta di "regolarizzare" una funzione, cioè approssimarla con funzioni regolari, che tendano alla funzione originaria in una certa topologia funzionale.

I mollificatori si prestano bene allo scopo: se ad es. ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ è la funzione da regolarizzare (ad esempio localmente integrabile), allora la funzione:

${\displaystyle \rho *u(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\rho (y)u(x-y)dy}$

per le proprietà della convoluzione è liscia e dunque altamente regolare. Tale funzione si presenta come una media pesata dei valori di ${\displaystyle u}$ per punti vicini a ${\displaystyle x}$, in quanto per definizione di ${\displaystyle \rho }$ l'integranda è non nulla solo in una palla centrata in ${\displaystyle x}$ di raggio ${\displaystyle 1/n}$ e assume valori massimi (che quindi per l'integrale "contano" di più) per valori molto vicini a ${\displaystyle x}$.

La bontà di questa costruzione è assicurata dai seguenti risultati:

• Se ${\displaystyle u}$ è continua allora ${\displaystyle \rho _{n}*u}$ converge a ${\displaystyle u}$ uniformemente sui compatti.

• Se ${\displaystyle u\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$, con ${\displaystyle p<\infty }$, allora ${\displaystyle \rho _{n}*u}$ converge a ${\displaystyle u}$ in norma ${\displaystyle L^{p}}$.

Quest'ultimo risultato consente anche di dimostrare che lo spazio delle funzioni test è denso sia in ${\displaystyle L^{p}}$ che nello spazio di Sobolev ${\displaystyle W^{1,p}}$ per ${\displaystyle p<\infty }$.

Note

1. H. Brezis, p. 111.

Bibliografia

• Haïm Brezis, Analisi funzionale - Teoria e applicazioni, Napoli, Liguori, 1990, ISBN 88-207-1501-5.

Voci correlate

• Convoluzione
• Funzione di cutoff
• Funzione test
• Spazio Lp
• Spazio di Sobolev