Classe C di una funzione

In analisi matematica, la classe ${\displaystyle C}$ di una funzione di variabile reale indica l'appartenenza della stessa all'insieme delle funzioni derivabili con continuità per un certo numero di volte. Si dice che una funzione definita su un insieme ${\displaystyle A}$ è di classe ${\displaystyle C^{k}}$ se in ${\displaystyle A}$ esistono tutte le derivate fino al ${\displaystyle k}$-esimo ordine, e la ${\displaystyle k}$-esima è continua (quando la funzione è continua si dice che è di classe ${\displaystyle C^{0}}$). Si tratta, sostanzialmente, dello spazio delle funzioni differenziabili. Il sottoinsieme delle funzioni le cui prime ${\displaystyle k}$ derivate sono limitate è uno spazio vettoriale.

La derivabilità rispetto ad una variabile garantisce la continuità della funzione rispetto a tale variabile, sicché lo spazio ${\displaystyle C^{1}(\mathbb {R} )}$ delle funzioni differenziabili con continuità sul campo reale è contenuto nello spazio ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )}$ delle funzioni continue. In generale, ${\displaystyle C^{k}}$ è contenuto in ${\displaystyle C^{k-1}}$ per ogni ${\displaystyle k}$.

Di particolare importanza è l'insieme ${\displaystyle C^{\infty }}$ delle funzioni lisce, tra le quali vi sono i polinomi, e l'insieme ${\displaystyle C^{\omega }}$ delle funzioni analitiche, definite come le funzioni lisce che sono uguali alla loro espansione in serie di Taylor attorno ad ogni punto del dominio.

Definizione

Sia ${\displaystyle A}$ un sottoinsieme aperto di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ e ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$. Una funzione di variabile reale ${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$si dice di classe ${\displaystyle C^{k}}$ se in ogni punto di ${\displaystyle A}$ esistono tutte le derivate parziali di ${\displaystyle f}$ fino al ${\displaystyle k}$-esimo ordine, e tali derivate parziali sono funzioni continue. L'insieme delle funzioni di classe ${\displaystyle C^{k}}$ da ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ si indica generalmente con ${\displaystyle C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})}$; inoltre, è consuetudine porre anche ${\displaystyle C^{k}(A):=C^{k}(A,\mathbb {R} )}$. Se ${\displaystyle k>0}$, si ha perciò che ${\displaystyle f\in C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})}$ se e solo se

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{r}}}\in C^{k-1}(A)\qquad \forall r=1,\ldots ,m,\quad \forall i=1,\ldots ,n,}$

dove ${\displaystyle f_{i}}$ indica la proiezione di ${\displaystyle f}$ sulla ${\displaystyle i}$-esima componente: formalmente, se per ogni ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ poniamo

${\displaystyle \qquad {\begin{array}{ccccc}\pi _{i}&:&\mathbb {R} ^{n}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&&a:=(a_{1},\ldots ,a_{n})&\mapsto &a_{i}\end{array}}}$,

si ha ${\displaystyle f_{i}:=\pi _{i}\circ f}$.

Inoltre, per la convenzione secondo cui l'unica derivata parziale di ${\displaystyle f}$ di ordine ${\displaystyle 0}$ è ${\displaystyle f}$ stessa, segue direttamente dalla definizione che ${\displaystyle f\in C^{0}(A,\mathbb {R} ^{n})}$ se e solo se ${\displaystyle f}$ è continua. Chiaramente, per ogni ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ risulta ${\displaystyle C^{k+1}(A,\mathbb {R} ^{n})\subseteq C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})}$.

Una funzione ${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ si dice poi di classe ${\displaystyle C^{\infty }}$(o liscia) se in ogni punto di ${\displaystyle A}$ esistono tutte le derivate parziali di ${\displaystyle f}$ di qualsiasi ordine, e tali derivate parziali sono funzioni continue; in altre parole, ${\displaystyle f}$ è liscia se e solo se ${\displaystyle f\in C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})}$ per ogni ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$. L'insieme delle funzioni lisce da ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ si indica generalmente con ${\displaystyle C^{\infty }(A,\mathbb {R} ^{n})}$. Evidentemente si ha ${\displaystyle C^{\infty }(A,\mathbb {R} ^{n})=\bigcap _{k\in \mathbb {N} }C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})}$.

Una funzione liscia ${\displaystyle f\in C^{\infty }(A,\mathbb {R} ^{n})}$ si dice di classe ${\displaystyle C^{\omega }}$ (o analitica) se per ogni ${\displaystyle x_{0}\in A}$ esiste un intorno ${\displaystyle U(x_{0})\subseteq A}$ di ${\displaystyle x_{0}}$ in ${\displaystyle A}$ tale che ${\displaystyle f(x)=T_{f,x_{0}}(x)}$ per ogni ${\displaystyle x\in U(x_{0})}$, ove ${\displaystyle T_{f,x_{0}}}$ denota lo sviluppo di Taylor di ${\displaystyle f}$ centrato in ${\displaystyle x_{0}}$. L'insieme delle funzioni analitiche da ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ si indica con ${\displaystyle C^{\omega }(A,\mathbb {R} ^{n})}$.

È possibile fornire esempi di funzioni lisce ma non analitiche.

L'insieme di definizione

Particolare attenzione bisogna rivolgere all'insieme ${\displaystyle A}$ su cui è definita la funzione. Nella definizione di derivata il punto in cui si calcola il limite viene preso interno ad ${\displaystyle A}$ (oppure ${\displaystyle A}$ viene considerato aperto, cosicché tutti i suoi punti siano interni), poiché nei punti di frontiera l'operazione di limite si può applicare solo in modo parziale (solo da alcune "direzioni" e non da altre). Per questo motivo, se ${\displaystyle A}$ non è un aperto, l'affermazione ${\displaystyle f\in C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})}$ deve essere ulteriormente specificata. Non c'è un'unica versione accettata di tale generalizzazione: solitamente si assicura l'esistenza della derivata anche nei punti del bordo e si richiede che tale derivata si riallacci in modo sufficientemente "regolare" a quella nei punti interni. Ad esempio, ci si può "appoggiare" alla definizione precedente, data nel caso in cui il dominio sia un aperto, nel modo seguente: diciamo che ${\displaystyle f}$ è di classe ${\displaystyle C^{k}}$, ovvero ${\displaystyle f\in C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})}$, se e solo se esiste un aperto ${\displaystyle \Omega }$ contenente ${\displaystyle A}$ e una funzione ${\displaystyle {\tilde {f}}\in C^{k}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ che estende ${\displaystyle f}$, cioè tale che ${\displaystyle {\tilde {f}}_{|A}=f}$.

Lo spazio delle funzioni C^k

Dal punto di vista dell'analisi funzionale, se ${\displaystyle \Omega }$ è un insieme compatto in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ (${\displaystyle d}$ naturale), lo spazio ${\displaystyle C^{k}(\Omega )}$ delle funzioni definite in ${\displaystyle \Omega }$ a valori reali (o complessi) di classe ${\displaystyle k}$ è uno spazio vettoriale; con la norma (norma lagrangiana di ordine ${\displaystyle k}$)

${\displaystyle \|f\|_{C^{k}(\Omega )}={\begin{cases}\max _{\Omega }|f|&{\text{ se }}k=0\\\|f\|_{C^{0}(\Omega )}+\sum _{|\alpha |=1}^{k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }f\|_{C^{0}(\Omega )}&{\text{ se }}k>0\end{cases}}}$

risulta essere uno spazio di Banach; ${\displaystyle \mathrm {D} ^{\alpha }f}$ è la derivata ${\displaystyle \alpha }$-esima di ${\displaystyle f}$ espressa nella notazione multi-indice.

Esempi

• L'esponenziale ${\displaystyle {\textrm {exp}}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\;{\textrm {exp}}(x):=e^{x}}$ è una funzione di classe ${\displaystyle C^{\infty }}$, in quanto ha ogni derivata uguale a sé stessa: ${\displaystyle D^{k}({\textrm {exp}})={\textrm {exp}}}$ per ogni ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$; più precisamente, ${\displaystyle {\textrm {exp}}}$ è una funzione analitica.
• L'identità ${\displaystyle {\textrm {id}}_{\mathbb {R} }}$ è di classe ${\displaystyle C^{\infty }}$, in quanto ha derivata prima costante uguale a ${\displaystyle 1}$ e ogni derivata successiva costante uguale a ${\displaystyle 0}$. Più precisamente, è una funzione analitica, come ogni altra funzione polinomiale da ${\displaystyle \mathbb {R} }$ in sé.
• La tangente è una funzione di classe ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} \setminus \left(\pi /2+\pi \mathbb {Z} \right))}$, cioè in tutto il suo insieme di definizione.
• La funzione ${\displaystyle |x|}$ è di classe ${\displaystyle C^{0}}$; essa appartiene a ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )\cap C^{\infty }(\mathbb {R} \setminus \left\{0\right\})}$, in quanto in ${\displaystyle 0}$ non è derivabile.
• La funzione ${\displaystyle |x|^{p}}$ è di classe ${\displaystyle C^{k}}$ se ${\displaystyle k<p\leq k+1}$.

Bibliografia

• Cartan, H. Cours de calcul différentiel, nouv. éd., refondue et corr. Paris: Hermann, 1977.
• S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer-Verlag Italia, Milano, 2004. ISBN 88-470-0259-1

Voci correlate

• Derivata
• Derivata parziale
• Funzione analitica
• Funzione continua
• Funzione differenziabile
• Funzione liscia

Collegamenti esterni

• (EN) Rowland, Todd. C^k Function. From MathWorld
• (EN) Rowland, Todd. C^infinity Function. From MathWorld