Teorema di Bolzano-Weierstrass

Il teorema di Bolzano-Weierstrass afferma che in uno spazio euclideo finito dimensionale ogni successione reale limitata ammette almeno una sottosuccessione convergente.

Un ulteriore enunciato del teorema afferma che: "Un insieme infinito e limitato ammette almeno un punto di accumulazione."

La dimostrazione di questo secondo enunciato si trova subito dopo la dimostrazione del primo.

Esso fu dimostrato nel 1817 dal matematico boemo Bernard Bolzano, ma divenne noto solo mezzo secolo più tardi quando Karl Weierstrass, ignaro del lavoro di Bolzano, fornì una nuova dimostrazione. Per tale motivo esso prende il nome di entrambi gli studiosi.

Il teorema

Sia un insieme limitato e infinito. Allora possiede almeno un punto di accumulazione.

Un corollario immediato del teorema asserisce che ogni successione limitata in [1] ammette almeno una sottosuccessione convergente[2].

Dimostrazione per induzione nel caso n = 1

Sia l'insieme limitato contenuto nell’intervallo (con numeri reali), e si definisca il punto come il punto medio del segmento della retta reale avente come estremi i punti e .

Poiché, per ipotesi, è un insieme infinito, in almeno uno dei due sottointervalli e (la cui unione contiene ) cadranno infiniti elementi di . Si consideri tale sottointervallo (oppure uno qualsiasi tra e , nel caso in cui entrambi contengano infiniti elementi di ) e se ne rinominino gli estremi come e , rispettivamente. Si definisca ora come il punto medio del sottointervallo , e si iteri il procedimento.

Questa procedura si può ripetere indefinitamente e, così facendo, si vengono a creare due successioni:

  • , monotona crescente e che, per il teorema sulle sottosuccessioni monotone contenute in un insieme limitato, ammette limite ;
  • , monotona decrescente e che, per il teorema sulle sottosuccessioni monotone contenute in un insieme limitato, ammette limite .

Ma i due limiti e sono uguali, poiché

e, passando al limite per , si ottiene

ossia

Adesso, considerato che anche , scriviamo la definizione di limite per ambedue le successioni:

  • (essendo monotona crescente, non potrà essere maggiore di )
  • (essendo monotona decrescente, non potrà essere minore di )

Ponendo infine , si otterrà che siano rispettate entrambe le condizioni, e cioè che

il che esprime il fatto che ogni intorno di (di semiampiezza ) contiene un intervallo del tipo il quale, a sua volta, contiene per costruzione infiniti punti di . Dunque in ogni intorno di cadono infiniti punti di e quindi, per definizione di punto di accumulazione, risulta punto di accumulazione per l’insieme .

Si noti che, se durante le ripetute suddivisioni dell'intervallo si fossero trovati altri sottointervalli contenenti infiniti elementi di , allora si sarebbero trovati altri punti di accumulazione per l’insieme .[3]

Dimostrazione (alternativa) nel caso n = 1

La dimostrazione nel caso fa uso dell'assioma di Dedekind (o assioma di completezza) e di un apposito lemma.

Lemma

Ogni successione a valori in ammette una sottosuccessione monotona.

Dimostrazione del lemma

Chiamiamo "picco per la successione" ogni numero naturale tale che, per ogni , risulti ovvero tale che il termine sia maggiore o uguale di ogni termine che lo "segue" nella successione.

Consideriamo il caso in cui la successione abbia infiniti picchi . Ne consegue che otteniamo una sottosuccessione monotona decrescente costituita dagli infiniti picchi della successione di partenza e la tesi (del lemma) è raggiunta.

Risultato simile si ritrova nello studio del limite superiore di una successione. In tale contesto, infatti, si considera la sottosuccessione data da .

Supponiamo adesso che ci sia solo un numero finito di picchi, chiamiamo con N l'ultimo picco e n1 = N + 1. Perciò n1 non è un picco, poiché n1 > N; da ciò segue che esiste un n2 > n1 tale che Allo stesso modo, n2 > N non è un picco, per cui esiste n3 > n2 con . Iterando il procedimento si ottiene la sottosuccessione monotona crescente .

Dimostrazione vera e propria

Supponiamo adesso di avere una successione limitata in ; il lemma precedente implica l'esistenza di una sottosuccessione monotona necessariamente limitata. Dal teorema della convergenza monotona per successioni reali segue che questa sottosuccessione necessariamente converge. Infatti, essendo limitata, avrà l'estremo superiore (inferiore) per l'assioma di Dedekind, che sarà anche il limite della successione. Ciò è provato dal fatto che, chiamato l'estremo superiore, . Essendo monotona, cioè . Si conclude così la dimostrazione del teorema per il caso .

Dimostrazione per n qualsiasi

Nella sua formulazione più generale, il teorema può essere dimostrato tramite il caso : data una successione limitata in , la successione delle prime coordinate è una successione reale limitata e perciò essa ammette sottosuccessione convergente. Da questa possiamo estrarre una sottosottosuccessione (convergente) per la quale la seconda coordinata converga. Iterando questo procedimento per tutte le coordinate si ottiene una volte sottosuccessione della successione di partenza — che è a tutti gli effetti una sottosuccessione della successione di partenza — per la quale ogni coordinata è una successione convergente. Si è così ottenuta una sottosuccessione convergente della successione in .

Formulazione del teorema con la nozione di compattezza

Come affermato si ha un secondo enunciato[4] del teorema:

Sia un insieme infinito, e sia un insieme compatto. Allora ammette almeno un punto di accumulazione in .

Dimostrazione

Supponiamo, per assurdo, che non ammetta punti di accumulazione in . Allora

con un intorno aperto di . Ora, evidentemente, la famiglia di aperti

è una copertura aperta di .

Poiché , per ipotesi, è compatto, da tale copertura aperta è possibile estrarre un sottoricoprimento aperto finito di , ossia una sottofamiglia per qualche tale che

Tuttavia, ciò è assurdo poiché contiene infiniti elementi, mentre contiene al più elementi.

Note

  1. ^ Soddisfacendo le ipotesi del teorema in quanto insieme infinito e limitato in .
  2. ^ Conseguenza del fatto che la successione abbia un punto di accumulazione per il teorema di Bolzano-Weirstrass: se esiste un punto di accumulazione per un certo insieme, allora ogni intersezione di un intorno di privata del punto con l'insieme sarà non vuota, per cui cadranno infiniti punti dell'insieme vicini a piacere al punto di accumulazione, che è limite a cui qualche sottosuccessione estratta dall'insieme converge sicuramente per la definizione di limite di una successione.
  3. ^ G. H. Hardy, A Course of Pure Mathematics, London, 1908.
  4. ^ Più generale nei termini, poiché enunciato per insiemi infiniti in spazi compatti, di cui gli insiemi infiniti limitati in sono un caso particolare.

Altri progetti

Collegamenti esterni

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

Read other articles:

دوف جليكمان   معلومات شخصية الميلاد سنة 1949 (العمر 73–74 سنة)  تل أبيب  مواطنة إسرائيل  الحياة العملية المهنة ممثل،  ومقدم تلفزيوني،  وممثل مسرحي،  وكاتب سيناريو  اللغات العبرية  المواقع IMDB صفحته على IMDB  تعديل مصدري - تعديل   دوف جليكمان (بالعبرية: ...

 

Oil field in southern Beaumont, Texas, United States For the rural neighborhood in Kentucky, see Spindletop, Lexington. United States historic placeSpindleU.S. National Register of Historic PlacesU.S. National Historic Landmark The Lucas gusher at Spindletop, January 10, 1901: This was the first major gusher of the Texas oil boom.Lucas Gusher, Spindletop Oil FieldShow map of TexasLucas Gusher, Spindletop Oil FieldShow map of the United StatesLocation3 mi south of Beaumont, Texas on Spindletop...

 

1924 Arkansas gubernatorial election ← 1922 4 November 1924 1926 →   Nominee Tom Terral John W. Grabiel Party Democratic Republican Popular vote 99,598 25,152 Percentage 79.84% 20.16% Governor before election Thomas Chipman McRae Democratic Elected Governor Tom Terral Democratic Elections in Arkansas Federal government Presidential elections 1836 1840 1844 1848 1852 1856 1860 1868 1872 1876 1880 1884 1888 1892 1896 1900 1904 1908 1912 1916 1920 1924 1928 1932 1...

Чорна хмараангл. The Black Cloud Жанр Наукова фантастикаФорма романАвтор Фред ГойлМова англійськаОпубліковано 1957Видавництво William Heinemann LtdХудожник обкладинки Desmond SkirrowdISBN-13: 978-0-451-11432-7ISBN-10: 0-451-11432-9 «Чорна хмара» (англ. The Black Cloud; 1957) — науково-фантастичний роман відомого англійс...

 

Pairan Manurung merupakan atlet pertama penyandang disabilitas di Indonesia. Ia merupakan salah seorang pendiri Yayasan Pembina Olahraga Cacat (YPAC) di Surakarta, Jawa Tengah, Indonesia atau sekarang disebut National Paralympic Committee of Indonesia (NPC).[1] Referensi ^ Sejarah NPC Indonesia Daerah Istimewa Yogyakarta | NPC D.I.Y (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-06-06.  Artikel bertopik biografi Indonesia ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia de...

 

2008 studio album by JovanottiSafariStudio album by JovanottiReleased18 January 2008GenreWorld music, alternative hip hop, alternative rockLength71:24LabelUniversal, SolelunaProducerAlessandro Cortini, Michele Canova, JovanottiJovanotti chronology ElectroJova - Buon sangue dopato(2006) Safari(2008) OYEAH(2009) Singles from Safari FangoReleased: 6 December 2007 A teReleased: 7 March 2008 SafariReleased: 4 July 2008 Come musicaReleased: 20 October 2008 MezzogiornoReleased: 23 January 20...

Ramón de la Cruz Retrato publicado en Don Ramón de la Cruz y sus obras por Emilio Cotarelo y Mori, 1899.Información personalNombre de nacimiento S Nombre en español Ramón de la Cruz Cano y Olmedilla Nacimiento 28 de marzo de 1731 Madrid (España) Fallecimiento 5 de marzo de 1794 Madrid (España) Nacionalidad EspañolaInformación profesionalOcupación Escritor, libretista y autor teatral Firma [editar datos en Wikidata] Don Ramón de la Cruz Cano y Olmedilla (Madrid, 28 de marz...

 

Georg Walther Groddeck (13 October 1866 – 10 June 1934) was a physician and writer regarded as a pioneer of psychosomatic medicine. Early life Groddeck was born in Bad Kösen to a Lutheran family.[1] His works before World War I wholly accepted eugenics and Völkisch movement ideology.[2] Publications In 1902 Groddeck published his first book, Ein Frauenproblem, dedicated to his wife; in 1909, the book Hin zu Gottnatur was released. In 1913 he published Nasamecu. Der gesunde...

 

David TaceyBornMelbourne, AustraliaEducationBA Hons (Flinders), PhD (Adelaide)Occupation(s)Writer, interdisciplinary scholar David Tacey is an Australian public intellectual, writer and interdisciplinary scholar. He is Emeritus Professor of Literature at La Trobe University in Melbourne and Research Professor at the Australian Centre for Christianity and Culture in Canberra. Early years and education Tacey was born in Melbourne but his young adult life was spent in Alice Springs, central...

Royal Navy admiral of the fleet (1790–1885) For the British artist, see George William Sartorius. Sir George Rose SartoriusSir George Rose Sartorious, Count of Penha FirmeBorn(1790-08-09)9 August 1790Bombay, IndiaDied13 April 1885(1885-04-13) (aged 94)Lymington, HampshireBuriedSt. Mary's Church, South Baddesley, HampshireAllegiance United Kingdom Kingdom of PortugalService/branch Royal Navy Portuguese NavyYears of service1801–1832, 1836–1885 (UK)1832–1833 (Por...

 

1962 science fiction novel by Brian Aldiss Hothouse First editionAuthorBrian AldissCover artistOscar MellorCountryUnited KingdomLanguageEnglishGenreScience fictionPublisherFaber and FaberPublication date1962Media typePrint (hardback & paperback)Pages253 Hothouse is a 1962 science fiction novel by British writer Brian Aldiss, composed of five novelettes that were originally serialised in The Magazine of Fantasy & Science Fiction in 1961. In the US, an abridged version was pub...

 

 Nota: Para outros significados de Hitler, veja Hitler (desambiguação). Adolf Hitler Adolf HitlerHitler em 1938 Führer da Alemanha Período 2 de agosto de 1934até 30 de abril de 1945 Antecessor(a) Paul von Hindenburg (Presidente) Sucessor(a) Karl Dönitz (Presidente) Chanceler da Alemanha Período 30 de janeiro de 1933até 30 de abril de 1945 Presidente Paul von Hindenburg (1933-1934) Antecessor(a) Kurt von Schleicher Sucessor(a) Joseph Goebbels Reichsstatthalter da Prússia Período...

Literature work by Ibn al-Khatib This article is an orphan, as no other articles link to it. Please introduce links to this page from related articles; try the Find link tool for suggestions. (April 2021) Jadaka al-Ghaithu (Arabic: جَادَكَ الغَيْثُ Good Rain Would Befit You) is an Arabic muwashshah by Ibn al-Khatib.[1] It was written as a madīh (مديح panegyric) of Sultan Muhammad V of Granada.[2] Abd al-Halim Husayn Harrut estimates it was written in the Hi...

 

American politician (born 1971) Ted BuddOfficial portrait, 2023United States Senatorfrom North CarolinaIncumbentAssumed office January 3, 2023Serving with Thom TillisPreceded byRichard BurrMember of the U.S. House of Representativesfrom North Carolina's 13th districtIn officeJanuary 3, 2017 – January 3, 2023Preceded byGeorge HoldingSucceeded byWiley Nickel Personal detailsBornTheodore Paul Budd (1971-10-21) October 21, 1971 (age 52)Winston-Salem, North ...

 

Sultan Maulana Muhammad Al-BantaniSultan Banten Ke-3Masa jabatan1585–1596PendahuluMaulana YusufPenggantiAbu al-Mafakhir dari Banten Informasi pribadiLahir1576Meninggal1596Saat Pertempuran di PalembangAgamaIslamPasanganNyimas Ratu Ayu WanagiriAnakAbu al-Mafakhir dari BantenOrang tuaMaulana Yusuf (ayah)Ratu Hadijah (ibu)DinastiAzmatkhanDenominasiSunni Maulana Muhammad atau Pangeran Sedangrana merupakan Sultan Banten putra dari Maulana Yusuf, ia memerintah sebagai penguasa di Banten pada renta...

The Shakespeare coat of arms, 1602 version by William Smith, Rouge Dragon Heather Ruth Wolfe FSA (born 1971[1]) is an American curator of manuscripts and archivist at the Folger Shakespeare Library.[2] A Shakespeare detective, she has been noted for her research into the history of the Shakespeare coat of arms.[3][4][5] She headed Shakespeare Documented, a project to make contemporary texts involving Shakespeare available online,[2][5] a...

 

1982 studio album by Zé RamalhoForça VerdeStudio album by Zé RamalhoReleased1982RecordedApril 1982GenreMPBLength45:1258:12 (Remastered version)LabelEpic (CBS – Sony Music)ProducerZé Ramalho and Mauro MottaZé Ramalho chronology A Terceira Lâmina(1981) Força Verde(1982) Orquídea Negra(1983) Força Verde is the fifth solo album by Brazilian singer/guitarist Zé Ramalho. It was released in 1982. Ramalho was accused of plagiarism for the opening and title track: its lyrics a...

 

Pour les articles homonymes, voir Vingt-Cinq-Décembre. Éphémérides Décembre 1er 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31         25 novembre 25 janvier Chronologies thématiques Croisades Ferroviaires Sports Disney Anarchisme Catholicisme Abréviations / Voir aussi (° 1852) = né en 1852 († 1885) = mort en 1885 a.s. = calendrier julien n.s. = calendrier grégorien Calendrier Calendrier perpétuel Liste de calendriers Naissan...

Artikel ini membutuhkan rujukan tambahan agar kualitasnya dapat dipastikan. Mohon bantu kami mengembangkan artikel ini dengan cara menambahkan rujukan ke sumber tepercaya. Pernyataan tak bersumber bisa saja dipertentangkan dan dihapus.Cari sumber: Sat Nusapersada – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR PT Sat Nusapersada Tbk.JenisPublikKode emitenIDX: PTSNIndustriElektronikDidirikan1 Juni 1990PendiriAbidin Fan HasibuanKantorpusatJl Pelita V...

 

  Epidendrum Epidendrum nocturnum(especie tipo)TaxonomíaReino: PlantaeDivisión: MagnoliophytaClase: LiliopsidaOrden: AsparagalesFamilia: OrchidaceaeSubfamilia: EpidendroideaeTribu: EpidendreaeSubtribu: LaeliinaeAlianza: EpidendrumGénero: EpidendrumL., 1763Especies Listado completo de especies de Epidendrum Sinonimia Phadrosanthus Neck., Elem. Bot. 3: 153 (1790), opus utique oppr. Amphiglottis Salisb., Trans. Hort. Soc. London 1: 294 (1812). Auliza Salisb., Trans. Hort. Soc. London 1: ...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!