Punto di accumulazione

In matematica il punto di accumulazione è uno dei concetti principali dell'analisi matematica e della topologia.

Definizione

Dato l'insieme ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ (non interessa che ${\displaystyle x_{0}}$ appartenga ad ${\displaystyle A}$ o meno), si dice che ${\displaystyle x_{0}}$ è punto di accumulazione per l'insieme ${\displaystyle A}$ se in ogni intorno ${\displaystyle I(x_{0})}$ di ${\displaystyle x_{0}}$ esiste almeno un elemento ${\displaystyle x}$ diverso da ${\displaystyle x_{0}}$ e appartenente ad ${\displaystyle A}$^[1]. In formule:

${\displaystyle \forall I(x_{0})\,\exists x\in A:x\in I(x_{0})\setminus \{x_{0}\}.}$

Intuitivamente questo significa che arbitrariamente vicino a ${\displaystyle x_{0}}$ ci sono sempre punti di ${\displaystyle A}$ (diversi da ${\displaystyle x_{0}}$).

La definizione di punto di accumulazione è la negazione di quella di punto isolato.

Generalizzazioni

La nozione di punto di accumulazione è generalizzata agli spazi metrici e topologici; in entrambi i casi un punto ${\displaystyle x_{0}}$ è di accumulazione per un insieme ${\displaystyle S}$ se l'insieme ${\displaystyle S}$ contiene punti "arbitrariamente vicini" ad ${\displaystyle x_{0}}$. La nozione di "arbitrariamente vicino" è formalizzata in modo appropriato, a seconda che lo spazio sia munito di una metrica o soltanto di una topologia.

Spazi topologici

In topologia un punto ${\displaystyle x_{0}}$ appartenente ad uno spazio topologico ${\displaystyle (X,T)}$ è un punto di accumulazione per un sottoinsieme ${\displaystyle S}$ di ${\displaystyle X}$ se qualsiasi aperto ${\displaystyle A}$ contenente ${\displaystyle x_{0}}$ interseca ${\displaystyle S}$ in almeno un punto diverso da ${\displaystyle x_{0}}$. In simboli:

${\displaystyle \forall A\in T{\text{ tale che }}x_{0}\in A:\ (A\setminus \lbrace x_{0}\rbrace )\cap S\not =\varnothing .}$

Spazi metrici

In uno spazio metrico, se si considera la topologia naturale indotta dalla metrica, la definizione introdotta precedentemente è equivalente alla seguente:

${\displaystyle \forall r>0:(D(x_{0},r)\setminus \lbrace x_{0}\rbrace )\cap S\not =\varnothing ,}$

dove ${\displaystyle D(x_{0},r)}$ è la palla di raggio ${\displaystyle r}$ e centro ${\displaystyle x_{0}}$. In altre parole, ogni palla centrata in ${\displaystyle x_{0}}$ interseca ${\displaystyle S}$ in qualche punto diverso da ${\displaystyle x_{0}}$.

Nel caso di spazi metrici, se ${\displaystyle x_{0}}$ è punto di accumulazione per ${\displaystyle S}$, allora è possibile trovare punti di ${\displaystyle S}$, distinti da ${\displaystyle x_{0}}$ a distanza arbitrariamente piccola da ${\displaystyle x_{0}}$. Dunque in ogni intorno di ${\displaystyle x_{0}}$ cadono infiniti punti di ${\displaystyle S}$.

Nozioni correlate

L'insieme dei punti di accumulazione di ${\displaystyle S}$ è detto insieme derivato di ${\displaystyle S}$ e si indica di solito con ${\displaystyle S'}$.

Note

1. accumulazione, punto di in "Enciclopedia della Matematica", su treccani.it. URL consultato il 17 aprile 2021.

Voci correlate

• Limite
• Insieme limite
• Punto isolato
• Punto di aderenza
• Frontiera (topologia)
• Teorema di Bolzano-Weierstrass

Collegamenti esterni

• accumulazione, punto di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) limit point, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Punto di accumulazione / Punto di accumulazione (altra versione), su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Punto di accumulazione, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.