Cono (topologia)

Cono di una circonferenza. La circonferenza di partenza è blu, ed il punto collassato è verde.

In topologia, il cono di uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ è un nuovo spazio topologico ${\displaystyle C(X)}$ che, similmente all'usuale cono geometrico, ha un vertice ed una base omeomorfa a ${\displaystyle X}$.

Definizione

Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio topologico. Il cono ${\displaystyle C(X)}$ è lo spazio quoziente

${\displaystyle C(X)=(X\times [0,1])/(X\times \{0\})}$

del prodotto di ${\displaystyle X}$ con l'intervallo unitario ${\displaystyle [0,1]}$ rispetto alla relazione d'equivalenza che identifica tutti i punti del tipo ${\displaystyle (x,0)}$.

Il cono è quindi costruito in due fasi: prima si costruisce un "cilindro" ${\displaystyle X\times [0,1]}$, e quindi si collassa una delle due basi del cilindro ad un punto.

Esempi

Punti

Se ${\displaystyle X}$ è un insieme finito di punti ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}}$ con la topologia discreta, il cono ${\displaystyle C(X)}$ è omeomorfo ad un grafo con vertici ${\displaystyle v,x_{1},\ldots ,x_{k}}$ stellato in ${\displaystyle v}$, cioè con uno spigolo che collega ${\displaystyle v}$ ad ogni ${\displaystyle x_{i}}$.

Dischi e sfere

Valgono gli omeomorfismi seguenti:

${\displaystyle C(S^{n-1})\cong D^{n},\quad C(D^{n-1})\cong D^{n}.}$

Il cono su una sfera è quindi un disco, ed il cono su un disco è anch'esso un disco (l'usuale cono geometrico è infatti omeomorfo ad un disco).

Proprietà

Un cono è sempre connesso per archi, anche se lo spazio di partenza ${\displaystyle X}$ non lo è. Infatti è sempre possibile congiungere due punti del cono passando dal vertice.

Un cono è sempre uno spazio contrattile. Ne segue che ogni spazio topologico è contenuto in uno spazio contrattile.

Bibliografia

• Allen Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0
• (EN) cone, in PlanetMath.