Caratteristica di Eulero

In matematica, e più precisamente in geometria e topologia, la caratteristica di Eulero è un numero intero invariante che descrive alcuni aspetti della forma di uno spazio topologico. Si denota comunemente con ${\displaystyle \chi }$ (lettera greca chi).

La caratteristica di Eulero fu formulata originariamente per i poliedri, e usata per dimostrare vari teoremi, inclusa la classificazione dei solidi platonici: Eulero partecipò attivamente a queste ricerche.

Nella matematica moderna, la caratteristica di Eulero, chiamata anche caratteristica di Eulero-Poincaré, è definita in un ambito più generale a partire da una omologia, introdotta dal matematico Henri Poincaré.

Poliedri

Definizione

La caratteristica di Eulero ${\displaystyle \chi }$ fu definita inizialmente per i poliedri, con la formula

${\displaystyle \chi =V-S+F,}$

dove V, S e F sono rispettivamente il numero di vertici, spigoli e facce del poliedro.

Relazione di Eulero

La relazione di Eulero asserisce che

${\displaystyle \chi =V-S+F=2}$

per tutti i poliedri "senza buchi", ovvero semplicemente connessi. I poliedri convessi rientrano in questa categoria.

Esempi di poliedri convessi

La formula di Eulero può essere usata per dimostrare che ci sono solo 5 solidi platonici:

Nome	Immagine	V (vertici)	S (spigoli)	F (facce)	Caratteristica di Eulero: V − S + F
Tetraedro		4	6	4	2
Cubo		8	12	6	2
Ottaedro		6	12	8	2
Dodecaedro		20	30	12	2
Icosaedro		12	30	20	2

Definizione formale

Complessi di celle o simpliciali

Un poliedro è un esempio di complesso di celle, o di complesso simpliciale: questi sono particolari spazi topologici costruiti a partire da vertici, spigoli, facce 2-dimensionali, facce 3-dimensionali, ecc. Per questi spazi la caratteristica di Eulero è definita semplicemente come

${\displaystyle \chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-k_{3}+\cdots ,}$

dove ${\displaystyle k_{n}}$ è il numero di facce n-dimensionali (vertici e spigoli sono intesi come facce di dimensione 0 e 1).

Lo stesso spazio può essere descritto da molte decomposizioni in celle o simpliciali differenti, con valori ${\displaystyle k_{i}}$ variabili: il fatto notevole, che rende la caratteristica di Eulero importante in geometria, è che la quantità ${\displaystyle \chi }$ è però indipendente dalla decomposizione scelta.

Spazi topologici

Ancora più in generale, si può definire la caratteristica di Eulero-Poincaré di un qualsiasi spazio topologico con l'omologia: senza entrare nel dettaglio, si definisce ${\displaystyle b_{i}}$come la dimensione dell'i-esimo gruppo di omologia, e quindi

${\displaystyle \chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\cdots .}$

Se lo spazio topologico non è troppo complicato, ciascun ${\displaystyle b_{i}}$ è effettivamente un numero (non è infinito), e ${\displaystyle b_{n}}$è zero per ogni n sufficientemente grande.

Proprietà

La caratteristica di Eulero è un invariante topologico: due spazi topologici omeomorfi hanno la stessa caratteristica. Questo è un risultato molto forte, che implica in modo banale la formula di Eulero: i poliedri convessi sono infatti tutti omeomorfi alla sfera bidimensionale.

La caratteristica è anche invariante per equivalenza omotopica: due spazi omotopicamente equivalenti hanno la stessa caratteristica.

Se M e N sono spazi topologici disgiunti, abbiamo

${\displaystyle \chi (M\cup N)=\chi (M)+\chi (N).}$

Più in generale, se M e N sono sottospazi di uno spazio più grande che non si intersecano in modo troppo complicato, vale la relazione

${\displaystyle \chi (M\cup N)=\chi (M)+\chi (N)-\chi (M\cap N).}$

La caratteristica di Eulero di un prodotto di spazi M × N è

${\displaystyle \chi (M\times N)=\chi (M)\cdot \chi (N).}$

Infine, grazie alla dualità di Poincaré, la caratteristica di una varietà differenziabile compatta di dimensione dispari è zero.

Esempi

Spazi contrattili

Ogni spazio contrattile, cioè omotopicamente equivalente a un punto, ha la stessa caratteristica di Eulero del punto, che è 1 perché il punto ha 1 vertice e 0 facce di ogni dimensione maggiore. Quindi la retta, il piano, e ogni spazio euclideo ha caratteristica di Eulero 1.

Superfici

La caratteristica di Eulero di una superficie può essere calcolata agevolmente tramite una suddivisione in poligoni (cioè una descrizione come complesso di celle) e un conteggio del numero di vertici, spigoli e poligoni. La caratteristica di Eulero è l'invariante fondamentale nella classificazione delle superfici.

Nome	Immagine	Caratteristica di Eulero
Sfera		2
Toro		0
Superficie orientabile di genere 2		-2
Superficie orientabile di genere 3.		-4
Nastro di Möbius		0
Piano proiettivo		1
bottiglia di Klein		0
Due sfere (non connesso)		2 + 2 = 4

Nel caso in cui siano dati vertici e facce e la tassellazione sia regolare (tutte le facce contano lo stesso numero di spigoli), è possibile riscrivere la caratteristica di Eulero in modo più semplice senza contare gli spigoli.

${\displaystyle \chi =V-(nF)/2+F}$

dove ${\displaystyle n}$ è il numero di lati (diviso due, perché ogni spigolo è incidente su due facce).

Voci correlate

• Poliedro
• Omologia (topologia)

Collegamenti esterni

• Eulero, caratteristica di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Euler characteristic, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Euler Characteristic, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Euler characteristic, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.