Topologia finale

In matematica, in particolare in topologia generale, la topologia finale o topologia forte su un insieme rispetto ad una famiglia di funzioni è la topologia più fine tale per cui le funzioni della famiglia sono continue.^[1]

La struttura duale alla topologia finale è detta topologia iniziale.

Definizione

Dato un insieme ${\displaystyle X}$ e una famiglia di spazi topologici ${\displaystyle Y_{i}}$ in cui sono definite le funzioni ${\displaystyle f_{i}:Y_{i}\to X}$, la topologia finale ${\displaystyle \tau }$ su ${\displaystyle X}$ è la topologia più fine tale per cui ogni funzione:

${\displaystyle f_{i}:Y_{i}\to (X,\tau )}$

è continua.

Esplicitamente, nella topologia finale un insieme ${\displaystyle U\subset X}$ è aperto se e solo se ${\displaystyle f_{i}^{-1}(U)}$ è aperto in ${\displaystyle Y_{i}}$ per ogni indice ${\displaystyle i}$.

Proprietà

Characteristic property of the final topology

Un sottoinsieme di ${\displaystyle X}$ è aperto o chiuso se e solo se la preimmagine relativa a ${\displaystyle f_{i}}$ è rispettivamente aperta o chiusa in ${\displaystyle Y_{i}}$ per ogni indice ${\displaystyle i}$.

La topologia finale su ${\displaystyle X}$ può essere caratterizzata dalla seguente proprietà: una funzione ${\displaystyle g:X\to Z}$ è continua se e solo se ${\displaystyle g\circ f_{i}}$ è continua per ogni indice ${\displaystyle i}$. Dalle proprietà della topologia naturale definita sull'unione disgiunta degli insiemi di una famiglia di spazi topologici segue che, data una qualsiasi famiglia di funzioni continue ${\displaystyle f_{i}:Y_{i}\to X}$, esiste un'unica funzione continua:

${\displaystyle f\colon \coprod _{i}Y_{i}\to X}$

Se la famiglia di funzioni ${\displaystyle f_{i}}$ ricopre ${\displaystyle X}$ (ovvero ogni ${\displaystyle x\in X}$ è nell'immagine di qualche ${\displaystyle f_{i}}$) allora ${\displaystyle f}$ è una mappa quoziente se e solo se ${\displaystyle X}$ possiede la topologia finale determinata dalle mappe ${\displaystyle f_{i}}$.

Note

1. Reed, Simon, Pag. 111.

Bibliografia

• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0125850506.
• (EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, Massachusetts, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).

Voci correlate

• Relazione di finezza
• Topologia
• Topologia di sottospazio
• Topologia iniziale
• Topologia operatoriale
• Topologia quoziente

Collegamenti esterni

• (EN) initial topology, in PlanetMath.
• (EN) product topology and subspace topology, in PlanetMath.