Teorema di unicità del sollevamento

Il teorema di unicità del sollevamento è un teorema di matematica, e più precisamente di topologia. Il teorema mostra una proprietà cruciale dei rivestimenti.

Enunciato del teorema

Il teorema di unicità del sollevamento asserisce che, se ${\displaystyle Y}$ è connesso, due sollevamenti coincidenti in un punto devono coincidere su tutti i punti (sono cioè la stessa funzione). In altre parole:

Siano dati un rivestimento fra spazi topologici

${\displaystyle p:E\to X\,\!}$

ed una funzione continua

${\displaystyle f:Y\to X\,\!}$

definita su uno spazio connesso ${\displaystyle Y}$. Siano inoltre

${\displaystyle g:Y\to E,\quad h:Y\to E}$

due sollevamenti della ${\displaystyle f}$. Se esiste ${\displaystyle y_{0}}$ in ${\displaystyle Y}$ tale che ${\displaystyle g(y_{0})=h(y_{0})}$ allora ${\displaystyle g(y)=h(y)}$ per ogni ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle Y}$.

Dimostrazione

Consideriamo l'insieme dei punti in cui i due sollevamenti coincidono:

${\displaystyle A=\{y\in Y\ |\ g(y)=h(y)\}}$

Per ipotesi, ${\displaystyle y_{0}}$ è un elemento di ${\displaystyle A}$. Mostriamo che ${\displaystyle A}$ ed il suo complementare ${\displaystyle Y\setminus A}$ sono entrambi aperti: poiché ${\displaystyle Y}$ è connesso, seguirà che ${\displaystyle A=Y}$, e quindi che le due funzioni coincidono ovunque.

Dato ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle Y}$, sia ${\displaystyle V}$ un aperto connesso uniformemente rivestito di ${\displaystyle X}$ contenente ${\displaystyle f(y)}$. Siano ${\displaystyle U_{g},U_{h}}$ le componenti connesse in ${\displaystyle p^{-1}(V)}$ contenenti rispettivamente ${\displaystyle g(y)}$ e ${\displaystyle h(y)}$. Consideriamo l'aperto di ${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle W=g^{-1}(U_{g})\cap h^{-1}U_{h}.}$

Se ${\displaystyle y}$ appartiene ad ${\displaystyle A}$, allora ${\displaystyle g(y)=h(y)}$ e quindi ${\displaystyle U_{g}=U_{h}}$, e siccome la restrizione di ${\displaystyle p}$ all'aperto ${\displaystyle U_{g}=U_{h}}$ è iniettiva segue che ${\displaystyle g(w)=h(w)}$ per ogni ${\displaystyle w}$ in ${\displaystyle W}$, e quindi ${\displaystyle W}$ è interamente contenuto in ${\displaystyle A}$. Questo prova che ${\displaystyle A}$ è aperto.

Se ${\displaystyle y}$ non appartiene ad ${\displaystyle A}$ allora ${\displaystyle U_{g}}$ e ${\displaystyle U_{h}}$ sono disgiunti, e quindi lo sono anche ${\displaystyle W}$ ed ${\displaystyle A}$: questo prova che il complementare di ${\displaystyle A}$ è aperto.

Generalizzazioni

Il teorema è valido anche se ${\displaystyle p:E\to X}$ è solo un omeomorfismo locale.