Matrice jacobiana

In analisi matematica, in particolare nel calcolo vettoriale e nel calcolo infinitesimale, la matrice di Jacobi o matrice jacobiana di una funzione che ha dominio e codominio in uno spazio euclideo è la matrice i cui elementi sono le derivate parziali prime della funzione. Lo Jacobiano è il determinante della matrice jacobiana, quando questa è quadrata. Il nome è dovuto a Carl Gustav Jacob Jacobi. La sua importanza è legata al fatto che, nel caso la funzione sia differenziabile, la jacobiana rappresenta la migliore approssimazione lineare della funzione vicino a un punto dato. In questo senso la jacobiana permette di generalizzare il concetto di derivata estendendo tale nozione alle funzioni vettoriali di variabile vettoriale.

Definizione

Sia ${\displaystyle \mathbf {f} :U\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ una funzione definita su un insieme aperto ${\displaystyle U}$ dello spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. La matrice jacobiana della funzione ${\displaystyle {\mathbf {f} }}$ in ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ è la matrice delle derivate parziali prime della funzione calcolate in ${\displaystyle \mathbf {x} }$:

${\displaystyle \operatorname {J} \mathbf {f} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}},\qquad (\operatorname {J} \mathbf {f} )_{ij}={\frac {\partial f_{i}(\mathbf {x} )}{\partial x_{j}}}.}$

Risulta quindi il prodotto tensoriale fra l'operatore differenziale vettoriale nabla e la funzione stessa:

${\displaystyle \operatorname {J} _{j}=\nabla _{j}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}.}$

In particolare, dette:

${\displaystyle \{\mathbf {e} _{j}\}_{1\leq j\leq n}\qquad \{\mathbf {u} _{i}\}_{1\leq i\leq m},}$

le basi canoniche di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ rispettivamente, il ${\displaystyle j}$-esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato da:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\,(\mathbf {f} \cdot \mathbf {e} _{j})=\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial f_{i}(\mathbf {x} )}{\partial x_{j}}}\cdot \mathbf {u} _{i}}$

dove il punto denota il prodotto scalare.

La jacobiana non è tuttavia una semplice rappresentazione matriciale delle derivate parziali. La funzione ${\displaystyle \mathbf {f} }$ è detta differenziabile in un punto ${\displaystyle \mathbf {x} '}$ del dominio se esiste una applicazione lineare ${\displaystyle \mathbf {L} :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ tale che valga l'approssimazione:^[1]

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {x} ')=\mathbf {L} (\mathbf {x} ')\Delta \mathbf {x} +\mathbf {r} (\Delta \mathbf {x} )}$

dove il resto ${\displaystyle \mathbf {r} (\Delta \mathbf {x} )}$ si annulla all'annullarsi dell'incremento ${\displaystyle \Delta \mathbf {x} }$. Se la funzione ${\displaystyle \mathbf {f} }$ è differenziabile in ${\displaystyle \mathbf {x} '}$, allora tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistono. La jacobiana ${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {f} (\mathbf {x} ')}}$ di ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle \mathbf {x} '}$ è la matrice associata all'applicazione lineare ${\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {x} ')}$ rispetto alle basi canoniche di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} (\mathbf {x} ')\Delta \mathbf {x} &=\operatorname {J} {\mathbf {f} (\mathbf {x} ')}\cdot \Delta \mathbf {x} \\&=\sum _{i=1}^{m}\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}(\mathbf {x} ')}{\partial x_{j}}}\Delta x_{j}\right]\cdot \mathbf {u} _{i}\\&={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}\cdot \Delta \mathbf {x} \end{aligned}}}$

La jacobiana estende così il concetto di derivata di una funzione reale (complessa) in una (due) variabili al caso di una funzione definita in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Casi notevoli

A seconda delle dimensioni ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$, la jacobiana ha diverse interpretazioni geometriche:

• Se ${\displaystyle m=1}$, la jacobiana si riduce a un vettore ${\displaystyle n}$-dimensionale, chiamato gradiente di ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle \mathbf {x} }$. In tal caso si ha:

${\displaystyle L(\mathbf {x} )=\nabla f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial x_{i}}}\cdot \mathbf {e} _{i}}$

Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.

• Se ${\displaystyle n=1}$, la funzione ${\displaystyle f}$ parametrizza una curva in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, il suo differenziale è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.

• Se ${\displaystyle m=n=1}$, la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di derivabilità. La matrice jacobiana si riduce a un numero, cioè la derivata.

Diverse combinazioni lineari di derivate parziali risultano molto importanti nell'ambito delle equazioni differenziali che coinvolgono una funzione vettoriale da ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ in sé. In particolare, la divergenza è un campo scalare che misura la tendenza di un campo vettoriale a divergere o a convergere verso un punto dello spazio, e consente di calcolare il flusso del campo attraverso il teorema della divergenza. Il rotore di un campo vettoriale, inoltre, ne descrive la rotazione infinitesima associando a ogni punto dello spazio un vettore. Tale vettore è allineato con l'asse di rotazione, il suo verso è coerente con quello della rotazione secondo la regola della mano destra e la sua lunghezza quantifica l'entità della rotazione.

Jacobiano

Se ${\displaystyle m=n}$, allora ${\displaystyle f}$ è una funzione dallo spazio ${\displaystyle n}$-dimensionale in sé e la jacobiana è una matrice quadrata. Si può in tal caso calcolare il suo determinante, noto come jacobiano.

Lo jacobiano in un dato punto fornisce importanti informazioni circa il comportamento di ${\displaystyle f}$ nell'intorno del punto. Per esempio, una funzione ${\displaystyle f}$ differenziabile con continuità è invertibile vicino a ${\displaystyle \mathbf {x} '}$ se lo jacobiano in ${\displaystyle \mathbf {x} '}$ è non nullo, come stabilisce il teorema della funzione inversa. Inoltre, se lo jacobiano in ${\displaystyle \mathbf {x} '}$ è positivo ${\displaystyle f}$ preserva l'orientazione vicino a ${\displaystyle \mathbf {x} '}$, mentre se il determinante è negativo ${\displaystyle f}$ inverte l'orientazione.

Il valore assoluto dello jacobiano in ${\displaystyle \mathbf {x} '}$ fornisce il fattore del quale la funzione ${\displaystyle f}$ espande o riduce i volumi vicino a ${\displaystyle \mathbf {x} '}$: per questo motivo esso compare nella generale regola di sostituzione.

Esempio

Lo jacobiano della funzione ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$ con componenti:

${\displaystyle {\begin{cases}f_{1}=5x_{2}\\f_{2}=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\\f_{3}=x_{2}x_{3}\end{cases}}}$

è:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}}$

Da questo si vede che ${\textstyle f}$ inverte l'orientazione vicino a quei punti dove ${\textstyle x_{1}}$ e ${\textstyle x_{2}}$ hanno lo stesso segno. La funzione è localmente invertibile ovunque eccetto i punti caratterizzati da ${\displaystyle x_{1}=0}$ e da ${\displaystyle x_{2}=0}$. Se si inizia con un piccolo volume in un intorno del punto ${\displaystyle (1,1,1)}$ e si applica ${\displaystyle f}$ a tale volume, si ottiene un volume 40 volte superiore all'originale.

Note

1. Rudin, p. 213.
2. Rudin, p. 217.

Bibliografia

• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203.
• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
• F.R. Gantmakher, M.G. Krein, Oscillation matrices and kernels and small vibrations of mechanical systems, Dept. Commerce USA. Joint Publ. Service (1961)

Voci correlate

• Derivata parziale
• Funzione differenziabile
• Matrice di trasformazione
• Matrice hessiana
• Trasformazione lineare
• Derivata totale

Collegamenti esterni

• matrice jacobiana, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Matrice jacobiana, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Matrice jacobiana, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.