Convoluzione

Convoluzione di due impulsi rettangolari ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ di pari lunghezza: la forma d'onda ${\displaystyle f\ast g}$ che ne risulta è un impulso triangolare. Si tratta del prodotto di una delle due funzioni, in tal caso ${\displaystyle f}$, con l'altra riflessa rispetto a ${\displaystyle \tau =0}$ e traslata di ${\displaystyle t}$, ottenendo ${\displaystyle f(\tau )g(t-\tau )}$. L'area del prodotto che ne risulta (in giallo) è il valore dell'integrale di convoluzione. Nell'asse orizzontale del grafico figurano i valori della variabile ${\displaystyle \tau }$ per rappresentare ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$, della variabile ${\displaystyle t}$ per ${\displaystyle f\ast g}$. Se i due segnali rettangolari avessero lunghezza differente la convoluzione genererebbe la funzione trapezio.

Convoluzione di un impulso rettangolare con la risposta impulsiva tipica di un circuito RC: il valore della convoluzione è la risposta del circuito quando l'ingresso è l'impulso rettangolare.

In matematica, in particolare nell'analisi funzionale, la convoluzione è un'operazione tra due funzioni di una variabile che consiste nell'integrare il prodotto tra la prima e la seconda traslata di un certo valore. Ha una forte somiglianza con la correlazione incrociata.

La convoluzione viene utilizzata in vari campi della fisica, della statistica, dell'elettronica, dell'analisi d'immagini e della grafica computerizzata. Quando si studiano sistemi dinamici lineari stazionari, l'uscita è data dalla convoluzione tra il segnale in ingresso e la risposta all'impulso del sistema, la cui trasformata di Laplace (o la trasformata di Fourier) è la funzione di trasferimento del sistema.

Definizione

Si considerino due funzioni ${\displaystyle f(t)}$ e ${\displaystyle g(t)}$ definite da ${\displaystyle \mathbb {R} }$ in sé, con ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ integrabili secondo Lebesgue su ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Si definisce convoluzione di ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ la funzione definita nel seguente modo:^[1]

${\displaystyle (f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\ \mathrm {d} \tau =\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )\ \mathrm {d} \tau }$

dove ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }}$ denota l'integrale definito sull'insieme dei numeri reali. Le limitazioni poste alle funzioni ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ assicurano che l'integrale sia un numero reale. È cioè l'integrale del prodotto delle due funzioni dopo che una delle funzioni di partenza è stata rovesciata e traslata, e si può considerare una forma di trasformata integrale. L'ultimo passaggio si può dimostrare considerando ${\displaystyle (t-\tau )=\tau '}$: operando la sostituzione nella prima formula si ottiene la seconda ritornando a chiamare ${\displaystyle \tau '}$ con il nome di ${\displaystyle \tau }$.

Spesso alla variabile ${\displaystyle t}$ si fa corrispondere il tempo, ed in tale contesto la convoluzione può essere descritta come la media pesata della funzione ${\displaystyle f(\tau )}$ all'istante ${\displaystyle t}$, dove la funzione peso è ${\displaystyle g(-\tau )}$ traslata di un intervallo ${\displaystyle t}$, ed al cambiare di ${\displaystyle t}$ la funzione peso enfatizza parti diverse di ${\displaystyle f}$.

Più in generale si possono considerare ${\displaystyle f(t)}$ e ${\displaystyle g(t)}$ definite su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ a valori in ${\displaystyle \mathbb {C} }$, la cui convoluzione è data da:

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\,\mathrm {d} y=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x-y)g(y)\ \mathrm {d} y}$

Se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono due variabili casuali indipendenti con densità di probabilità ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ rispettivamente, allora la densità di probabilità della somma ${\displaystyle X+Y}$ è data dalla convoluzione di ${\displaystyle f}$ con ${\displaystyle g}$.^[2]

Convoluzione circolare

Data una funzione periodica ${\displaystyle x_{T}}$ con periodo ${\displaystyle T}$, la sua convoluzione con un'altra funzione ${\displaystyle h}$ è ancora una funzione periodica e può essere espressa come:

${\displaystyle (x_{T}*h)(t)\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\ \mathrm {d} \tau =\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h_{T}(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\ \mathrm {d} \tau }$

dove ${\displaystyle t_{o}}$ è un parametro arbitrario e ${\displaystyle h_{T}}$ è la sommazione periodica di ${\displaystyle h}$, data da:^[3]

${\displaystyle h_{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }h(t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(t+kT)}$

Si tratta di una convoluzione periodica di ${\displaystyle x_{T}}$ e ${\displaystyle h_{T}}$, e se ${\displaystyle x_{T}}$ è espressa come sommazione periodica di un'altra funzione ${\displaystyle x}$ tale operazione è detta convoluzione circolare o convoluzione ciclica di ${\displaystyle h}$ e ${\displaystyle x}$.

Convoluzione discreta

Si considerino due funzioni ${\displaystyle f[n]}$ e ${\displaystyle g[n]}$ definite sull'insieme ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ degli interi. La convoluzione discreta di ${\displaystyle f}$ con ${\displaystyle g}$ è data da:

${\displaystyle (f*g)[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{m=-\infty }^{\infty }f[m]\,g[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[n-m]\,g[m]}$

Quando si moltiplicano due polinomi con coefficienti dati dalle successioni ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ e ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ la successione dei coefficienti del loro prodotto è data dal prodotto di Cauchy ${\displaystyle \textstyle (c_{n})_{n\geq 0}}$, il cui n-esimo elemento è dato da:

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}}$

che è la convoluzione discreta delle due successioni. Essa equivale al prodotto di ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ e ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ considerati come elementi dell'anello sul gruppo dei numeri naturali ${\displaystyle R[\mathbb {N} ]}$.

Convoluzione discreta circolare

Data una funzione ${\displaystyle g_{N}}$ periodica con periodo ${\displaystyle N}$, per funzioni ${\displaystyle f}$ tali che ${\displaystyle f*g_{N}}$ esiste, la convoluzione discreta è periodica:

${\displaystyle (f*g_{N})[n]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f}[m+kN]\right)g_{N}[n-m]}$

e la somma su k è una sommazione periodica di ${\displaystyle f}$. Se ${\displaystyle g_{N}}$ è la sommazione periodica di un'altra funzione ${\displaystyle g}$, la convoluzione ${\displaystyle f*g_{N}}$ è la convoluzione circolare di ${\displaystyle f}$ con ${\displaystyle g}$. Se inoltre ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ presentano valori diversi da zero esclusivamente nell'intervallo ${\displaystyle [0,N-1]}$ allora ${\displaystyle f*g_{N}}$ assume la forma:

${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g_{N})[n]&=\sum _{m\,=\,0}^{N-1}f[m]\ g_{N}[n-m]\\&=\sum _{m\,=\,0}^{n}f[m]\ g[n-m]+\sum _{m\,=\,n+1}^{N-1}f[m]\ g[N+n-m]\\&=\sum _{m\,=\,0}^{N-1}f[m]\ g[(n-m)_{\bmod {N}}]\equiv (f*_{N}g)[n]\end{aligned}}}$

Dominio di definizione

La convoluzione di due funzioni ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ definite su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ a valori in ${\displaystyle \mathbb {C} }$:

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\ \mathrm {d} y}$

è ben definita solo se ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ decrescono all'infinito abbastanza rapidamente da garantire l'esistenza dell'integrale.

Se ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono funzioni a supporto compatto, ovvero sono funzioni (in questo caso continue) che hanno per supporto un sottoinsieme compatto dell'insieme di definizione, allora la loro convoluzione esiste ed è continua a supporto compatto. Più in generale, se una delle due è a supporto compatto mentre l'altra è localmente integrabile, la loro convoluzione esiste ed è continua.

Se ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono Lebesgue-integrabili (in ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$) allora per il teorema di Tonelli la loro convoluzione è integrabile. Se ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$ e ${\displaystyle g\in L^{p}(\mathbb {R} ^{d})}$, con ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$, allora ${\displaystyle (f*g)\in L^{p}(\mathbb {R} ^{d})}$ e si ha:

${\displaystyle \|{f}*g\|_{p}\leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}}$

In particolare, se ${\displaystyle p=1}$ tale relazione mostra che ${\displaystyle L^{1}}$ con l'operazione di convoluzione è un'algebra di Banach. Più in generale, la disuguaglianza di Young implica che la convoluzione è una funzione bilineare continua tra spazi ${\displaystyle L^{p}}$. Nello specifico, se ${\displaystyle 1\leq p,q,r\leq \infty }$ soddisfano la relazione:

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1}$

allora:

${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}\qquad f\in L^{p}\quad g\in L^{q}}$

sicché la convoluzione è una mappa bilineare continua da ${\displaystyle L^{p}\times L^{q}}$ a ${\displaystyle L^{r}}$.

Distribuzioni

Sotto opportune condizioni è possibile definire la convoluzione di una funzione con una distribuzione e la convoluzione tra due distribuzioni. Se ${\displaystyle f}$ è una funzione a supporto compatto e ${\displaystyle g}$ è una distribuzione, la loro convoluzione è una funzione liscia definita dall'analoga formulazione distribuzionale:

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}{f}(y)g(x-y)\ \mathrm {d} y}$

Più in generale, si può estendere la definizione convoluzione unicamente in modo che la proprietà associativa:

${\displaystyle f*(g*\varphi )=(f*g)*\varphi \,}$

rimanga valida anche qualora ${\displaystyle f}$ sia una distribuzione e ${\displaystyle g}$ una distribuzione a supporto compatto.

Misure

La convoluzione di due misure di Borel ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle \nu }$ a variazione limitata è la misura ${\displaystyle \lambda }$ definita come:

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)d\lambda (x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x+y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \nu (y)}$

Tale definizione coincide con la precedente se ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle \nu }$ sono trattate come distribuzioni, e con la definizione di convoluzione di funzioni in ${\displaystyle L^{1}}$ quando ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle \nu }$ sono assolutamente continue rispetto alla misura di Lebesgue.

Inoltre, la convoluzione di due misure soddisfa la seguente versione della disuguaglianza di Young:

${\displaystyle \|\mu *\nu \|\leq \|\mu \|\|\nu \|}$

dove la norma è la variazione totale della misura.

Proprietà

La convoluzione soddisfa le seguenti proprietà:

• Commutatività

${\displaystyle f*g=g*f}$

Dimostrazione

Partendo dalla definizione:

${\displaystyle (f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\mathrm {d} \tau }$

si applica la sostituzione:

${\displaystyle \tau =t-y\to t-\tau =y}$

da cui:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} y}}=-1\to \mathrm {d} \tau =-\mathrm {d} y}$

Ricordando che gli estremi di integrazione sono espressi in funzione di ${\displaystyle \tau }$, esprimendoli in funzione di ${\displaystyle y}$ l'estremo inferiore diventa:

${\displaystyle \tau =t-y\to -\infty =t-y\to \underbrace {-\infty -t} _{=-\infty }=-y\to y=\infty }$

mentre l'stremo superiore:

${\displaystyle \tau =t-y\to \infty =t-y\to \underbrace {\infty -t} _{=\infty }=-y\to y=-\infty }$

Dato che nel caso di integrali definiti o impropri è possibile invertire gli estremi di integrazione:

${\displaystyle (f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\mathrm {d} \tau =-\int _{\infty }^{-\infty }f(t-y)g(y)\mathrm {d} y=\int _{-\infty }^{\infty }g(y)f(t-y)\mathrm {d} y=(g*f)(t)}$

• Associatività

${\displaystyle f*(g*h)=(f*g)*h}$

• Distributività

${\displaystyle f*(g+h)=(f*g)+(f*h)}$

• Associatività per moltiplicazione per scalare

${\displaystyle a(f*g)=(af)*g=f*(ag)}$

per ogni numero reale (o complesso) ${\displaystyle a}$.

• Regola di differenziazione

${\displaystyle {\mathcal {D}}(f*g)={\mathcal {D}}f*g=f*{\mathcal {D}}g}$

dove con ${\displaystyle {\mathcal {D}}f}$ si è denotata la derivata di ${\displaystyle f}$ o, nel caso discreto, l'operatore differenziale:

${\displaystyle {\mathcal {D}}f(n)=f(n+1)-f(n)}$

Teorema di convoluzione

Il teorema di convoluzione afferma che:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f*g\}=k\cdot {\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}}$

dove ${\displaystyle {\mathcal {F}}(f)}$ indica la trasformata di Fourier di ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle k}$ è una costante che dipende dalla scelta della costante di normalizzazione della trasformata. Altre versioni di questo teorema funzionano per la trasformata di Laplace e la trasformata di Mellin. La trasformata della convoluzione di due funzioni equivale al prodotto delle trasformate delle due funzioni stesse.

Convoluzione su gruppi

Se ${\displaystyle G}$ è un gruppo scelto in modo appropriato e la cui misura corrisponde al valore m (per esempio, un gruppo di Hausdorff localmente compatto con la misura di Haar) e se ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono valori reali o complessi dell'm-integrale di ${\displaystyle G}$, allora la loro convoluzione può essere definita dalla relazione:

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(y)g(xy^{-1})\,\mathrm {d} m(y)}$

Applicazioni

La convoluzione e le relative operazioni sono usate in diverse applicazioni dell'ingegneria e della matematica.

• In statistica, una media mobile pesata è una convoluzione. Anche la distribuzione di probabilità della somma di due variabili casuali indipendenti corrisponde alla convoluzione di ognuna delle loro distribuzioni.
• In ottica, molte specie di "blur" sono descritte tramite la convoluzione. Un'ombra (ad esempio l'ombra su un tavolo che si vede quando gli si interpone un oggetto innanzi la fonte luminosa) è la convoluzione della forma della fonte di luce che sta proiettando l'ombra dell'oggetto illuminato e l'oggetto stesso. Una foto fuori fuoco è la convoluzione dell'immagine a fuoco con la forma del diaframma. Il termine fotografico per tale effetto è bokeh.
• Analogamente, nell'elaborazione digitale delle immagini, i filtri convoluzionali assumono un importante compito negli algoritmi di calcolo dei margini e dei processi correlati.
• Nell'elaborazione digitale dei segnali, il filtraggio di frequenza può essere semplificato convolvendo due funzioni (dati con un filtro) nel dominio del tempo, il che equivale a moltiplicare i dati con un filtro nel dominio di frequenza.
• In acustica lineare, un'eco è la convoluzione del suono originale con una funzione geometrica che descrive i vari oggetti che stanno riflettendo il segnale sonoro.
• In elaborazione digitale dei segnali, nella riverberazione artificiale la convoluzione è utilizzata per codificare la risposta ad impulso di una stanza reale ad un segnale audio digitale.
• In ingegneria elettrica e in altre discipline, l'output (risposta) di un sistema dinamico lineare (stazionario) è la convoluzione di un input (eccitazione d'ingresso) con la risposta impulsiva del sistema (ovvero la risposta quando l'eccitazione d'ingresso è la funzione Delta di Dirac). Nel dominio discreto il concetto di convoluzione viene esteso a una sommatoria, estesa al prodotto di segnale e risposta impulsiva ${\displaystyle y(n)=x(n)*h(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k)\cdot h(n-k)}$^[4], con la sequenza h(n) che prende il nome di "kernel di convoluzione" o "maschera di convoluzione".
• Nella spettroscopia a fluorescenza determinata a tempo, il segnale di eccitazione può essere trattato come una catena di impulsi delta, e la fluorescenza misurata è data dalla somma dei decadimenti esponenziali di ogni impulso delta.

Note

1. W. Rudin, Pag. 170.
2. J. Jacod; P. Protter, Pag. 117.
3. Infatti:

   ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau }$

   ${\displaystyle {\begin{aligned}&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{t_{o}+kT}^{t_{o}+(k+1)T}h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\ d\tau \right]\\&{\stackrel {\tau \to \tau +kT}{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h(\tau +kT)\cdot x_{T}(t-\tau -kT)\ d\tau \right]\\&=\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(\tau +kT)\cdot \underbrace {x_{T}(t-\tau -kT)} _{X_{T}(t-\tau )}\right]\ \mathrm {d} \tau \\&=\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}\underbrace {\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(\tau +kT)\right]} _{{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ h_{T}(\tau )}\cdot x_{T}(t-\tau )\ \mathrm {d} \tau \end{aligned}}}$

4. Smith, Julius O. (Julius Orion) e Stanford University. Department of Music., Spectral audio signal processing, W3K, 2011, ISBN 978-0-9745607-3-1, OCLC 776892709. URL consultato l'8 dicembre 2020.

Bibliografia

• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
• (EN) Jean Jacod, Philip Protter, Probability Essentials, Springer, 2000, ISBN 3-540-43871-8.
• (EN) Walter Rudin, Physics with the hands, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 2013.

Voci correlate

• Convoluzione di Dirichlet
• Funzione di trasferimento
• Deconvoluzione
• Distribuzione (matematica)
• Formula di sommazione di Poisson
• Integrale di Lebesgue
• Misura (matematica)
• Mollificatore
• Teorema di convoluzione

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Convoluzione, su MathWorld, Wolfram Research.
• Convolution, su The Data Analysis BriefBook
• http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html Applet Java sulla convoluzione.
• http://www.jhu.edu/~signals/discreteconv2/index.html Applet Java per la convoluzione di funzioni tempo discrete.
• http://www3.deis.unibo.it/Staff/Research/CCaini/corsoCEA/convoluzione.xls Un foglio elettronico per visualizzare in modo interattivo il prodotto di convoluzione fra due segnali, nell'esempio un impulso ed un'esponenziale monolatera. Tramite un cursore il tempo può essere fatto variare da -∞ a +∞; in corrispondenza di ogni valore viene evidenziata la funzione integrando ed il risultato del prodotto di convoluzione (tramite un marker)
• http://lpsa.swarthmore.edu/Convolution/CI.html Permette di visualizzare in maniera interattiva il risultato della convoluzione di varie coppie di funzioni. L'utente può scegliere tramite un menu a tendina le due funzioni da convolvere e visualizzare istante per istante il risultato.