Teorema di convoluzione

In matematica, il teorema di convoluzione afferma che sotto opportune condizioni la trasformata di Laplace, così come la trasformata di Fourier della convoluzione di due funzioni è il prodotto delle trasformate delle funzioni stesse. Questo teorema ha importanti risvolti nell'analisi dei segnali, in particolare nell'ambito delle reti lineari.

Enunciato

Siano ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ due funzioni la cui convoluzione è indicata da ${\displaystyle f*g}$. Sia ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ l'operatore trasformata di Fourier, sicché ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}}$ e ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{g\}}$ sono le trasformate di ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ rispettivamente. Allora:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f*g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}}$

dove ${\displaystyle \cdot }$ denota la moltiplicazione. Si ha anche che:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\cdot g\}={\mathcal {F}}\{f\}*{\mathcal {F}}\{g\}}$

Applicando la trasformata inversa ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$, si ottiene:

${\displaystyle f*g={\mathcal {F}}^{-1}{\big \{}{\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}{\big \}}}$

Si noti che la relazione è valida esclusivamente per le forme della trasformata mostrate nella dimostrazione riportata in seguito. Il teorema è valido anche per la trasformata di Laplace.

Dimostrazione

La dimostrazione presentata è mostrata per una particolare normalizzazione della trasformata di Fourier: nei casi in cui la normalizzazione sia differente, nella derivazione compare un fattore scalare.

Siano ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ appartenenti a ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$. Sia ${\displaystyle F}$ la trasformata di Fourier di ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle G}$ la trasformata di ${\displaystyle g}$:

${\displaystyle F(\nu )={\mathcal {F}}\{f\}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle G(\nu )={\mathcal {F}}\{g\}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\,\mathrm {d} x}$

dove il punto tra ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle \nu }$ indica il prodotto interno a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Sia ${\displaystyle h}$ la convoluzione di ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$:

${\displaystyle h(z)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,\mathrm {d} x}$

Si nota che:

${\displaystyle \int \!\!\int |f(x)g(z-x)|\,dx\,dz=\int |f(x)|\int |g(z-x)|\,dx\,dz=\int |f(x)|\,\|g\|_{1}\,dx=\|f\|_{1}\|g\|_{1}}$

e quindi, per il teorema di Fubini, si ha che ${\displaystyle h\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$, e dunque la sua trasformata ${\displaystyle H}$ è definita dalla formulazione integrale:

${\displaystyle {\begin{aligned}H(\nu )={\mathcal {F}}\{h\}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(z)e^{-2\pi iz\cdot \nu }\,dz=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,dx\,e^{-2\pi iz\cdot \nu }\,dz\end{aligned}}}$

Dal momento che:

${\displaystyle |f(x)g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \nu }|=|f(x)g(z-x)|}$

grazie a quanto detto sopra si può applicare nuovamente il teorema di Fubini:

${\displaystyle H(\nu )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \nu }\,dz\right)\,dx}$

Sostituendo ${\displaystyle y=z-x}$ si ha quindi ${\displaystyle dy=dz}$, e dunque:

${\displaystyle H(\nu )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} }g(y)e^{-2\pi i(y+x)\cdot \nu }\,dy\right)\,dx}$

${\displaystyle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \nu }\,dy\right)\,dx}$

${\displaystyle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \nu }\,dy}$

Questi due integrali definiscono ${\displaystyle F(\nu )}$ e ${\displaystyle G(\nu )}$, così:

${\displaystyle H(\nu )=F(\nu )\cdot G(\nu )}$

come si voleva dimostrare.

Convoluzione discreta

Si può mostrare in modo simile che la convoluzione discreta di due successioni ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ è data da:

${\displaystyle x*y=\scriptstyle {DTFT}^{-1}\displaystyle {\big [}\scriptstyle {DTFT}\displaystyle \{x\}\cdot \ \scriptstyle {DTFT}\displaystyle \{y\}{\big ]}}$

dove ${\displaystyle \scriptstyle {DTFT}}$ è la trasformata di Fourier a tempo discreto.

Un importante caso particolare è la convoluzione circolare di ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ definita da ${\displaystyle x_{N}*y}$, dove ${\displaystyle x_{N}}$ è una sommazione periodica:

${\displaystyle x_{N}[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN]}$

Si può allora mostrare che:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{N}*y&=\scriptstyle {DTFT}^{-1}\displaystyle {\big [}\scriptstyle {DTFT}\displaystyle \{x_{N}\}\cdot \scriptstyle {DTFT}\displaystyle \{y\}{\big ]}\\&=\scriptstyle {DFT}^{-1}\displaystyle {\big [}\scriptstyle {DFT}\displaystyle \{x_{N}\}\cdot \scriptstyle {DFT}\displaystyle \{y_{N}\}{\big ]}\end{aligned}}}$

dove ${\displaystyle \scriptstyle {DFT}}$ è la trasformata discreta di Fourier. Infatti, ${\displaystyle \scriptstyle {DTFT}\displaystyle \{x_{N}\}}$ può essere scritta come:

${\displaystyle \scriptstyle {DTFT}\displaystyle \{x_{N}\}(f)={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {DFT}\displaystyle \{x_{N}\}[k]\right)\cdot \delta \left(f-k/N\right)}$

così che il suo prodotto con ${\displaystyle \scriptstyle {DTFT}\displaystyle \{y\}(f)}$ è una funzione discreta:

${\displaystyle \scriptstyle {DTFT}\displaystyle \{x_{N}\}\cdot \scriptstyle {DTFT}\displaystyle \{y\}={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\scriptstyle {DFT}\displaystyle \{x_{N}\}[k]\cdot \underbrace {\scriptstyle {DTFT}\displaystyle \{y\}(k/N)} _{\scriptstyle {DFT}\displaystyle \{y_{N}\}[k]}\cdot \delta \left(f-k/N\right)}$

La DTFT inversa è:

${\displaystyle {\begin{aligned}(x_{N}*y)[n]&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\scriptstyle {DFT}\displaystyle \{x_{N}\}[k]\cdot \scriptstyle {DFT}\displaystyle \{y_{N}\}[k]\cdot \delta \left(f-k/N\right)\cdot e^{i2\pi fn}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\scriptstyle {DFT}\displaystyle \{x_{N}\}[k]\cdot \scriptstyle {DFT}\displaystyle \{y_{N}\}[k]\cdot \int _{0}^{1}\delta \left(f-k/N\right)\cdot e^{i2\pi fn}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}\scriptstyle {DFT}\displaystyle \{x_{N}\}[k]\cdot \scriptstyle {DFT}\displaystyle \{y_{N}\}[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k}\\&=\scriptstyle {DFT}^{-1}\displaystyle {\big [}\scriptstyle {DFT}\displaystyle \{x_{N}\}\cdot \scriptstyle {DFT}\displaystyle \{y_{N}\}{\big ]}\end{aligned}}}$

come si voleva dimostrare.

Bibliografia

• (EN) Yitzhak Katznelson, An introduction to Harmonic Analysis, Dover, 1976, ISBN 0-486-63331-4.
• (EN) Arfken, G. "Convolution Theorem." §15.5 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 810-814, 1985.
• (EN) Bracewell, R. "Convolution Theorem." The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 108-112, 1999.

Voci correlate

• Convoluzione
• Integrale di Lebesgue
• Trasformata di Fourier
• Trasformata di Fourier a tempo discreto
• Trasformata discreta di Fourier
• Trasformata di Laplace

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di convoluzione, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Steve Crutchfield, The Joy of Convolution, collana Johns Hopkins University, 9 ottobre 2010. URL consultato il 19 novembre 2010.