Trasformata di Mellin

La trasformata di Mellin, il cui nome deriva dal matematico finlandese Hjalmar Mellin, è una trasformata integrale che può essere considerata la versione moltiplicativa della trasformata di Laplace bilatera.

Definizione

La trasformata di Mellin di una funzione ${\displaystyle f}$ è data da:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)dx}$

Se le condizioni poste dal teorema di inversione di Mellin sono soddisfatte si può definire la trasformata inversa di Mellin:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds}$

dove l'integrale di linea è valutato lungo una linea verticale nel piano complesso.

Relazione con le altre trasformate

La trasformata di Mellin può essere definita attraverso la trasformata di Laplace bilatera come:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f(e^{-x})\right\}(s)}$

e viceversa, la trasformata di Laplace bilatera può essere definita a partire dalla trasformata di Mellin nel seguente modo:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {L}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)}$

La trasformata di Laplace bilatera integra rispetto alla misura di Haar additiva ${\displaystyle dx}$, che è invariante sotto traslazione:

${\displaystyle d(x+a)=dx}$

mentre la trasformata di Mellin può essere vista come un'integrazione che utilizza il nucleo integrale ${\displaystyle x^{s}}$ rispetto alla misura di Haar moltiplicativa ${\displaystyle dx/x}$, che è invariante rispetto ad una dilatazione del tipo ${\displaystyle x\mapsto ax}$, e dunque:

${\displaystyle {\frac {d(ax)}{ax}}={\frac {dx}{x}}}$

La trasformata di Mellin si può anche definire in termini della trasformata di Fourier:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(-is)}$

e viceversa:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {L}}f\right\}(-is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)}$

Bibliografia

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Voci correlate

• Teorema di inversione di Mellin
• Trasformata di Fourier
• Trasformata di Laplace

Collegamenti esterni

• (EN) Mellin Transform and Its Applications (Università Purdue)
• (EN) Trasformata di Mellin (MathWorld)
• (EN) Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• (EN) Trasformata di Mellin (EqWorld)
• (EN) G. L. Porter http://handle.dtic.mil/100.2/ADA319175^{[collegamento interrotto]} (Tesi di Laurea, Air Force Institute of Technology, Wright Paterson, OH, 1997)
• (EN) T. A. Loughlin A table of distributional Mellin transforms (State University of New York, Stony Brook, 1965)
• (EN) A. H. Zemanian The distributional Laplace and Mellin transformations (State University of New York, Stony Brook, 1964)
• (EN) Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums.
• (ES) Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico, newsgroup es.ciencia.matematicas
• (ES) Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas Archiviato il 29 gennaio 2007 in Internet Archive. (in Spanish).
• (EN) Mellin Transform Methods, Digital Library of Mathematical Functions, 2011-08-29, National Institute of Standards and Technology
• (EN) Antonio De Sena and Davide Rocchesso, A FAST MELLIN TRANSFORM WITH APPLICATIONS IN DAFX