八面半八面體
在幾何學 中，八面半八面體 是一種非凸多面體 星形多面體 及均勻多面體 [ 1] U 3 。八面半八面體由8個正三角形和4個正六邊形組成，且每個頂點對應的角皆相等，因此也可以被歸類為擬正多面體[ 2] 半多面體 的特性，因此被部分學者分成一類新的立體，即擬正半多面體（Versi-Regular Polyhedra），這類立體共有九個，最早在1881年由亞伯特·巴杜羅（Albert Badoureau ）發現並描述[ 3] 外接球 半徑相等[ 4] 星形八面體 共同堆砌填滿空間，因此曾應用於建築結構中。[ 5]
八面半八面體共有12個面 、24條邊 和12個頂點 [ 6] [ 7] 十二面體 ，每個頂點都是2個正三角形 和2個六邊形 的公共頂點。[ 6]
八面半八面體是唯一可定向 且歐拉示性數 為零 的半多面體 ，[ 8] [ 9]
八面半八面體僅有一種二面角，為三角形和六邊形的棱之交角，其值為三分之一的反餘弦 值[ 10] [ 11]
cos
− − -->
1
-->
(
1
3
)
≈ ≈ -->
1.230959417
≈ ≈ -->
70.5287
∘ ∘ -->
{\displaystyle \cos ^{-1}({\frac {1}{3}})\approx 1.230959417\approx 70.5287^{\circ }}
其值約為70度31分43.6秒
由於其凸包為截半立方體 ，因此其12頂點會與截半立方體 相同，為(0, ±1, ±1),(±1, 0, ±1),(±1, ±1, 0)，若邊長為a，則座標要縮放
2
2
a
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}a}
[ 12]
八面半八面體具有抽象多胞形半三角形面和互相相交的六邊形面，但若去除相交的面作為一個簡單多面體，則其可以視為由32個正三角形組成的凹多面體[ 13] [ 14] 四角化截半立方體 拓樸同構，不過四角化截半立方體有18個頂點而這種多面體僅有13個頂點是因為有6個頂點在中心共用。另一方面，這個立體也可以視為由8個正四面體組合而成。[ 15] :103
四角化截半立方體
截半立方體
倒四角化截半立方體
八面半八面體的對偶多面體是八面半無窮星形八面體。其外觀與立方半無窮星形八面體 相同[ 16]
從定義上來看，對偶多面體的面會與原始立體的頂點圖相同，同時頂點周圍之面的排列方式會和原始立體的面之邊相同，也就是說對偶多面體的頂點圖為原始立體的面[ 17] [ 7] 实射影平面 上的點。[ 18] [ 7] [ 18]
八面半八面體可以被切割重新拼湊成星形八面體 [ 19]
八面半八面體可透過截去皮特里立方體的所有頂點來構造，也就是說，八面半八面體可以視為截半 的皮特里立方體 。[ 20] [ 21]
八面半八面體可以視為是截半立方體 經過刻面後的結果[ 4] 立方半八面體 也可以視為是刻面的截半立方體[ 22]
截半立方體
立方半八面體
八面半八面體
八面體對稱
四面體對稱
八面體對稱
四面體對稱
2 | 3 4
3 3 | 2
4/3 4 | 3
3/2 3 | 3
中心八面半八面體數是一種排列成八面半八面體的有形數。第n個中心八面半八面體數可以表示為
4
n
3
+
24
n
2
+
8
n
+
3
3
{\displaystyle {\tfrac {4n^{3}+24n^{2}+8n+3}{3}}}
[ 23] OEIS 數列A005902 ）相同，第三項開始少去了八面半八面體數相對於截半立方體缺少的6個四角錐[ 23]
前幾個中心八面半八面體數為：
1, 13, 49, 117, 225, 381, 593, 869, 1217, 1645, 2161, 2773, 3489, 4317, 5265, 6341....（OEIS 數列A274974 ）
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