在幾何學 中，四面半六面體 是一種非凸七面體 ，屬於星形多面體 及均勻多面體 ，也可以歸類在非凸均勻多面體[ 1] 柱狀均勻多面體 中唯一擁有奇數面數的幾何體 [ 2] 正八面體 的刻面半多面體[ 1] 半刻面八面體 。其構成方式為將正八面體的面替換為3個幾何中心的對角面並保留一半數量的原始三角形面構成[ 3] [ 4] 实射影平面 上的點[ 5]
四面半六面體由7個面 、12條邊 和6個頂點 組成[ 6] 幾何中心 。[ 7] 頂點圖 為交叉四邊形。組成四面半六面體的12條邊皆為三角形與正方形的公共邊。其整個立體與正八面體共用頂點，其去除了正八面體的其中4個三角形面，並加入了3個相互交叉並且沿對角線相互平分的正方形，因此其可以作為正八面體刻面後的結果。[ 2] [ 1]
四面半六面體是一個半多面體 ，其名稱中的「半」表示部分的面來自於正多面體[ 8] [ 9] [ 4] [ 2]
半刻面多面體的特性也意味著部份面會通過多面體的幾何中心，並互相相交。[ 1] [ 2]
這個立體共享了正八面體 的頂點排列方式[ 2] 正八面體 相同[ 10] [ 11] [ 12]
( ±1, 0, 0 );
( 0, ±1, 0 );
( 0, 0, ±1 ).
四面半六面體的二面角 僅有一種，即正方形面與三角形面的交角，其值為三的平方根 倒數 的反餘弦 值[ 13]
cos
− − -->
1
-->
(
3
3
)
≈ ≈ -->
0.955316618
≈ ≈ -->
54.73561
∘ ∘ -->
{\displaystyle \cos ^{-1}({\frac {\sqrt {3}}{3}})\approx 0.955316618\approx 54.73561^{\circ }}
四面半六面體可以展開為展開圖 ，然而其有部分面自相交，因此無法實際用「自相交」版的展開圖來製作其模型。而若將其轉變為簡單多面體則需要在這多面體中相交的面上放置新的頂點和邊，因此自相交的正方形會被分割為4個等腰直角三角形。[ 2] [ 2] [ 14]
同時，其拓樸結構可以視為與截半立方體半形 同構，因此這個立體的拓樸結構也可以視為是一種擬正則 地區圖 （quasiregular map）；四面半六面體也可以視為截半立方體半形浸入三維空間所形成的立體。[ 15]
四面半六面體的表面是一個不可定向 的曲面[ 15] 克萊因瓶 類似[ 16] [ 16] 实射影平面 上生成的曲面與羅馬曲面 [ 17]
四面半六面體的對偶多面體 稱為四面半無窮星形六面體 ，有時稱為三維瑞士十字（3D Swiss cross）[ 18] 实射影平面 上的點[ 4] [ 5] [ 19] [ 5] 正四角柱 ，底面為正方形，每個方向的柱體延伸到相同的無窮遠點，以保持整體的對稱性[ 20] [ 21] [ 1] [ 1]
在拓樸上，對偶多面體的面數通常會與原始立體的頂點數相同，因此四面半六面體的對偶多面體應包含了7個頂點，其中3個頂點位於無窮实射影平面 上，在方向上對應於八面體半形 （一種抽象多面體）的三個頂點；其餘四個頂點位於中央立方體，並交錯地以立方體半形 （在此處具象化為正四面體 ）的方式分佈。
[ 22] 实射影平面 上，因此無法定義其表面積與體積[ 23]
四面半無窮星形六面體的局部結構曾出現在一些建築結構的設計中。[ 24]
五複合四面半六面體是四面半六面體的五複合體。[ 25]
刻面八面體是指不改變正八面體的頂點的情況下，將正八面體的面替換所形成的幾何結構。四面半六面體是正八面體經過「半刻面」的結果；「半刻面」中的「半」表示其會產生通過幾何中心的面[ 3] 反柱刻面八面體 [ 3]
由正八面體的頂點構成，但邊或面連結方式與正八面體相異的立體，較知名的幾個有：
這個立體為柏拉圖立體 半刻面後而成，其他也由柏拉圖立體半刻面而成的立體有：[ 3]
皮特里八面體 (以不同顏色表示每個面) 類別 皮特里對偶正則地區圖 對偶多面體 C4:{4,6}3 施萊夫利符號 {3,4}π 3 4,0 [ 28] 面 4 邊 12 頂點 6 歐拉特徵數 F=4, E=12, V=6 （χ=-2） 二面角 (不存在) 對稱群 點群：Oh , [4,3], (*432)[ 29] 扭歪 、正則
皮特里八面體是正八面體 的皮特里對偶 ，可以透過將原有正八面體上取皮特里多邊形 構成，換句話說，皮特里八面體為由正八面體的皮特里多邊形構成的立體[ 26]
皮特里八面體是一種虧格為4的不可定向立體[ 29] [ 29]
皮特里八面體與正八面體 互為皮特里對偶 ，也就是說，皮特里八面體的皮特里對偶為正八面體 ，換句話說，即皮特里八面體的皮特里多邊形 為正三角形 [ 29] [ 30]
拓樸結構與皮特里八面體互相對應的正則地區圖 其在施萊夫利符號中可以用{6,4}表示，其意義代表每個頂點都是4個六邊形的公共頂點。相同的拓樸結構可透過將正四面體 的頂點所有替換成交叉蓋 [ 29] [ 31] [ 32]
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