在第三个平面(粉红色)中的两个平面(α,β,绿色)之间的角度以直角切割相交线
二面角 (英語:dihedral angle )是两个相交平面之间的夹角。在立体几何 中,它被定义为一条直线 和两个半平面的并集 ,这条直线是两个半平面的公共边 。在高维 中,二面角表示两个超平面 之间的夹角。[ 1]
在化学 中,二面角是分子中的两个分别由三个原子组成的平面之间的夹角,一共涉及四个原子,公共边是一个化学键 (两个原子),平面则由另两个原子分别与该化学键构成。
立体几何
一条直线 和两个半平面的并集 组成的图形叫做二面角 ,这条直线叫做二面角的棱 ,这两个半平面叫做二面角的面 。
由直线
l
{\displaystyle l}
、半平面
α α -->
{\displaystyle \alpha }
和半平面
β β -->
{\displaystyle \beta }
组成的二面角,记作:“二面角
α α -->
− − -->
l
− − -->
β β -->
{\displaystyle \alpha -l-\beta }
”,也可记作“
2
∠ ∠ -->
l
{\displaystyle ^{2}\angle l}
”。
也可在直线
l
{\displaystyle l}
外、半平面
α α -->
{\displaystyle \alpha }
和半平面
β β -->
{\displaystyle \beta }
内,分别取点
P
{\displaystyle P}
和点
Q
{\displaystyle Q}
,将这个二面角记作“二面角
P
− − -->
l
− − -->
Q
{\displaystyle P-l-Q}
”。
在 二面角
α α -->
− − -->
l
− − -->
β β -->
{\displaystyle \alpha -l-\beta }
的棱
l
{\displaystyle l}
上任取一点
O
{\displaystyle O}
,以点
O
{\displaystyle O}
为垂足,在半平面
α α -->
{\displaystyle \alpha }
和
β β -->
{\displaystyle \beta }
内分别作射线
O
A
{\displaystyle OA}
和射线
O
B
{\displaystyle OB}
垂直于棱
l
{\displaystyle l}
,那么射线
O
A
{\displaystyle OA}
和射线
O
B
{\displaystyle OB}
所构成的
∠ ∠ -->
A
O
B
{\displaystyle \angle AOB}
叫做二面角的平面角 。[ 2]
建立二面角的平面角
在非解析几何方法中,常通过建立二面角的平面角,通过求出平面角的大小,来求出二面角的大小:
∵ ∵ -->
A
B
⊥ ⊥ -->
O
B
{\displaystyle \because AB\perp OB}
∴ ∴ -->
O
B
{\displaystyle \therefore OB}
为
O
A
{\displaystyle OA}
在平面
β β -->
{\displaystyle \beta }
中的射影 。
∵ ∵ -->
O
A
⊥ ⊥ -->
l
,
O
B
⊥ ⊥ -->
l
{\displaystyle \because OA\perp l,OB\perp l}
∴ ∴ -->
∠ ∠ -->
A
O
B
{\displaystyle \therefore \angle AOB}
是二面角
α α -->
− − -->
l
− − -->
β β -->
{\displaystyle \alpha -l-\beta }
的平面角。
解析几何
若两个相交平面在笛卡尔坐标 中的方程分别为
a
1
x
+
b
1
y
+
c
1
z
+
d
1
=
0
{\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}
a
2
x
+
b
2
y
+
c
2
z
+
d
2
=
0
,
{\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\,\,,}
则它们之间的二面角
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
为:
cos
-->
φ φ -->
=
|
a
1
a
2
+
b
1
b
2
+
c
1
c
2
|
a
1
2
+
b
1
2
+
c
1
2
a
2
2
+
b
2
2
+
c
2
2
.
{\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}\right\vert }{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}\,\,.}
另一种方法是计算两个平面的法向量 n A 和n B 之间的夹角:
cos
-->
φ φ -->
=
|
n
A
⋅ ⋅ -->
n
B
|
|
n
A
|
|
n
B
|
,
{\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert \mathbf {n} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {n} _{\mathrm {B} }\right\vert }{|\mathbf {n} _{\mathrm {A} }||\mathbf {n} _{\mathrm {B} }|}}\,\,,}
其中n A • n B 是两个向量的点积 ,|n A | |n B |是两个向量的模 的乘积。[ 3]
任何平面也可以由位于该平面的两个非共线向量来描述;他们的叉积 是平面的法向量。因此,二面角可以由三个向量b 1 、b 2 和b 3 定义,形成两对非共线向量:[ 4]
φ φ -->
=
atan2
-->
(
(
[
b
1
× × -->
b
2
]
× × -->
[
b
2
× × -->
b
3
]
)
⋅ ⋅ -->
b
2
|
b
2
|
,
[
b
1
× × -->
b
2
]
⋅ ⋅ -->
[
b
2
× × -->
b
3
]
)
,
{\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} \left({\big (}[\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}]\times [\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}]{\big )}\cdot {\frac {\mathbf {b} _{2}}{|\mathbf {b} _{2}|}}\,\,,\,\,[\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}]\cdot [\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}]\right)\,\,,}
其中atan2 是二個參數的反正切函數 變體,一般而言,atan2(y, x) 等價於 atan(y/x)。
立体化学
正丁烷的自由能图作为二面角的函数
在化学 中,扭转角 (英語:torsion angle )被定义为二面角的特定例子,描述了通过化学键 连接的分子的两个部分的几何关系。[ 5] [ 6]
在立体化学 中,分子 中的每三个(非共线)原子都决定了一个平面。当两个这样的平面相交时,它们之间的角度便是二面角。二面角用于描述具体的分子构象 [ 7] 。角度在0°和±90°之间的立体化学构象被称为syn (s,顺);在±90°和180°之间的为anti (a,反)。类似地,角度在30°和150°之间或-30°和-150°之间的被称为clinal (c,错),而在0°和±30°或±150°和180°之间的被称为periplanar (p,叠)。
这两种术语可以组合起来,以定义四个角度范围:0°至±30°为顺叠(sp);30°至90°和-30°至-90°为顺错(sc);90°至150°和-90°至-150°为反错(ac);±150°至180°为反叠(ap)。顺叠构象也被称为顺式(syn -或cis -)构象;反叠构象也被称为反式(anti -或trans -)构象;顺错构象也被称为邻位交叉 、間扭(gauche 或skew )构象。
例如,对于正丁烷 ,可以用两个中心碳原子和任一个甲基碳原子来分别指定两个平面。本节开头(上图)所示的syn -构象具有60°的二面角,比180°二面角的anti -构象更不稳定。
对于大分子使用,建议使用符号T,C,G+ ,G- ,A+ 和A- 分别表示ap,sp,+sc,-sc,+ac和-ac。[ 5]
蛋白质
描述蛋白质,显示骨架二面角
拉氏图(也称为Ramachandran图或[φ ,ψ ]图),由G·N·Ramachandran、C·Ramakrishnan和V·Sasisekharan在1963年最初开发[ 8] ,是一种形象化蛋白质结构 中能量(位阻)允许的氨基酸 残基的二面角ψ 与φ 的关系的方式。右图展示了骨架二面角φ 和ψ 的定义[ 9] (Ramachandran称为φ 和φ' )。
在蛋白质 链中,三个二面角被定义为φ (phi),ψ (psi)和ω (omega),如图所示。肽键 的平面性通常使得ω 被限制为180°(典型trans 情况)或0°(罕见cis 情况)。trans 和cis 异构体的α-碳 之间的距离分别为大约3.8和2.9 Å。cis 异构体主要在Xaa-Pro 肽键(其中Xaa是任何氨基酸 )中观察到。
侧链二面角倾向于聚集在180°,60°和-60°附近,称为trans ,gauche+ 和gauche- 构象。某些侧链二面角的稳定性受到φ 和ψ 值的影响[ 10] 。例如,当ψ 接近-60°时,gauche+ 旋转异构体的侧链中的γ-碳 和下一个残基的氮之间就会有直接的位阻 相互作用[ 11] 。
从二面角转换为链中的笛卡尔坐标
在聚合物特别是蛋白质中,常常用内部坐标来描述主链,也即把二面角和键长按照顺序列表。但是,某些类型的计算化学 反而使用笛卡尔坐标 。在计算结构优化中,一些程序需要在迭代过程中在这些表示法之间来回转换,这项工作可能占用大部分计算时间。对于有很多迭代或长链的过程,它也可能引入累积的数值不准确性。虽然所有的转换算法会产生数学上相同的结果,但它们的运算速度和数字精度不同。[ 12] [需要非第一手來源]
几何
每个多面体在每条边上都有一个二面角,用于描述以该边为公共边的两个面的关系。该二面角也被称为面角 ,其计算的是多面体的内角。面角0°意味着两个面法向量是反向平行的,而且两个面相互重叠,这意味着它是退化多面体的一部分。面角为180°意味着这些面是平行的,如在镶嵌中。在多面体的凹部,可以存在大于180°的面角,在基础数学二面角的取值范围上有争议目前认为取值为[0,180]。
边传递多面体中的每个二面角大小相同。这包括5个正多面体 ,4个星型正多面体,两个拟正多面体和两个拟正对偶多面体。
给定一个在共同顶点 P上相交且具有边AP、BP和CP的多面体的三个面,包含APC和BPC的面之间的二面角的余弦为:[ 13]
cos
-->
φ φ -->
=
cos
-->
(
∠ ∠ -->
A
P
B
)
− − -->
cos
-->
(
∠ ∠ -->
A
P
C
)
cos
-->
(
∠ ∠ -->
B
P
C
)
sin
-->
(
∠ ∠ -->
A
P
C
)
sin
-->
(
∠ ∠ -->
B
P
C
)
.
{\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\cos(\angle \mathrm {APB} )-\cos(\angle \mathrm {APC} )\cos(\angle \mathrm {BPC} )}{\sin(\angle \mathrm {APC} )\sin(\angle \mathrm {BPC} )}}\,\,.}
参见
参考资料
^ Olshevsky, George, Dihedral angle at Glossary for Hyperspace .
^ 2.3.2平面与平面垂直的判定. 普通高中课程标准实验教科书 数学2 必修 A版. 普通高中课程标准实验教科书 数学2 必修 A版: 68. ISBN 978-7-107-17706-4 .
^ Angle Between Two Planes . TutorVista.com. [2018-07-06 ] . (原始内容存档 于2020-10-28). (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 )
^ Blondel, Arnaud; Karplus, Martin. New formulation for derivatives of torsion angles and improper torsion angles in molecular mechanics: Elimination of singularities . Journal of Computational Chemistry. 7 Dec 1998, 17 (9): 1132–1141 [2018-07-08 ] . doi:10.1002/(SICI)1096-987X(19960715)17:9<1132::AID-JCC5>3.0.CO;2-T . (原始内容存档 于2018-02-03). (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 )
^ 5.0 5.1 國際純化學和應用化學聯合會 ,化學術語概略 ,第二版。(金皮書)(1997)。在線校正版: (2006–) "Torsion angle "。doi :10.1351/goldbook.T06406
^ 國際純化學和應用化學聯合會 ,化學術語概略 ,第二版。(金皮書)(1997)。在線校正版: (2006–) "Dihedral angle "。doi :10.1351/goldbook.D01730
^ Anslyn, Eric; Dennis Dougherty. Modern Physical Organic Chemistry. University Science. 2006: 95. ISBN 978-1891389313 .
^ Ramachandran, G. N.; Ramakrishnan, C.; Sasisekharan, V. Stereochemistry of polypeptide chain configurations. Journal of Molecular Biology. 1963, 7 : 95–9. PMID 13990617 . doi:10.1016/S0022-2836(63)80023-6 .
^ Richardson, J. S. Anatomy and Taxonomy of Protein Structures. Advances in Protein Chemistry. Advances in Protein Chemistry. 1981, 34 : 167–339. ISBN 9780120342341 . PMID 7020376 . doi:10.1016/S0065-3233(08)60520-3 .
^ Dunbrack, RL Jr.; Karplus, M. Backbone-dependent rotamer library for proteins. Application to side-chain prediction.. Journal of Molecular Biology. 20 March 1993, 230 (2): 543–74. PMID 8464064 . doi:10.1006/jmbi.1993.1170 .
^ Dunbrack, RL Jr; Karplus, M. Conformational analysis of the backbone-dependent rotamer preferences of protein sidechains.. Nature Structural Biology. May 1994, 1 (5): 334–40. PMID 7664040 . doi:10.1038/nsb0594-334 .
^ Parsons, J.; Holmes, J. B.; Rojas, J. M.; Tsai, J.; Strauss, C. E., Practical conversion from torsion space to cartesian space for in silico protein synthesis, Journal of Computational Chemistry, 2005, 26 : 1063–1068, PMID 15898109 , doi:10.1002/jcc.20237
^ dihedral angle calculator polyhedron . www.had2know.com. [2015-10-25 ] . (原始内容 存档于2015-11-25). (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 )
外部链接