扭歪多邊形

扭歪十邊形
位於鍥形體上標明紅色的邊是一個正鋸齒扭歪四邊形

在幾何學中，扭歪[1][2]多邊形（英語：Skew polygon）又稱歪斜多邊形、撓多邊形[3]或鞍形多邊形（英語：Saddle Polygon[4]）是指頂點並非全部共面的多邊形[5][6]。扭歪多邊形最少要有四個頂點。其無法找到一個唯一的多邊形內部區域。而扭歪無限邊形則是代表頂點並非全部共線的無限邊形[7]。除了扭歪無限邊形之外的扭歪多邊形僅能存在於三維或以上的空間，因為二維空間中不會有不共面的情形。

鋸齒扭歪多邊形（英語：zig-zag skew polygon）又稱反柱多邊形（英語：antiprismatic polygon）[9]是一種頂點交錯位於兩平面且邊數是偶數的扭歪多邊形。

三維的正扭歪多邊形

正扭歪多邊形需要具備有點可遞與邊長皆相等的性質。在三維空間中，偶數邊數的正扭歪多邊形是頂點交錯位於兩平面的一種鋸齒扭歪多邊形（或稱反柱多邊形），每個底面邊數為n的反柱體都可以構造一個正扭歪2n邊形。

這種正多邊形在施萊夫利符號中以{p}#{ }表示其為正多邊形（施萊夫利符號： {p} ）和正交線段（施萊夫利符號： { } ）的複合體[11]，其中p表示多邊形的邊數。連續頂點之間的對稱變換是滑移鏡射（英语：glide reflection）。

均勻的反柱體之側面相連繞反柱體一圈的多邊形就是正扭歪多邊形的一個例子，如下表列舉的正四角反角柱和正五角反角柱。星形反稜柱（英语：Prismatic_uniform_polyhedron#Star_antiprism）也可以透過與原先頂面到比面不同的連接順序來構造出正扭歪多邊形。

正鋸齒扭歪多邊形
扭歪四邊形 扭歪六邊形 扭歪八邊形 扭歪十邊形 扭歪十二邊形
{2}#{ } {3}#{ } {4}#{ } {5}#{ } {5/2}#{ } {5/3}#{ } {6}#{ }
s{2,4} s{2,6} s{2,8} s{2,10} sr{2,5/2}（英语：pentagrammic antiprism） s{2,10/3}（英语：pentagrammic crossed-antiprism） s{2,12}

正扭歪多邊形也存在正的複合幾何圖形，其中，複合正鋸齒扭歪多邊形在邊數是偶數的情形下可透過一個正扭歪多邊形與另外一個全等但是旋轉過的扭歪多邊形重疊來構造。這些形狀與一些反柱體的柱體狀複合體共用頂點。

複合正鋸齒扭歪多邊形
扭歪四邊形 扭歪六邊形 扭歪十邊形
二個{2}#{ } 三個{3}#{ } 二個{3}#{ } 二個{5/3}#{ }

正多面體的皮特里多邊形也可以用來構造正扭歪多邊形

三維空間的等角扭歪多邊形

等角扭歪多邊形是一種等角但邊未必等長的扭歪多邊形。正扭歪多邊形是一種等角扭歪多邊形，但等角扭歪多邊形不一定會是正扭歪多邊形。半正的等角扭歪多邊形通常會有兩組等長的邊交錯。

扭歪八邊形 扭歪十二邊形 扭歪二十四邊形

立方體, 正方形對角線
立方體
交叉立方體
六角柱
六角柱
六角柱
扭曲柱體
三個正扭歪無限面體的頂點圖
{4,6|4} {6,4|4} {6,6|3}

正扭歪六邊形
{3}#{ }
正扭歪四邊形
{2}#{ }
正扭歪六邊形
{3}#{ }

四維的正扭歪多邊形

由於扭歪多邊形的定義是指頂點並非全部共面的多邊形，因此也可以扭歪到更高的維度。

四維空間中簡單的正扭歪多邊形也如同三維空間，可透過正圖形的皮特里多邊形構造。下表將四維凸正多胞體的三維投影以黃色標出扭歪多邊形：

A4, [3,3,3] B4, [4,3,3] F4, [3,4,3] H4, [5,3,3]
扭歪五邊形 扭歪八邊形 扭歪十二邊形 扭歪三十邊形

正五胞體
{3,3,3}
超正方體
{4,3,3}
正十六胞體
{3,3,4}
正二十四胞體
{3,4,3}
正一百二十胞體
{5,3,3}
正六百胞體
{3,3,5}

參見

參考文獻

  1. Coxeter, H. S. M. Petrie Polygons. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, 1973. (sec 2.6 Petrie Polygons pp. 24–25, and Chapter 12, pp. 213–235, The generalized Petrie polygon )
  2. Coxeter, H. S. M. & Moser, W. O. J. Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. 1980. ISBN 0-387-09212-9.  (1st ed, 1957) 5.2 The Petrie polygon {p,q}.
  3. John Milnor: On the total curvature of knots, Ann. Math. 52 (1950) 248–257.
  4. J.M. Sullivan: Curves of finite total curvature, ArXiv:math.0606007v2
  1. ^ 400年ぶりに新種の「対称性多面体」構造が発見される. gigazine.net. 2014-02-22 [2016-07-16]. （原始内容存档于2020-11-19）. 
  2. ^ 扭歪の意味. Weblio日中中日辞典. [2024-04-23]. （原始内容存档于2013-07-20）. 
  3. ^ skew polygon meaning in Chinese. ichacha.net. [2016-07-16]. （原始内容存档于2019-06-03）. 
  4. ^ Weisstein, Eric W. Saddle Polygon. MathWorld. [2016-07-21]. （原始内容存档于2019-06-09）. 
  5. ^ Weisstein, Eric W. Skew Polygon. MathWorld. [2016-07-21]. （原始内容存档于2021-02-08）. 
  6. ^ Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  "Skew Polygons (Saddle Polygons)." §2.2
  7. ^ Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆） (Definition: paper 13, Discrete groups generated by reflections, 1933, p. 161)
  8. ^ Coxeter, H.S.M.; Regular complex polytopes (1974). Chapter 1. Regular polygons, 1.5. Regular polygons in n dimensions, 1.7. Zigzag and antiprismatic polygons, 1.8. Helical polygons. 4.3. Flags and Orthoschemes, 11.3. Petrie polygons
  9. ^ Regular complex polytopes[8] , p. 6
  10. ^ McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press, December 2002, ISBN 0-521-81496-0  p. 25
  11. ^ Abstract Regular Polytopes[10] , p.217

外部連結

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