截角十二面体
在幾何學 中，截角十二面體 是一種由正十邊形 和正三角形 組成的三十二面體[ 1] 阿基米德立體 [ 2] 頂點 都是1個三角形 和2個十邊形 的公共頂點 ，具有每個頂角相等的性質，因此截角十二面體是一種半正多面體 [ 3]
截角十二面體共有32個面、90條邊和60個頂點 [ 4] 頂點 都是1個三角形 和2個十邊形 的公共頂點，其頂點圖 可以用3.10.10來表示，也可以簡寫為3.102 [ 5]
截角十二面體可以經由正十二面體 透過截角變換 構造而成。截角 變換使得正十二面體 原本的正五邊形 面變成正十邊形 面，並在原本的頂點 處形成正三角形 。
邊長為a的截角十二面體體積 V和表面積 A分別為：
A
=
5
(
3
+
6
5
+
2
5
)
a
2
≈ ≈ -->
100.990
76
a
2
{\displaystyle A=5\left({\sqrt {3}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 100.990\,76a^{2}}
V
=
5
12
(
99
+
47
5
)
a
3
≈ ≈ -->
85.039
6646
a
3
{\displaystyle V={\frac {5}{12}}\left(99+47{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 85.039\,6646a^{3}}
邊長為2φ − 2且幾何中心 位於原點 的截角十二面體[ 6] 坐標 為[ 7]
(
0
,
± ± -->
1
φ φ -->
,
± ± -->
(
2
+
φ φ -->
)
)
{\displaystyle \left(0\,,\pm {\frac {1}{\varphi }}\,,\pm {\left({\begin{smallmatrix}2+\varphi \end{smallmatrix}}\right)}\right)}
(
± ± -->
1
φ φ -->
,
± ± -->
φ φ -->
,
± ± -->
2
φ φ -->
)
{\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{\varphi }}\,,\pm {\varphi }\,,\pm {2{\varphi }}\right)}
(±φ, ±2, ±(φ + 1)) 。其中φ =
1
+
5
2
{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
黃金比例 .
截角十二面体對應的結構也可以構建成球面鑲嵌，並以球極平面投影的方式呈現。
有一些多面體與截角十二面體具有相同的頂點佈局 [ 8] [ 9] [ 10]
截角二十面體是正二十面體 經過截半變換後的結果，其他也是由正二十面體透過康威變換 得到的多面體有：
正二十面体家族半正多面体
對稱群 : [5,3] [5,3]+ , (532)
{5,3}
t0,1 {5,3}
t1 {5,3}
t0,1 {3,5}
{3,5}
t0,2 {5,3}
t0,1,2 {5,3}
s{5,3}
半正多面体对偶
V5.5.5
V3.10.10
V3.5.3.5
V5.6.6
V3.3.3.3.3
V3.4.5.4
V4.6.10
V3.3.3.3.5
[ 11]
Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X Cromwell, P. Polyhedra . United Kingdom: Cambridge. 1997: 79 -86 Archimedean solids . ISBN 0-521-55432-2
^ Weisstein, Eric W. (编). Truncated Dodecahedron . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ Cromwell, P. Polyhedra , CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
^ Kasahara, K. " The Final Semiregular Polyhedron" . Origami Omnibus: Paper-Folding for Everyone. . Tokyo: Japan Publications. 1988: p. 229. ISBN 978-4817090010 ^ Geometry Technologies. " Truncated Dodecahedron." [2016-08-30 ] . （原始内容存档 于2016-08-06）. ^ Cundy, H. and Rollett, A. "Truncated Dodecahedron. 3.102 ." §3.7.9 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 109, 1989. ISBN 978-0906212202
^ Weisstein, Eric W. (编). Icosahedral group . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ Archimedean Solids: Truncated Dodecahedron . dmccooey.com. （原始内容 存档于2016-03-12）. ^ Weisstein, Eric W. (编). 大二十合二十合十二體 . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ Weisstein, Eric W. (编). 大二重三角十二面截半二十面體 . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ Weisstein, Eric W. (编). 大十二合二十面體 . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ N.W. Johnson The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
星號*表示該立體屬於
阿基米德立體 。
黃色和紅色為來自原像的面；藍色為截邊出現的正方形面；灰色為扭稜出現的三角形面。
