在幾何學 中，五角六十面體 是一種卡塔蘭立體 [ 2] 五邊形 組成的六十面體 ，並且是阿基米德立體 扭棱十二面體 的對偶多面體。[ 3] [ 4] 等面圖形 ，也就是說它每個面都全等 ，但組成面不是正多邊形。五角六十面體 有兩種不同的形式，它們互為鏡像（或“對映體”），是為手性 鏡像，兩種手性 鏡像的面 、頂點 、邊 數皆相同，共有60 個面 、150 個邊 、92 個頂點 。五角六十面體是頂點數最多的卡塔蘭立體。在卡塔蘭立體 和阿基米德立體 中，五角六十面體的頂點數為第二多，僅次於具有120個頂點的大斜方截半二十面体 。
五角六十面體是一個手性多面體 [ 2] 多面體 鏡射 之後會跟原本的形狀不同，無法藉由旋轉 半周再回到原本的形狀[ 5] [ 6] [ 7] 手性 鏡像，且其面 、頂點 、邊 數皆相同，共有60個面 、150個邊 、92個頂點 [ 8] [ 6] [ 7] [ 1] :97
五角六十面體 的旋轉透視圖
五角六十面體 的另一個手性 鏡像的旋轉透視圖
五角六十面體是扭棱十二面体 的對偶多面體 。事實上，五角六十面體可以不經由對偶變換 而從扭棱十二面体 構造。首先在扭棱十二面体的所有12個五邊形面上加入五角錐 ，再將扭棱十二面体的所有不與五邊形面相鄰的20個三角形面上加入三角錐，並調整加入之錐體的錐高，使加入的錐體之側面與其餘60個三角形面共面則形成五角六十面體，然而這種方式構造的五角六十面體會稍微有點形變。[ 9]
五角六十面體只有一種二面角 ，約為153.18度 ：[ 6] [ 7]
arccos
-->
(
− − -->
2
(
x
+
2
x
)
(
1
+
15
φ φ -->
)
+
(
15
+
16
φ φ -->
)
209
)
≈ ≈ -->
{\displaystyle \arccos {\left(-{\frac {2\left(x+{\frac {2}{x}}\right)\left(1+15\varphi \right)+\left(15+16\varphi \right)}{209}}\right)}\approx }
≈ ≈ -->
{\displaystyle \approx }
° 其中
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
x
{\displaystyle x}
φ φ -->
+
φ φ -->
− − -->
5
27
2
3
+
φ φ -->
− − -->
φ φ -->
− − -->
5
27
2
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}}
[ 6] [ 7]
五角六十面體60個全等的五邊形面組成，每個五邊形都具有3條短邊和2條長邊，若令
x
{\displaystyle x}
φ φ -->
+
φ φ -->
− − -->
5
27
2
3
+
φ φ -->
− − -->
φ φ -->
− − -->
5
27
2
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}}
[ 6] [ 7]
1
x
:
x
(
2
+
7
φ φ -->
)
+
(
5
φ φ -->
− − -->
3
)
+
2
(
8
− − -->
3
φ φ -->
)
x
31
≈ ≈ -->
{\displaystyle {\frac {1}{x}}:{\frac {x\left(2+7\varphi \right)+\left(5\varphi -3\right)+{\frac {2\left(8-3\varphi \right)}{x}}}{31}}\approx }
其中
φ φ -->
=
1
+
5
2
{\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
若令
ξ ξ -->
≈ ≈ -->
0.943
151
259
24
{\displaystyle \xi \approx 0.943\,151\,259\,24}
x
3
+
2
x
2
− − -->
φ φ -->
2
{\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{2}}
根 ，則長邊與短邊的比值
l
{\displaystyle l}
l
=
1
+
ξ ξ -->
2
− − -->
ξ ξ -->
2
≈ ≈ -->
1.749
852
566
74
{\displaystyle l={\frac {1+\xi }{2-\xi ^{2}}}\approx 1.749\,852\,566\,74}
也就是說，若短邊為單位長，則長邊的長度約為1.74985單位長。
組成五角六十面體的五邊形有4個相等的鈍角和一個銳角（兩個長邊的夾角）。其中鈍角的角度為
arccos
-->
(
− − -->
ξ ξ -->
/
2
)
≈ ≈ -->
118.136
622
758
62
∘ ∘ -->
{\displaystyle \arccos(-\xi /2)\approx 118.136\,622\,758\,62^{\circ }}
[ 1] :97 ，而反餘弦內的值是多項式
64
x
6
− − -->
128
x
5
+
64
x
4
+
24
x
3
− − -->
24
x
2
+
1
{\displaystyle 64x^{6}-128x^{5}+64x^{4}+24x^{3}-24x^{2}+1}
[ 2]
arccos
-->
(
− − -->
φ φ -->
2
ξ ξ -->
/
2
+
φ φ -->
)
≈ ≈ -->
67.453
508
965
51
∘ ∘ -->
{\displaystyle \arccos(-\varphi ^{2}\xi /2+\varphi )\approx 67.453\,508\,965\,51^{\circ }}
[ 1] :97 ，而反餘弦內的值是多項式
64
x
6
− − -->
384
x
5
+
384
x
4
+
888
x
3
+
168
x
2
− − -->
128
x
− − -->
31
{\displaystyle 64x^{6}-384x^{5}+384x^{4}+888x^{3}+168x^{2}-128x-31}
[ 2]
扭棱十二面體的面心不能直接作為五角六十面體的頂點，因為4個三角形的面心位於同一個平面上，但五邊形的面心則否，它需要被徑向推出以使其與三角形中心共面。因此，五角六十面體的頂點並不都位於同一個球面上，因此根據定義，五角六十面體不是一個環帶多面體 。
若其對偶多面體的邊長為單位長，則對應的五角六十面體八十個三階頂點所在的球面之半徑為：[ 6] [ 7]
3
(
x
φ φ -->
+
1
+
φ φ -->
+
1
x
)
2
≈ ≈ -->
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3\left(x\varphi +1+\varphi +{\frac {1}{x}}\right)}}{2}}\approx }
十二個五階頂點所在的球面之半徑為：[ 6] [ 7]
x
2
(
1009
+
1067
φ φ -->
)
+
x
(
1168
+
2259
φ φ -->
)
+
(
1097
+
941
φ φ -->
)
62
≈ ≈ -->
{\displaystyle {\frac {\sqrt {x^{2}\left(1009+1067\varphi \right)+x\left(1168+2259\varphi \right)+\left(1097+941\varphi \right)}}{62}}\approx }
若要計算五角六十面體的體積 和表面積，則需要將其中一個五邊形面的短邊表示為
b
{\displaystyle b}
t
{\displaystyle t}
[ 10]
t
=
44
+
12
φ φ -->
(
9
+
81
φ φ -->
− − -->
15
)
3
+
44
+
12
φ φ -->
(
9
− − -->
81
φ φ -->
− − -->
15
)
3
− − -->
4
12
≈ ≈ -->
0.471
575
629
622
{\displaystyle t={\frac {{\sqrt[{3}]{44+12\varphi (9+{\sqrt {81\varphi -15}})}}+{\sqrt[{3}]{44+12\varphi (9-{\sqrt {81\varphi -15}})}}-4}{12}}\approx 0.471\,575\,629\,622}
則短邊長為
b
{\displaystyle b}
A
A
=
30
b
2
⋅ ⋅ -->
(
2
+
3
t
)
⋅ ⋅ -->
1
− − -->
t
2
1
− − -->
2
t
2
≈ ≈ -->
162.698
964
198
b
2
{\displaystyle A={\frac {30b^{2}\cdot (2+3t)\cdot {\sqrt {1-t^{2}}}}{1-2t^{2}}}\approx 162.698\,964\,198b^{2}}
體積（V
V
=
5
b
3
(
1
+
t
)
(
2
+
3
t
)
(
1
− − -->
2
t
2
)
⋅ ⋅ -->
1
− − -->
2
t
≈ ≈ -->
189.789
852
067
b
3
{\displaystyle V={\frac {5b^{3}(1+t)(2+3t)}{(1-2t^{2})\cdot {\sqrt {1-2t}}}}\approx 189.789\,852\,067b^{3}}
使用以上這些數值，可以計算此形狀的球形度
Ψ Ψ -->
=
π π -->
1
3
(
6
V
)
2
3
A
≈ ≈ -->
0.98163
{\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V)^{\frac {2}{3}}}{A}}\approx 0.98163}
五角六十面體的骰子 由於五角六十面體是一個等面多面體 ，因此可以製成骰子 。[ 11]
^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Weisstein, Eric W. (编). Pentagonal Hexecontahedron . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ Alan Holden. Shapes, Space, and Symmetry . New York: Columbia University Press. 1971. ^ Conway, J.H. and Burgiel, H. and Goodman-Strauss, C. The Symmetries of Things . AK Peters/CRC Recreational Mathematics Series. CRC Press. 2016 [2022-07-25 ] . ISBN 9781439864890LCCN 2007046446 存档 于2022-07-26）. ^ Coxeter, H. S. M. , Kaleidoscopes: Selected Writings , John Wiley and Sons: 282, 1995, ISBN 9780471010036 ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 David I. McCooey. Catalan Solids: Pentagonal Hexecontahedron (dextro) . [2022-07-24 ] . （原始内容存档 于2022-07-27）. ^ 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 David I. McCooey. Catalan Solids: Pentagonal Hexecontahedron (laevo) . [2022-07-24 ] . （原始内容存档 于2022-07-27）. ^ Pentagonal Hexecontahedron . polyhedra.org. [2008-09-24 ] . （原始内容 存档于2008-07-14）. ^ Livio Zefiro and Maria Rosa Ardigo. Description of the Forms Belonging to the 235 and m35 Icosahedral Point Groups Starting from the Pairs of Dual Polyhedra: Icosahedron-Dodecahedron and Archimedean Polyhedra-Catalan Polyhedra . [2022-07-25 ] . （原始内容存档 于2021-05-06）. ^ Pentagonal Hexecontahedron - Geometry Calculator . rechneronline.de. [2020-05-26 ] . （原始内容存档 于2022-05-23）. ^ Fair Dice . mathpuzzle.com. [2022-07-25 ] . （原始内容存档 于2022-04-26）.
Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X Wenninger, Magnus Cambridge University Press , 1983, ISBN 978-0-521-54325-5MR 0730208 doi:10.1017/CBO9780511569371
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4adb13b6f7a2a2daaf95dda9bf93df581d06487)
![{\displaystyle t={\frac {{\sqrt[{3}]{44+12\varphi (9+{\sqrt {81\varphi -15}})}}+{\sqrt[{3}]{44+12\varphi (9-{\sqrt {81\varphi -15}})}}-4}{12}}\approx 0.471\,575\,629\,622}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e12c93819b3df7ab0cb91ee980bdb2d27a34e53c)
