在幾何學 中，三角化二十面體 （英語：Triakis icosahedron 或 kisicosahedron[ 2] 三角化 變換的正二十面體 ，換句話說，三角化二十面體是將正二十面體 的每個三角形面替換為三角錐後所形成的立體。當三角錐的錐高恰好使得所形成之立體的所有二面角等角時，則該幾何形狀是一種卡塔蘭立體 [ 3] 截角十二面體 的對偶多面體 。一般三角化二十面體一詞用來稱呼卡塔蘭立體 的版本，即凸多面體的版本，而更高的錐高會使得其成為非凸多面體，例如小三角化二十面體 與大三角化二十面體 。亦可以加入倒三角錐，如大十二面體 。
三角化二十面體由60個面 、90條邊 和32個頂點 組成，其中60個面皆為全等 的等腰三角形 組成；在其32個頂點中，其中20個頂點是3個面的公共頂點、12個頂點是10個面的公共頂點[ 4] [ 5] 二面角 相等，這種方是構成的三角化二十面體是一種卡塔蘭立體 ，其對偶多面體為截角十二面體 。[ 6]
要讓所構成的立體所有二面角相等，則其疊在原像——正二十面體上的三角錐之錐高必須為[ 3]
a
3
(
5
φ φ -->
+
2
)
≈ ≈ -->
0.057
⋅ ⋅ -->
a
{\displaystyle {\frac {a}{{\sqrt {3}}\left(5\varphi +2\right)}}\approx 0.057\cdot a}
其中，
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
a
{\displaystyle a}
而若要確保所形成的立體為嚴格凸的多面體，其錐高必須小於
H
m
a
x
{\displaystyle H_{max}}
[ 3]
H
m
a
x
=
a
3
6
φ φ -->
≈ ≈ -->
0.11
⋅ ⋅ -->
a
{\displaystyle H_{max}={\frac {a{\sqrt {3}}}{6\varphi }}\approx 0.11\cdot a}
若錐高等於
H
m
a
x
{\displaystyle H_{max}}
菱形三十面體 [ 3] [ 3] [ 7] [ 8]
若其對偶多面體截角十二面體 的邊長為單位長，則三角化二十面體的邊長為[ 9]
s
1
=
5
22
(
7
+
5
)
{\displaystyle s_{1}={\frac {5}{22}}\left(7+{\sqrt {5}}\right)}
s
2
=
1
2
(
5
+
5
)
{\displaystyle s_{2}={\frac {1}{2}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}
而其表面積與體積為：[ 9]
S
=
75
11
1
2
(
313
+
117
5
)
{\displaystyle S={\frac {75}{11}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(313+117{\sqrt {5}}\right)}}}
V
=
125
44
(
19
+
9
5
)
{\displaystyle V={\frac {125}{44}}\left(19+9{\sqrt {5}}\right)}
中分球 半徑
r
m
{\displaystyle r_{m}}
內切球 半徑
r
i
{\displaystyle r_{i}}
[ 10]
r
m
=
1
4
(
5
+
3
5
)
≈ ≈ -->
2.92705
{\displaystyle r_{\mathrm {m} }={\frac {1}{4}}\left(5+3{\sqrt {5}}\right)\approx 2.92705}
r
i
=
5
122
61
(
41
+
18
5
)
≈ ≈ -->
2.885258
{\displaystyle r_{\mathrm {i} }={\frac {5}{122}}{\sqrt {61\left(41+18{\sqrt {5}}\right)}}\approx 2.885258}
三角化二十面體的中分球 。圖中可以看到三角化二十面體將其中分球切割出的球冠，球冠的底面圓形 同時也是其面的內切圓
組成三角化二十面體的等腰三角形 三角化二十面體由60個全等的等腰三角形組成。三角化二十面體可以視為由正二十面體的每個面上疊上三角錐構成，其中三角錐的底面與原始立體 正二十面體的面貼合，因此構成三角化二十面體的等腰三角形 其底邊會與原始立體的邊長相等；而等腰三角形的腰長將會與三角化變換時加入的錐高相關。以卡塔蘭立體 為例，其加入的三角錐錐高正好使得立體中所有二面角相等，此時構成這種立體之面等腰三角形頂角角度約119.04°、底角角度約30.48°，邊長比為
2
5
:
2
5
:
3
5
+
1
{\displaystyle 2{\sqrt {5}}:2{\sqrt {5}}:3{\sqrt {5}}+1}
[ 11]
底邊長 / 腰長
15
+
5
10
{\displaystyle {\frac {15+{\sqrt {5}}}{10}}}
三角化二十面體有3個對稱點，其中兩個為基於頂點、一個為基於稜之中點。此外三角化二十面體亦存在5個特殊的正交投影，分別為基於頂點的投影、基於兩種邊長之邊的投影各一種、基於立體中六邊形[ 註 1] [ 註 1] 2 和 H2 的考克斯特平面[ 12] [ 13]
正交投影
投影
[2]
[6]
[10]
圖像
對偶
各種三角化後的正二十面體 變種連續動畫。動畫中依序展示了正二十面體 （原像 ）、三角化二十面體、菱形三十面體 、小三角六邊形二十面體 、正二十面體四維錐 展開圖 、大星形十二面体 與凹三角錐二十面體等形狀 當每面疊上的三角錐 的高不能使得各角錐側面與側面間的二面角相等，就會有如下情況[ 14] [ 3] [ 7] [ 8]
圖像
名稱
加入錐體的方式
錐高
大十二面體
加入倒三角錐[ 15]
− − -->
7
− − -->
3
5
6
a
≈ ≈ -->
0.220528
⋅ ⋅ -->
a
{\displaystyle -{\sqrt {\frac {7-3{\sqrt {5}}}{6}}}a\approx 0.220528\cdot a}
[ 14]
正二十面體
原始形狀
0
三角化二十面體
a
3
(
5
φ φ -->
+
2
)
≈ ≈ -->
0.057
⋅ ⋅ -->
a
{\displaystyle {\frac {a}{{\sqrt {3}}\left(5\varphi +2\right)}}\approx 0.057\cdot a}
[ 3]
菱形三十面體
加入的角錐正好與鄰面加入的角錐側面與側面二面角相等
a
3
6
φ φ -->
≈ ≈ -->
0.11
⋅ ⋅ -->
a
{\displaystyle {\frac {a{\sqrt {3}}}{6\varphi }}\approx 0.11\cdot a}
[ 3]
小三角六邊形二十面體
加入的角錐正好與鄰面加入的角錐側面與側面共面
15
15
≈ ≈ -->
0.258199
⋅ ⋅ -->
a
{\displaystyle {\frac {\sqrt {15}}{15}}\approx 0.258199\cdot a}
[ 7]
加入的角錐正好可以使整個立體內嵌在正十二面體 內。
正二十面體四維錐 展開圖
加入正四面體[ 註 2]
6
3
a
≈ ≈ -->
0.816497
⋅ ⋅ -->
a
{\displaystyle {{\sqrt {6}} \over 3}a\approx 0.816497\cdot a}
[ 註 5] [ 17]
大星形十二面体
7
+
3
5
6
a
≈ ≈ -->
1.51152
⋅ ⋅ -->
a
{\displaystyle {\sqrt {\frac {7+3{\sqrt {5}}}{6}}}a\approx 1.51152\cdot a}
[ 8]
加入無窮高的錐體
∞ ∞ -->
{\displaystyle \infty }
^ 1.0 1.1 三角化二十面體會在正交投影上形成六邊形和五邊形。
^ 2.0 2.1 正二十面體四維錐 [ 註 4] ^ Klitzing, Richard. "3D convex uniform polyhedra" [ 16]
^ 正二十面體四維錐 [ 註 3] ^ 此立體由正四面體疊至正二十面體的每一個面上構成[ 註 2]
參考資料
^ John H. Conway ; Heidi Burgiel; Chaim Goodman-Strass . The Symmetries of Things . A K Peters [2017-09-07 ] . ISBN 978-1-56881-220-5存档 于2010-09-19）. ^ Conway, Symmetries of things[ 1]
^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 Livio Zefiro; Maria Rosa Ardig. Description of the Forms Belonging to the 235 and m35 Icosahedral Point Groups Starting from the Pairs of Dual Polyhedra: Icosahedron-Dodecahedron and Archimedean Polyhedra-Catalan Polyhedra . mi.sanu.ac.rs. [2021-07-22 ] . （原始内容存档 于2021-05-06）. ^ Robert Whittaker. The Triakis Icosahedron . polyhedra.mathmos.net. [2021-07-19 ] . （原始内容存档 于2021-07-19）. ^ Zeynep Can, Zeynep Çolak, Özcan Geliþgen. A Note On The Metrics Induced By Triakis Icosahedron And Disdyakis Triacontahedron . Eurasian Life Sciences Journal. 2015-05, 1 (1): 1–11 [2021-07-19 ] . （原始内容存档 于2021-07-20）. ^ Triakis Icosahedron . Interactive Polyhedron Model, polyhedra.org. [2013-02-15 ] . （原始内容 存档于2008-09-08）. ^ 7.0 7.1 7.2 Weisstein, Eric W. (编). Small Triambic Icosahedron . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ 8.0 8.1 8.2 Weisstein, Eric W. (编). Great Stellated Dodecahedron . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ 9.0 9.1 Weisstein, Eric W. (编). Triakis Icosahedron . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ Catalan Solids: Triakis Icosahedron . dmccooey.com. [2021-07-19 ] . （原始内容存档 于2021-07-19）. ^ geomzome. 08. 三方二十面体 The Triakisicosihedron [3,10,10] . biglobe.ne.jp. [2021-07-19 ] . （原始内容存档 于2016-07-25）. ^ 約翰·史坦布里奇 Coxeter Planes . math.lsa.umich.edu. [2021-07-28 ] . （原始内容存档 于2018-02-10）. ^ 約翰·史坦布里奇 More Coxeter Planes . math.lsa.umich.edu. [2021-07-28 ] . （原始内容存档 于2017-08-21）. ^ 14.0 14.1 Weisstein, Eric W. (编). Great Dodecahedron . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ geomzome. 6. 正二十面体の星形 紙模型のコーナー . biglobe.ne.jp. [2021-07-19 ] . （原始内容存档 于2016-05-26）. ^ Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra x3o5o - ike . bendwavy.org. ^ Weisstein, Eric W. (编). Regular Tetrahedron . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） .
參考書目 Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9 Wenninger, Magnus. Dual Models. Cambridge University Press . 1983. ISBN 978-0-521-54325-5MR 730208 . The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 284, Triakis icosahedron )
