| Вступний розділ цієї статті, ймовірно, несповна підсумовує ключові тези її вмісту. Будь ласка, допоможіть розширити вступ, додавши стислий огляд найважливіших аспектів статті. (липень 2021) |
| В іншому мовному розділі є повніша стаття Moment (mathematics)(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою перекладу з англійської. (липень 2021)
- Дивитись автоперекладену версію статті з мови «англійська».
- Перекладач повинен розуміти, що відповідальність за кінцевий вміст статті у Вікіпедії несе саме автор редагувань. Онлайн-переклад надається лише як корисний інструмент перегляду вмісту зрозумілою мовою. Не використовуйте невичитаний і невідкоригований машинний переклад у статтях української Вікіпедії!
- Машинний переклад Google є корисною відправною точкою для перекладу, але перекладачам необхідно виправляти помилки та підтверджувати точність перекладу, а не просто скопіювати машинний переклад до української Вікіпедії.
- Не перекладайте текст, який видається недостовірним або неякісним. Якщо можливо, перевірте текст за посиланнями, поданими в іншомовній статті.
- Докладні рекомендації: див. Вікіпедія:Переклад.
|
Моме́нт випадкової величини́ — числова характеристика розподілу даної випадкової величини.
Означення
Моментом n-того порядку дискретної випадкової величини
, яка приймає значення
з ймовірністю
, де
, називається число
, якщо цей ряд збігається абсолютно, тобто
.[1]
Величина
називається абсолютним моментом випадкової величини
.
Моментом n-того порядку неперервної випадкової величини
з густиною
, називається число
, якщо інтеграл збігається абсолютно, тобто
.[1]
Якщо дана випадкова величина
визначена на деякому імовірнісному просторі, то центра́льним моментом (k -го порядку) випадкової величини
називається величина
![{\displaystyle \mu _{k}=\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)^{k}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a6dc37744b5b263342772e8d71c4cea38c1c49)
якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.
Початковим моментом k-го порядку називається величина:
![{\displaystyle \nu _{k}=\mathbb {E} \left[X^{k}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5487a230e162c8ef1478e073537780dfbbf37c9)
якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.
-им факторіальним моментом випадкової величини
називається величина
![{\displaystyle \mu _{k}=\mathbb {E} \left[X(X-1)...(X-k+1)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b07c7c3072fa7d9b096722086e002fa849a96b6a)
якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.
Зауваження
Враховуючи лінійність математичного сподівання центральні моменти можна виразити через початкові, і навпаки. Наприклад:
![{\displaystyle \displaystyle \mu _{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a90d815789fdf219bacb4a1f5747ec138adfc6f2)
![{\displaystyle \displaystyle \mu _{2}=\nu _{2}-\nu _{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/191c847174fee321e98aeeb66f137f08b29107a1)
![{\displaystyle \displaystyle \mu _{3}=\nu _{3}-3\nu _{1}\nu _{2}+2\nu _{1}^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d22895476bf80c797fef84bba57681f923a78129)
![{\displaystyle \displaystyle \mu _{4}=\nu _{4}-4\nu _{1}\nu _{3}+6\nu _{1}^{2}\nu _{2}-3\nu _{1}^{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/011e0c7848e1a8e44ed24969f7f7e80a58ec6488)
![{\displaystyle \mu _{k}=\sum \limits _{s=0}^{k}{(-1)^{s}C_{k}^{s}v_{k-s}v_{1}^{s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/720b5654afbce2e0183add5190a89cc3762d71d4)
- Якщо визначені моменти
-го порядку, то визначені і всі моменти нижчих порядків
.
Геометрична інтерпретація деяких моментів
дорівнює математичному сподіванню випадкової величини і показує відносне розташування розподілу на числовій прямій.
дорівнює дисперсії розподілу випадкової величини
і показує розсіяння (розкид) довкола середнього значення.
, будучи відповідним чином нормалізований є числовою характеристикою симетрії розподілу. Точніше, вираз
![{\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2acbd8d321bedbb1947960bed294a07c1472f46c)
- називається коефіцієнтом асиметрії.
контролює, наскільки яскраво виражена верхівка розподілу в околі математичного сподівання. Величина
![{\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aadd45a5e6473bfb5b28e47ada023ec811fa40f)
- називається коефіцієнтом ексцесу розподілу в.в.
![{\displaystyle \displaystyle X.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf73675bf35158e1b804e66905d3b05302ee583)
Обчислення моментів
![{\displaystyle \nu _{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{k}\,f(x)\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5524cf6d3e1bee1f9affd7737fac4447e038343d)
якщо
,
а для дискретних розподілів із функцією ймовірностей
:
![{\displaystyle \nu _{k}=\sum \limits _{x}x^{k}\,p(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa434df72050b92564c414176437437e947a6ee0)
якщо
- Також початкові моменти випадкової величини можна обчислити використовуючи її характеристичну функцію
:
![{\displaystyle \nu _{k}=\left.-i^{k}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\varphi (t)\right\vert _{t=0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66a3f7b2e8fcaa8bf0b0d27f511c2ec87e98ada7)
- Якщо розподіл такий, що для нього в деякому околі нуля визначена твірна функція моментів,
, то початкові моменти можна обчислити використовуючи наступну формулу:
![{\displaystyle \nu _{k}=\left.{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}M_{X}(t)\right\vert _{t=0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1814eccd911839cdb8bd2b4990d4cfa133855fd6)
Можна також розглядати моменти в.в. для значень
, що не є цілими числами. Такий момент, момент, що розглядується як функція від дісного аргументу
, називається перетворення Мелліна.
Можна розглянути моменти багатовимірної випадкової величини. Тоді перший момент буде вектором тієї ж розмірності, другий — тензором другого порядку (див. матриця коваріації) над простором тієї ж розмірності (хоча можна розглянути і слід цієї матриці, що дає скалярне узагальнення дисперсії). Ітд.
Див. також
Джерела
Примітки