Точкова оцінка

Точкова оцінка у математичній статистиці — це число, що обчислюється на основі вибірки, імовірно близьке оцінюваному параметру популяції.

Визначення

Нехай ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots }$ — випадкова вибірка з розподілу, що залежить від параметра ${\displaystyle \theta \in \Theta }$. Тоді статистику ${\displaystyle {\hat {\theta }}(X_{1},\ldots ,X_{n})}$, що набуває значення в ${\displaystyle \displaystyle \Theta }$, називають точковою оцінкою параметра ${\displaystyle \theta }$.

Властивості точкових оцінок

• Оцінка ${\displaystyle {\hat {\theta }}={\hat {\theta }}(X)}$ називається незміщеною, якщо її математичне сподівання дорівнює параметру генеральної сукупності, що оцінюється:

${\displaystyle \mathbb {E} _{\theta }\left[{\hat {\theta }}\right]=\theta ,\quad \forall \theta \in \Theta }$,

де ${\displaystyle \mathbb {E} _{\theta }}$ позначає математичне сподівання за припущення, що ${\displaystyle \theta }$ — істинне значення параметра (розподілу вибірки ${\displaystyle X}$).

• Оцінка ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ називається ефективною, якщо вона має мінімальну дисперсію серед всіх можливих незміщених точкових оцінок.
• Оцінка ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}={\hat {\theta }}_{n}(X_{1},\dots ,X_{n})}$ називається конзистентною, якщо вона за ймовірністю зі збільшенням обсягу вибірки ${\displaystyle n}$ прямує до параметра генеральної сукупності: ${\displaystyle \forall \theta \in \Theta }$,

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}\to \theta }$ за ймовірністю при ${\displaystyle n\to \infty }$.

• Оцінка ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}}$ називається строго конзистентною, якщо ${\displaystyle \forall \theta \in \Theta }$,

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}\to \theta }$ майже напевне при ${\displaystyle n\to \infty }$.