Корелограма

Корелограма

На малюнку — графік, що показує 100 випадкових чисел з «прихованою» функцією синус, автокореляція (корелограма) рядів на дні.

Приклад корелограми

В аналізі даних корелограмою називається зображення статистики кореляції. Наприклад, в аналізі часових рядів, корелограма, також знана як автокореляційна діаграма, являє собою графік зразка автокореляцій ${\displaystyle r_{h}}$, в порівнянні з ${\displaystyle h}$, (часові затримки).

Якщо використовується взаємно-кореляційна функція, результат називають поперечною корелограмою. Корелограми є широко використовуваним інструментом для перевірки випадковості в наборі даних. Випадковість знаходиться шляхом обчислення автокореляції для значень даних при різних часових затримках. Якщо випадково, такі автокореляції будуть близькі до нуля для будь-яких і всіх розділень часових затримок. Якщо невипадкове, то один або більше з автокореляції буде істотно відмінна від нуля.

Крім того, корелограми використовують в ідентифікації системи для Box-Jenkins моделі авторегресії ковзного середнього часового ряду. Автокореляція повинна бути близькою до нуль-випадковості, якщо аналітик не перевіряє випадковість, то справедливість багатьох з статистичних висновків попадає під сумнів. Корелограми є чудовим способом перевірки такої випадковості.

Застосування

Корелограми допомагають знайти відповіді на такі питання:

• Чи дані насправді випадкові?
• Чи спостереження пов'язані з суміжними спостереженнями?
• Чи пов'язані спостереження з двічі зсунутим спостереженням?
• Чи є спостережуваний часовий ряд — білим шумом?
• Чи є спостережуваний часовий ряд — синусоїдою?
• Чи є спостережуваний часовий ряд — авторегресивним?
• Якою є модель, що підходить для спостереження за часовим рядом?
• Чи є модель :${\displaystyle Y=\mathrm {constant} +\mathrm {error} }$ дійсною та достатньою?
• Чи є значення ${\displaystyle s_{\bar {Y}}=s/{\sqrt {N}}}$ дійсним?

Значення

Випадковість (разом з фіксованою моделлю, фіксованими змінними та фіксованим розподілом) є одним з чотирьох припущень, які лежать в основі всіх процесів вимірювань. Припущення випадковості дуже важливе з таких причин:

• Більшість стандартних статистичних тестів залежать від випадковості. Валідність результатів тесту прямо пов'язане з тим, чи є дійсною припущена випадковість.
• Багато формул в статистиці залежать від випадковості припущення, найбільш поширеною є формула для визначення стандартного відхилення:

${\displaystyle s_{\bar {Y}}=s/{\sqrt {N}}}$, Де S — це стандартне відхилення даних. Не зважаючи на те, що ця формула дуже поширення, її результати не мають цінності, якщо не триматися припущеної випадковості.

• Для одновимірних даних, за замовчуванням: ${\displaystyle Y=\mathrm {constant} +\mathrm {error} }$

Якщо дані не є випадковими, ця модель — некоректна та не є дійсною, тому оцінки параметрів стають безглуздими.

Оцінка автокореляцій

Коефіцієнт автокореляції:

${\displaystyle r_{h}=c_{h}/c_{0}\,}$,

де c_h — автоковаріаційна функція.

${\displaystyle c_{h}={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N-h}\left(Y_{t}-{\bar {Y}}\right)\left(Y_{t+h}-{\bar {Y}}\right)}$

c₀ — дисперсія функції

${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\left(Y_{t}-{\bar {Y}}\right)^{2}}$

Отримане значення r_h буде в діапазоні від −1 до 1.

Альтернативні оцінки

Інколи використовують наступну формулу для автоваріації функції:

${\displaystyle c_{h}={\frac {1}{N-h}}\sum _{t=1}^{N-h}\left(Y_{t}-{\bar {Y}}\right)\left(Y_{t+h}-{\bar {Y}}\right)}$

Хоча це визначення має менший відхил, (1/N) має деякі бажані статистичні властивості. Цю формулу часто використовують в літературі про статистику.

Статистичні висновки

В один графік можна провести верхню та нижню межі для автокореляції за рівнем значущості: ${\displaystyle B=\pm z_{1-\alpha /2}SE(r_{h})}$, з ${\displaystyle r_{h}}$ як передбачувана автокореляція для запізнення ${\displaystyle h}$. Якщо автокореляція вище (нижче), ніж ця верхня (нижня) межа, то нульова гіпотеза, тобто що немає автокореляції в самій затримці та за її межами відкидається на рівні значущості. Цей тест є наближеним і припускає, що часовий ряд є гаусовим. У наведеній вище z_1-α/2 квантиль нормального розподілу; SE — стандартна помилка, яка може бути обчислена за формулою Бартлетта:

${\displaystyle SE(r_{1})={\frac {1}{\sqrt {N}}}}$

${\displaystyle SE(r_{h})={\sqrt {\frac {1+2\sum _{i=1}^{h-1}r_{i}^{2}}{N}}}}$ for ${\displaystyle h>1.\,}$

На картинці вище ми можемо відкинути нульову гіпотезу про те, що немає автокореляції між часовими точками, які є суміжними (запізнення = 1). Для інших періодів ніхто не може відкинути нульову гіпотезу про відсутність автокореляції.

Слід зазначити, що існують дві різні формули для генерації області впевненості:
1. Якщо корелограми використовується для перевірки випадковості (тобто не має часової залежності між даними), то краще використати наступну формулу: ${\displaystyle \pm {\frac {z_{1-\alpha /2}}{\sqrt {N}}}}$ де N є розмір вибірки, Z є квантиль функція стандартного нормального розподілу і α є рівень значущості. У цьому випадку, довірчі інтервали мають фіксовану довжину, яка залежить від розміру вибірки.
2. Корелограми також використовуються на стадії ідентифікації моделі для установки моделей типу ARIMA. У цьому випадку модель ковзного середнього значення визначений для даних і наступні області впевненості повинні бути сформовані: ${\displaystyle \pm z_{1-\alpha /2}{\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(1+2\sum _{i=1}^{k}y_{i}^{2}\right)}}}$ де к-запізнення. У цьому випадку довірчі інтервали зростають в міру збільшення затримки.

Програмне забезпечення

Корелограми доступні у більшості статистичного програмного забезпечення загального призначення. Для створення такого типу графіка в R можна використовувати функції ACF і PACF.

Див. також

• Корелометр