Ruleta (krivulja)

Nastanek rulete: v tem primeru Dioklesove cisoide.

Ruleta je v diferencialni geometriji krivulj posebna vrsta krivulje, ki posplošuje cikloide, epicikloide, hipocikloide, trohoide in involute.

Krivulja nastane tako, da se točka (imenujemo jo pol ali generator), ki leži na dani krivulji vrteči se brez drsenja giblje vzdolž druge nepremikajoče se krivulje. Primer je prikazan na desni sliki. Stalna krivulja je prikazana z modro barvo. Vrteča se krivulja je prikazana z zeleno barvo. Nastala krivulja – ruleta – je rdeče obarvana. V tem primeru smo dobili Dioklesovo cisoido ^[1]. Podoben način nastanka se uporablja pri krivulji, ki jo imenujemo gliseta. To pa je krivulja, ki jo opiše točka na dani krivulji, ki drsi vzdolž dveh (lahko tudi več) krivulj.

Primer

Kadar je stalna krivulja verižnica in je drseča krivulja premica velja:

${\displaystyle f(t)=t+i(\cosh(t)-1)\qquad r(t)=\sinh(t)}$

${\displaystyle f'(t)=1+i\sinh(t)\qquad r'(t)=\cosh(t).}$

Premico tako parametriziramo, da je

${\displaystyle |f'(t)|\,}$ ${\displaystyle ={\sqrt {1^{2}+\sinh ^{2}(t)}}}$ ${\displaystyle ={\sqrt {\cosh ^{2}(t)}}}$ ${\displaystyle =|r'(t)|.\,}$

Z uporabo zgornjega obrazca dobimo:

${\displaystyle f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t)) \over \cosh(t)}=t-i+(p+i){1+i\sinh(t) \over \cosh(t)}.}$

Če je ${\displaystyle p=-i\,}$ ima izraz konstantni imaginarni del z vrednostjo ${\displaystyle p=-i\,}$ in ruleta je horizontalna premica. Zanimivo je, da se kvadratno kolo giblje brez poskakovanja, če je pot po kateri se giblje kolo, sestavljena iz lokov enakih verižnic.

Seznam rulet

Mirujoča krivulja	Kotaleča se krivulja	Točka nastanka	Ruleta
poljubna krivulja	premica	točka na premici	involuta krivulje
premica	krožnica	poljubna	trohoida
premica	krožnica	točka na krožnici	cikloida
premica	stožnica	središče stožca	Sturmova ruleta[2]
premica	stožnica	gorišče stožnice	Delaunayjeva ruleta[3]
premica	parabola	gorišče parabole	verižnica[4]
premica	Elipsa	gorišče elipse	eliptična verižnica[4]
premica	hiperbola	gorišče hiperbole	hiperbolična verižnica[4]
premica	hiperbola	središče hiperbole (fiksna točka izometrij za hiperbolo)	Rectangular elastica[2]
premica	epicikloida ali hipocikloida	središče	elipsa[5]
krožnica	krožnica	poljubna	središčna trohoida [6]
parabola	enaki paraboli usmerjeni v nasprotno smer	teme parabole	Dioklesova cisoida [1]
verižnica	premica	glej #Primer zgoraj	premica

Glej tudi

• seznam krivulj

Sklici

1. "Cissoid" on www.2dcurves.com
2. "Sturm's roulette" on www.mathcurve.com
3. "Delaunay's roulette" on www.mathcurve.com
4. "Delaunay's roulette" on www.2dcurves.com
5. "Roulette with straight fixed curve" on www.mathcurve.com
6. "Centered trochoid" on mathcurve.com