Descartesov list

Descartesov list s parametrom a=1

Descartesov list je v geometriji algebrska krivulja, ki jo določa enačba tretje stopnje (v kartezičnih koordinatah):

${\displaystyle x^{3}+y^{3}-3axy=0\!\,.}$

V polarnih koordinatah je enačba Descartesovega lista enaka:

${\displaystyle r={\frac {3a\sin \theta \cos \theta }{\sin ^{3}\theta +\cos ^{3}\theta }}\!\,.}$

Parametrična oblika pa je:

${\displaystyle x={{3ap} \over {1+p^{3}}},\,y={{3ap^{2}} \over {1+p^{3}}}\!\,.}$

Iz tega se vidi, da parameter ${\displaystyle p\,}$ določa posamezne dele (veje) krivulje:

• p < -1 pripada spodnjemu, desnemu delu krivulje
• -1 < p < 0 pripada zgornjemu, levemu delu krivulja
• p > 0 pripada zanki krivulje

Zgodovina

Prvi je krivuljo proučeval francoski filozof, matematik, fizik, učenjak in častnik René Descartes (1596 – 1650) v letu 1638. Descartes je izzval francoskega pravnika, matematika in fizika Pierra de Fermata (1601 – 1665), da bi našel tangento na krivuljo v poljubni točki, kar je ta tudi z lahkoto naredil.

Značilnosti

Descartesov list ima naslednje značilnosti:

• je osno simetričen glede na simetralo 1. in 3. kvadranta. Natančno dve točki ležita na simetrali. To je izhodišče in teme zanke.
• izhodišče koordinatnega sistema je dvojna točka krivulje.
• premica z enačbo ${\displaystyle x+y+a=0\,}$ je asimptota krivulje
• krivinski polmer v izhodišču je ${\displaystyle {\frac {3}{2}}a\,}$
• zanka ima površino ${\displaystyle {\frac {3}{2}}a^{2}\,}$. Enaka ploščina je tudi med asimptoto in krivuljo

Glej tudi

• seznam krivulj

Zunanje povezave

• Descartesov list na MathWorld (angleško)
• Descartesov list (angleško)