Ribja krivulja

Ribja krivulja ima obliko ribe.

Ribja krivulja je negativna nožiščna krivulja elipse, ki ima nožiščno točko v fokusu posebnega primera elipse z izsrednostjo enako ${\displaystyle e^{2}={\frac {1}{2}}}$ ^[1].

Njena oblika je podobna ribi in zato ima tudi takšno ime.

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba ribje krivulje:

${\displaystyle (2a^{4}+y)^{2}-2{\sqrt {2}}ax(2x^{2}-3y^{2})+2a^{2}(y^{2}-x^{2})=0\!\,.}$

Če pa bi izhodišče premaknili do vozla, pa bi enačba imela obliko: ${\displaystyle (2x^{2}+y^{2})^{2}+2{\sqrt {2}}ax(2x^{2}-3y^{2})+2a^{2}(y^{2}-x^{2})=0}$ ^[2][3].

Za elipso, ki ima parametrično obliko enačbe:

${\displaystyle x=\arccos(t)-{\frac {\arcsin ^{2}(t)}{\sqrt {2}}},y=\arccos(t)\sin(t)}$

ima njena ribja krivulja obliko:

${\displaystyle x=\cos(t),y={\frac {\arcsin(t)}{\sqrt {2}}}\!\,.}$

Ploščina

Ploščina ribje krivulje je dana z:

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {1}{2}}\left|\int (xy'-yx')\mathrm {d} t\right|\\&={\frac {1}{8}}a^{2}\left|\int \left[3\cos(t)+\cos(3t)+2{\sqrt {2}}\sin ^{2}t\right]\mathrm {d} t\right|\!\,.\end{aligned}}}$

Pri tem pa je ploščina samo repa enaka:

${\displaystyle \mathbf {p} _{rep}=\left({\frac {2}{3}}-{\frac {\pi }{4{\sqrt {2}}}}\right)a^{2}}$

ploščina celotne glave pa je:

${\displaystyle \mathbf {p} _{glava}=\left({\frac {2}{3}}+{\frac {\pi }{4{\sqrt {2}}}}\right)a^{2}}$

Kar da za ploščino celotne ribje krivulje vrednost: ${\displaystyle p={\frac {4}{3}}a^{2}}$ ^[4].

Ukrivljenost

Ukrivljenost ribje krivulje je podana z obrazcem:

${\displaystyle K(t)={\frac {2{\sqrt {2}}+3\cos(t)-\cos(3t)}{2a[\cos ^{4}t+\sin ^{2}t+\sin ^{4}t+{\sqrt {2}}\sin(t)\sin(2t)]^{\frac {3}{2}}}}}$.

Tangentni kot

Tangentni kot ribje krivulje je:

${\displaystyle \varphi (t)=\pi -\arg \left({\sqrt {2}}-1-{\frac {2}{(1+{\sqrt {2}})e^{it}-1}}\right)\!\,,}$

kjer je

• ${\displaystyle \arg(z)}$ kompleksni argument (funkcija, ki deluje nad kompleksnimi števili).

Sklici

1. Lockwood, E. H. "Negative Pedal Curve of the Ellipse with Respect to a Focus." Math. Gaz. 41, 254-257, 1957.
2. Weisstein, Eric Wolfgang “Ribja krivulja.” Iz MathWorld – Wolfram Web. http://mathworld.wolfram.com/FishCurve.html pridobljeno 23/5/2010
3. Lockwood, E. H. A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, s. 157, 1967
4. Weisstein, Eric Wolfgang “Ribja krivulja.” Iz MathWorld – Wolfram Web. http://mathworld.wolfram.com/FishCurve.html pridobljeno 23/5/2010

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Fish Curve«. MathWorld.