Cisoida

Cisoida je krivulja, ki nastane s pomočjo dveh krivulj C₁ in C₂ in ene točke O, ki jo imenujemo pol. Naj bo L premica, ki poteka skozi točko O in seka krivuljo C₁ v točki P₁. Ista premica naj seka krivuljo C₂ v točki P₂ in krivulja C₁ v točki P₁. Naj bo točka P₂ na premici L tako, da bo veljalo OP = P₁P₂. Geometrijsko mesto točk P je cisoida krivulj C₁ in C₂ glede na točko O. Nekateri avtorji uporabljajo drugačne, vendar smiselno enake definicije. Krivuljo cisoido lahko izdelamo tudi na eni ali več krivuljah. Cisoida je posplošitev krivulje z imenom Dioklesova cisoida. Cisoida algebrske krivulje in premice je zopet algebrska krivulja ^[1].

Ime izvora iz grške besede κισσοείδες kissoeides, kar pomeni oblika bršljana (izhaja iz besede κισσός kissos, kar pomeni bršljan), ter besede -οειδές -oeides, kar pomeni podoben.

Opis

Naj bosta ${\displaystyle C_{1}\,}$ in ${\displaystyle C_{2}\,}$ dve krivulji in O naj bo izhodišče. Enačbi za ${\displaystyle C_{1}\,}$ in ${\displaystyle C_{2}\,}$ v polarnih koordinatah sta ${\displaystyle r=f_{1}(\theta )}$ in ${\displaystyle r=f_{2}(\theta )}$.

Enačba

${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta )}$

v tem primeru opisuje cisoido krivulj ${\displaystyle C_{1}\,}$ in ${\displaystyle C_{2}\,}$ glede na izhodišče. Ker pa lahko točko prikažemo v polarnih koordinatah z različnimi enačbami, veljajo za krivuljo ${\displaystyle C_{1}\,}$ naslednje enačbe

${\displaystyle r=-f_{1}(\theta +\pi ),\ r=-f_{1}(\theta -\pi ),\ r=f_{1}(\theta +2\pi ),\ r=f_{1}(\theta -2\pi ),\ \dots }$.

Če še upoštevamo, da velja ${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta )}$, potem lahko napišemo za cisoido

${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta ),\ r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta +\pi ),\ r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta -\pi ),\ }$

${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta +2\pi ),\ r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta -2\pi ),\ \dots }$.

Vedno pa se moramo odločiti katera perioda se mora odstraniti zaradi podvojitve.

Primer: Naj bosta krivulji ${\displaystyle C_{1}\,}$ in ${\displaystyle C_{2}\,}$ elipsi:

${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}}$.

Prva veja cisoide je dana z

${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}-{\frac {1}{2-\cos \theta }}=0}$, kar je izhodišče.

Elipsa je dana tudi z enačbo

${\displaystyle r={\frac {-1}{2+\cos \theta }}}$.

Tako za drugo vejo dobimo

${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}+{\frac {1}{2+\cos \theta }}}$.

Kadar sta krivulji ${\displaystyle C_{1}\,}$ in ${\displaystyle C_{2}\,}$ dani v parametrični obliki

${\displaystyle x=f_{1}(p),\ y=px}$

in

${\displaystyle x=f_{2}(p),\ y=px}$,

potem je cisoida glede na izhodišče, dana z enačbo

${\displaystyle x=f_{2}(p)-f_{1}(p),\ y=px}$.

Posebni primeri

• kadar je C₁ krožnica s središčem v točki O je cisoida konhoida krivulje C₂.
• kadar pa sta C₁ in C₂ vzporedni premici, je cisoida tretja premica vzporedna obema premicama

Hiperbole

Naj bosta krivulji ${\displaystyle C_{1}\,}$ in ${\displaystyle C_{2}\,}$ dve nevzporedni premici in O naj bo izhodišče. Polarni obliki enačb za ${\displaystyle C_{1}\,}$ in ${\displaystyle C_{2}\,}$ sta

${\displaystyle r={\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha _{1})}}}$

in

${\displaystyle r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta -\alpha _{2})}}}$.

Po preurejanju dobimo za enačbo cisoide v kartezičnem koordinatnem sistemu

${\displaystyle x^{2}-m^{2}y^{2}=bx+cy}$.

To pa je hiperbola, ki poteka skozi izhodišče. Cisoida dveh nevzporednih premic je torej hiperbola, ki vsebuje tudi pol.

Zahradnikove cisoide

Zahradnikova cisoida se imenuje po češkem matematiku Karlu Zahradniku (1848 – 1916). Definirana je kot cisoida stožnice in premice. Zahradnikove cisoide tvorijo celo družino enačb tretje stopnje. Med nje spadajo:

• Maclaurinova trisektrisa z enačbo

${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})}$

To je cisoida krožnice ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ in premice ${\displaystyle x={-{a \over 2}}}$ glede na izhodišče.

• Dioklesova cisoida z enačbo

${\displaystyle x(x^{2}+y^{2})+2ay^{2}=0}$

To je cisoida krožnice ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ in premice ${\displaystyle x=-2a}$ glede na izhodišče. Ta vrsta krivulje je dala ime vsej družini cisoid. Zaradi tega nekateri tej krivulji pravijo kar cisoida.

• prava strofoida z enačbo

${\displaystyle y^{2}(a+x)=x^{2}(a-x)}$

To je cisoida krožnice ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ in premice ${\displaystyle x=-2a}$.

• de Sluzejeva konhoida je cisoida krožnice ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ in premice ${\displaystyle x+y=-a}$ glede na izhodišče.

• Descartesov list z enačbo

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy}$

je cisoida elipse ${\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}=-a(x+y)}$ in premice ${\displaystyle x+y=-a}$ glede na izhodišče.

Opombe in sklici

1. Cisoida

Glej tudi

• seznam krivulj

Zunanje povezave

• Cisoida na MathWorld (angleško)
• Cisoida v Encyclopedia of Science (angleško)
• Lastnosti cisoide s simulacijo nastanka (francosko)
• Zahradnikove cisoide (francosko)