Neilove parabole Neilova parábola [néjlova ~] ali pólkubíčna parábola (oziroma pólkúbična ~ in pólkúbna ~ ) je v matematiki ravninska krivulja , ki jo v kartezičnem koordinatnem sistemu (x , y ) določa enačba :
y
=
± ± -->
a
x
3
2
,
(
a
≠ ≠ -->
0
,
x
∈ ∈ -->
R
+
)
.
{\displaystyle y=\pm ax^{\frac {3}{2}},\qquad (\ a\neq 0,x\in \mathbb {R} _{+})\!\,.}
Imenuje se po škotskem matematiku Williamu Neilu (1637 - 1680), ki jo je odkril in raziskoval leta 1657 .
Krivulja je določena parametrično :
x
=
t
2
,
{\displaystyle x=t^{2}\!\,,}
y
=
a
t
3
,
{\displaystyle y=at^{3}\!\,,}
implicitno:
y
2
− − -->
a
x
3
=
0
{\displaystyle y^{2}-ax^{3}=0\!\,}
ali v polarnem koordinatnem sistemu (r , φ):
r
=
tg
2
φ φ -->
sec
-->
φ φ -->
a
.
{\displaystyle r={\frac {\operatorname {tg} ^{2}\,\varphi \sec \varphi }{a}}\!\,.}
Neilova parabola je edina iz družine eliptičnih krivulj v Legendrovi normalni obliki :
y
2
− − -->
x
(
x
− − -->
1
)
(
x
− − -->
λ λ -->
)
=
0
.
{\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-\lambda )=0\!\,.}
S posebnim primerom Neilove parabole se lahko definira evoluto parabole :
x
=
3
4
(
2
y
)
2
3
+
1
2
,
{\displaystyle x={\frac {3}{4}}(2y)^{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\!\,,}
oziroma:
3
y
2
− − -->
(
x
− − -->
1
2
)
3
=
0
.
{\displaystyle 3y^{2}-\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{3}=0\!\,.}
Za to krivuljo je:
λ λ -->
=
16
x
3
− − -->
12
x
2
− − -->
6
x
+
1
24
x
(
x
− − -->
1
)
.
{\displaystyle \lambda ={\frac {16x^{3}-12x^{2}-6x+1}{24x(x-1)}}\!\,.}
Katakavstika Tschirnhausove kubične krivulje , določene parametrično:
x
=
3
(
t
2
− − -->
3
)
,
{\displaystyle x=3(t^{2}-3)\!\,,}
y
=
t
(
t
2
− − -->
3
)
,
{\displaystyle y=t(t^{2}-3)\!\,,}
je Neilova parabola s parametričnima enačbama:
x
k
=
6
(
t
2
− − -->
1
)
,
{\displaystyle x_{k}=6(t^{2}-1)\!\,,}
y
k
=
4
t
3
,
{\displaystyle y_{k}=4t^{3}\!\,,}
oziroma implicitno:
27
y
2
− − -->
2
(
x
+
6
)
3
=
0
.
{\displaystyle 27y^{2}-2(x+6)^{3}=0\!\,.}
Neilova parabola je tavtohrona krivulja (izohrona krivulja). Če se po njej giblje točkasto telo v gravitacijskem polju , v enakih časovnih intervalih prepotuje enake navpične razdalje . Poleg linearne funkcije je bila prva netrivialna algebrska krivulja , ki so ji določili njeno dolžino loka :
s
(
t
)
=
1
27
(
4
+
9
t
2
)
3
2
− − -->
8
27
.
{\displaystyle s(t)={\frac {1}{27}}\left(4+9t^{2}\right)^{\frac {3}{2}}-{\frac {8}{27}}\!\,.}
Pred tem so bile znane dolžine lokov le transcendentnih krivulj, kot sta na primer cikloida ali logaritemska spirala . Metodo rektifikacije krivulje je objavil leta 1659 Wallis in navedel Neilovo rešitev. Van Heuraet je uporabil krivuljo za splošnejšo konstrukcijo. Problem iskanja krivulje z značilnostjo izohronosti je podal leta 1687 Leibniz . Problem izohronosti je rešil tudi Huygens . Pokazal je, da polkubična parabola:
a
y
2
− − -->
x
3
=
0
{\displaystyle ay^{2}-x^{3}=0\!\,}
reši problem.
Zunanje povezave
