Grup bebas

Dalam matematika, grup bebas F_S di atas himpunan tertentu S terdiri dari semua kata-kata yang dapat dibangun dari anggota S , mempertimbangkan dua kata untuk menjadi berbeda kecuali persamaannya mengikuti dari aksioma grup (yaitu st = suu⁻¹t, melainkan s ≠ t⁻¹ untuk s,t,u ∈ S). Anggota S disebut generator dari F_S, dan jumlah generator adalah pangkat dari grup bebas. Sebuah grup G sembarang disebut bebas jika isomorfik pada F_S untuk beberapa subset S dari G , yaitu, jika ada subset S dari G sehingga setiap elemen G bisa ditulis dalam satu dan hanya satu cara sebagai produk dari banyak elemen S (melainkan variasi sepele seperti st = suu⁻¹t).

Gagasan terkait tetapi berbeda adalah grup abelian gratis; kedua gagasan adalah contoh khusus dari objek bebas dari aljabar universal. Dengan demikian, grup gratis ditentukan oleh sifat universal.

Sejarah

Grup bebas pertama kali muncul dalam studi geometri hiperbolik, sebagai contoh grup Fuchsian (kelompok diskrit yang bekerja oleh isometri pada bidang hiperbolik). Dalam sebuah makalah tahun 1882, Walther von Dyck menunjukkan bahwa kelompok-kelompok ini memiliki [[presentasi grup | presentasi] yang sesederhana.^[1] Studi aljabar kelompok bebas diprakarsai oleh Jakob Nielsen pada tahun 1924, yang memberi mereka nama dan menetapkan banyak sifat dasar mereka.^[2]^[3]^[4] Max Dehn menyadari hubungannya dengan topologi, dan memperoleh bukti pertama dari teorema Nielsen–Schreier secara penuh.^[5] Otto Schreier published an algebraic proof of this result in 1927,^[6] dan Kurt Reidemeister memasukkan perawatan komprehensif kelompok bebas dalam bukunya tahun 1932 tentang topologi kombinatorial.^[7] Kemudian pada tahun 1930-an, Wilhelm Magnus menemukan hubungan antara deret tengah bawah dari gruo bebas dan aljabar Lie bebas.

Contoh

Grup (Z, +) dari bilangan bulat bebas dari peringkat 1; satu set pembangkit adalah S = {1}. Integer juga merupakan grup abelian gratis, meskipun semua grup gratis dengan peringkat $\geq 2$ adalah non-abelian. Grup bebas pada himpunan dua elemen S muncul sebagai bukti dari Paradoks Banach-Tarski dan dijelaskan di sana.

Di sisi lain, setiap grup berhingga nontrivial tidak dapat bebas, karena elemen-elemen dari sebuah himpunan pembangkit bebas dari sebuah grup bebas memiliki urutan tak hingga.

Dalam topologi aljabar, grup fundamental dari rangkaian lingkaran k (satu set loop k yang hanya memiliki satu titik yang sama) adalah grup bebas pada satu himpunan elemen k .

Konstruksi

Grup bebas F_S dengan genset bebas S dapat dibuat sebagai berikut. S adalah satu set simbol, dan kami anggap untuk setiap s di S ada simbol "invers" yang sesuai, s⁻¹, dalam satu himpunan S⁻¹. Karena T = S ∪ S⁻¹, dan tentukan kata di S menjadi produk tertulis dari elemen T . Artinya, kata dalam S adalah elemen monoid yang dihasilkan oleh T . Kata kosong adalah kata tanpa simbol sama sekali. Misalnya, jika S = {a, b, c}, then T = {a, a⁻¹, b, b⁻¹, c, c⁻¹}, dan

ab^{3}c^{-1}ca^{-1}c\,

adalah kata dalam S .

Jika elemen S terletak tepat di sebelah kebalikannya, kata tersebut dapat disederhanakan dengan menghilangkan c, c⁻¹ pair:

ab^{3}c^{-1}ca^{-1}c\;\;\longrightarrow \;\;ab^{3}\,a^{-1}c.

Kata yang tidak dapat disederhanakan lebih lanjut disebut dikurangi.

Grup gratis F_S didefinisikan sebagai grup dari semua kata tereduksi dalam S , dengan rangkaian kata (diikuti dengan pengurangan jika perlu) sebagai grup operasi. Identitas adalah kata kosong.

Sebuah kata disebut berkurang secara siklis jika huruf pertama dan terakhirnya tidak saling bertolak belakang. Setiap kata konjugasi menjadi kata yang direduksi secara siklis, dan konjugasi yang berkurang secara siklis dari kata yang dikurangi secara siklis adalah permutasi siklik dari huruf-huruf dalam kata tersebut. Contohnya b⁻¹abcb tidak direduksi secara siklis, tetapi dikonjugasikan menjadi abc , yang direduksi secara siklis. Konjugat abc yang berkurang secara siklis adalah abc , bca , dan cab .

Sifat universal

Grup bebas F_S adalah grup universal yang dihasilkan oleh himpunan S . Ini dapat diformalkan dengan universal property: diberikan fungsi apa pun $f$ dari S ke grup G , ada homomorfisme yang unik] φ: F_S → G melakukan perjalanan diagram berikut (di mana pemetaan tanpa nama menunjukkan inklusi dari S ke F_S):

Artinya, homomorfisme F_S → G berada dalam korespondensi satu-ke-satu dengan fungsi S → G. Untuk grup yang tidak bebas, kehadiran hubungan akan membatasi kemungkinan gambar generator di bawah homomorfisme.

Untuk melihat bagaimana ini terkait dengan definisi konstruktif, pikirkan pemetaan dari S ke F_S sebagai pengiriman setiap simbol ke kata yang terdiri dari simbol itu. Untuk membangun φ untuk yang diberikan $f$ , catatan pertama bahwa φ mengirimkan kata kosong ke identitas G dan harus sesuai dengan $f$ pada elemen S . Untuk sisa kata (terdiri dari lebih dari satu simbol), φ dapat diperpanjang secara unik, karena ini adalah homomorfisme, yaitu, φ(ab) = φ(a) φ(b).

Properti di atas mengkarakterisasi grup bebas hingga isomorfisme, dan terkadang digunakan sebagai definisi alternatif. Ini dikenal sebagai sifat universal dari grup bebas, dan set pembangkit S disebut basis untuk F _S . Dasar untuk grup bebas tidak ditentukan secara unik.

Dicirikan oleh properti universal adalah fitur standar objek bebas dalam aljabar universal. Dalam bahasa teori kategori, konstruksi grup gratis (mirip dengan kebanyakan konstruksi objek gratis) adalah funktor dari kategori set ke kategori grup. Funktor ini adalah penyambung kiri ke fungsi lupa dari grup ke himpunan.

Grup abelian bebas

Grup abelian bebas pada himpunan S didefinisikan melalui properti universal dengan cara yang analog, dengan modifikasi yang jelas: Pertimbangkan pasangan ( F , φ ), di mana F adalah grup abelian dan φ: S → F adalah sebuah fungsi. F dikatakan sebagai 'grup abelian bebas di' 'S' 'sehubungan dengan φ jika untuk grup abelian G dan fungsi apa pun ψ: S → G, ada homomorfisme yang unik f: F → G

f(φ(s)) = ψ(s), untuk s dalam S .

Grup abelian gratis pada S dapat secara eksplisit diidentifikasi sebagai grup gratis F( S ) modulo subkelompok yang dihasilkan oleh komutatornya, [F(S), F(S)], yaitu nya abelianisasi. Dengan kata lain, grup abelian gratis pada S adalah kumpulan kata yang dibedakan hanya sampai urutan hurufnya. Oleh karena itu, peringkat grup bebas juga dapat didefinisikan sebagai peringkat abelianisasi sebagai grup abelian bebas.

Masalah Tarski

Sekitar tahun 1945, Alfred Tarski bertanya apakah grup bebas pada dua atau lebih generator memiliki teori orde pertama yang sama, dan apakah teori ini desidable. (Sela 2006) menjawab pertanyaan pertama dengan menunjukkan bahwa dua kelompok bebas nonabelian memiliki teori orde pertama yang sama, dan (Kharlampovich & Myasnikov 2006) menjawab kedua pertanyaan tersebut, menunjukkan bahwa teori ini dapat diputuskan.

Sebuah pertanyaan serupa yang tidak terpecahkan (pada 2011) di teori probabilitas bebas menanyakan apakah aljabar grup von Neumann dari dua kelompok bebas yang dihasilkan tak terbatas non-abelian adalah isomorfik.

Lihat pula

Menghasilkan sekumpulan grup
Presentasi grup
Transformasi Nielsen, faktorisasi elemen dari grup automorfisme dari grup bebas
Bentuk normal untuk grup bebas dan produk gratis dari grup
Produk bebas

Catatan

^ von Dyck, Walther (1882). "Gruppentheoretische Studien (Group-theoretical Studies)". Mathematische Annalen. 20 (1): 1–44. doi:10.1007/BF01443322. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2016-03-04. Diakses tanggal 2020-12-07.
^ Nielsen, Jakob (1917). "Die Isomorphismen der allgemeinen unendlichen Gruppe mit zwei Erzeugenden". Mathematische Annalen. 78 (1): 385–397. doi:10.1007/BF01457113. JFM 46.0175.01. MR 1511907. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2016-03-05. Diakses tanggal 2020-12-07.
^ Nielsen, Jakob (1921). "On calculation with noncommutative factors and its application to group theory. (Translated from Danish)". The Mathematical Scientist. 6 (1981) (2): 73–85.
^ Nielsen, Jakob (1924). "Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen". Mathematische Annalen. 91 (3): 169–209. doi:10.1007/BF01556078. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2016-03-05. Diakses tanggal 2020-12-07.
^ Lihat Magnus, Wilhelm; Moufang, Ruth (1954). "Max Dehn zum Gedächtnis". Mathematische Annalen. 127 (1): 215–227. doi:10.1007/BF01361121. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2016-03-05. Diakses tanggal 2020-12-07.
^ Schreier, Otto (1928). "Die Untergruppen der freien Gruppen". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 5: 161–183. doi:10.1007/BF02952517.
^ Reidemeister, Kurt (1972 (1932 original)). Einführung in die kombinatorische Topologie. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft.

Referensi

Kharlampovich, Olga; Myasnikov, Alexei (2006). "Elementary theory of free non-abelian groups" (PDF). Journal of Algebra. 302 (2): 451–552. doi:10.1016/j.jalgebra.2006.03.033. MR 2293770. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2016-10-21. Diakses tanggal 2015-09-04.
W. Magnus, A. Karrass and D. Solitar, "Combinatorial Group Theory", Dover (1976).
P.J. Higgins, 1971, "Categories and Groupoids", van Nostrand, {New York}. Reprints in Theory and Applications of Categories, 7 (2005) pp 1–195.
Sela, Zlil (2006). "Diophantine geometry over groups. VI. The elementary theory of a free group". Geom. Funct. Anal. 16 (3): 707–730. doi:10.1007/s00039-006-0565-8. MR 2238945.
Serre, Jean-Pierre, Trees, Springer (2003) (English translation of "arbres, amalgames, SL₂", 3rd edition, astérisque 46 (1983))
P.J. Higgins, The fundamental groupoid of a graph of groups Diarsipkan 2023-08-09 di Wayback Machine., Journal of the London Mathematical Society (2) 13 (1976), no. 1, 145–149.
Aluffi, Paolo (2009). Algebra: Chapter 0. AMS Bookstore. hlm. 70. ISBN 978-0-8218-4781-7. .
Grillet, Pierre Antoine (2007). Abstract algebra. Springer. hlm. 27. ISBN 978-0-387-71567-4. .