Grup sederhana

Dalam matematika, grup sederhana adalah sebuah nontrivial grup yang hanya subgrup normal adalah grup trivial dan grup itu sendiri. Suatu grup yang tidak sederhana dapat dipecah menjadi dua grup yang lebih kecil, yaitu subgrup normal nontrivial dan grup hasil bagi yang sesuai. Proses ini dapat diulangi, dan untuk grup terbatas seseorang akhirnya sampai pada grup sederhana yang ditentukan secara unik, dengan teorema Jordan–Hölder.

Klasifikasi grup sederhana hingga yang lengkap, diselesaikan pada tahun 2004, merupakan tonggak penting dalam sejarah matematika.

Contoh

Grup sederhana hingga

Grup siklik G = Z/3Z dari kongruensi kelas es modulo 3 (lihat aritmatika modular) sederhana. Jika H adalah subgrup dari grup ini, nya urutan (jumlah elemen) harus menjadi pembagi dari urutan G yaitu 3. Karena 3 adalah bilangan prima, satu-satunya pembagi adalah 1 dan 3, jadi baik H adalah G , atau H adalah grup trivial. Di sisi lain, grup G = Z/12Z tidak sederhana. Himpunan H dari kelas-kelas kesesuaian dari 0, 4, dan 8 modulo 12 adalah subgrup berorde 3, dan ini adalah subkelompok normal karena setiap subkelompok dari grup abelian adalah normal. Demikian pula, grup aditif Z dari integer s tidak sederhana; himpunan bilangan bulat genap adalah subgrup normal non-trivial yang tepat.^[1]

Seseorang dapat menggunakan jenis penalaran yang sama untuk setiap grup abelian, untuk menyimpulkan bahwa satu-satunya grup abelian sederhana adalah grup siklik dari urutan prima. Klasifikasi kelompok sederhana nonabelian jauh lebih sepele. Kelompok sederhana non abelian terkecil adalah grup bergantian A₅ dari orde 60, dan setiap grup orde 60 sederhana adalah isomorfis pafa A₅.^[2] Kelompok sederhana nonabelian terkecil kedua adalah kelompok linier khusus proyektif PSL(2,7) dengan orde 168, dan adalah mungkin untuk membuktikan bahwa setiap kelompok orde 168 sederhana isomorfik ke PSL(2,7).^[3]^[4]

Grup sederhana tak terbatas

Grup bergantian tak terbatas, yaitu grup permutasi yang didukung bahkan hingga bilangan bulat, $A_{\infty }$ . Grup ini dapat ditulis sebagai penyatuan yang meningkat dari grup sederhana hingga $A_{n}$ sehubungan dengan embedding standar $A_{n}\to A_{n+1}.$ Keluarga contoh lain dari kelompok sederhana tak terbatas diberikan oleh $\mathrm {PSL} _{n}(F),$ where $F$ adalah bidang tak terbatas dan $n\geq 2.$

Jauh lebih sulit untuk membangun grup sederhana tanpa batas yang dihasilkan secara terbatas . Hasil keberadaan pertama tidak eksplisit; hal ini disebabkan oleh Graham Higman dan terdiri dari quotients sederhana dari grup Higman.^[5] Contoh eksplisit, yang ternyata disajikan secara halus, termasuk gruo Thompson T dan V yang tidak terbatas. Grup sederhana tak terbatas yang disajikan dengan sempurna bebas torsi dibuat oleh Burger-Moze.^[6]

Klasifikasi

Belum ada klasifikasi yang diketahui untuk kelompok sederhana umum (tak terbatas), dan klasifikasi semacam itu diharapkan tidak ada.

Grup sederhana hingga

grup sederhana hingga penting karena dalam arti tertentu mereka adalah "blok bangunan dasar" dari semua grup hingga, agak mirip dengan cara bilangan prima adalah blok bangunan dasar dari bilangan bulat. Hal ini diungkapkan oleh Teorema Jordan–Hölder yang menyatakan bahwa dua rangkaian komposisi dari grup tertentu memiliki panjang yang sama dan faktor yang sama, hingga permutasi dan isomorfisme. Dalam upaya kolaboratif yang besar, klasifikasi kelompok sederhana hingga dinyatakan diselesaikan pada tahun 1983 oleh Daniel Gorenstein, meskipun beberapa masalah muncul (khususnya dalam klasifikasi grup kuasithin, yang dipasang pada tahun 2004).

Secara singkat, kelompok sederhana hingga diklasifikasikan sebagai tergeletak dalam salah satu dari 18 keluarga, atau menjadi salah satu dari 26 pengecualian:

Z_p – grup siklik dari urutan utama
A_n - grup bergantian untuk $n\geq 5$
Grup alternatif dapat dianggap sebagai grup jenis Lie di atas bidang dengan satu elemen, yang menyatukan keluarga ini dengan yang berikutnya, dan dengan demikian semua keluarga dari kelompok terbatas sederhana non-abelian dapat dianggap sebagai tipe Lie.
Satu dari 16 keluarga grup jenis Lie
Grup Tits secara umum dianggap dari bentuk ini, meskipun secara tegas itu bukan dari tipe Lie, melainkan indeks 2 dalam grup tipe Lie.
Salah satu dari 26 pengecualian, grup sporadis, 20 di antaranya adalah subkelompok atau sub-hasil bagi dari grup monster dan disebut sebagai "Keluarga Bahagia", sedangkan 6 sisanya disebut sebagai paria.

Struktur grup sederhana berhingga

teorema dari Feit dan Thompson menyatakan bahwa setiap kelompok berorde ganjil adalah dapat dipecahkan. Oleh karena itu, setiap kelompok sederhana hingga memiliki urutan genap kecuali jika itu adalah siklus orde utama.

Konjektur Schreier menegaskan bahwa grup automorfisme luar dari setiap grup sederhana hingga dapat dipecahkan. Ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema klasifikasi.

Sejarah untuk kelompok sederhana hingga

Ada dua alur dalam sejarah kelompok sederhana hingga, penemuan dan konstruksi kelompok dan keluarga sederhana tertentu, yang berlangsung dari karya Galois pada tahun 1820-an hingga pembangunan Monster pada tahun 1981; dan bukti bahwa daftar ini lengkap, yang dimulai pada abad ke-19, paling signifikan terjadi pada 1955 hingga 1983 (ketika kemenangan pada awalnya diumumkan), tetapi secara umum hanya disetujui untuk menjadi final. Hingga 2010^[update], bekerja untuk meningkatkan bukti dan pemahaman terus berlanjut; Lihat (Silvestri 1979) untuk sejarah abad ke-19 tentang kelompok sederhana.

Konstruksi

Grup sederhana telah dipelajari setidaknya sejak awal teori Galois, di mana Évariste Galois menyadari bahwa fakta bahwa kelompok pengganti pada lima atau lebih adalah sederhana (dan karenanya tidak dapat dipecahkan), yang dibuktikannya pada tahun 1831. Galois juga membangun grup linear khusus proyektif dari sebuah bidang di atas bidang berhingga prima, PSL(2,p), dan mengatakan bahwa mereka sederhana untuk p bukan 2 atau 3. Ini terkandung dalam surat terakhirnya kepada Chevalier,^[7] dan merupakan contoh berikutnya dari grup sederhana hingga.^[8]

The next discoveries were by Camille Jordan in 1870.^[9] Jordan telah menemukan 4 famili dari grup matriks sederhana di atas bidang hingga orde utama, yang sekarang dikenal sebagai grup klasik.

Pada waktu yang hampir bersamaan, diperlihatkan bahwa sebuah keluarga terdiri dari lima kelompok, disebut grup Mathieu dan pertama kali dijelaskan oleh Émile Léonard Mathieu pada tahun 1861 dan 1873, juga sederhana. Karena kelima kelompok ini dibangun dengan metode yang tidak menghasilkan banyak kemungkinan yang tak terhingga, mereka disebut "sporadis" oleh William Burnside dalam buku teksnya tahun 1897.

Kemudian hasil Jordan pada kelompok klasik digeneralisasikan ke bidang terbatas sewenang-wenang oleh Leonard Dickson, mengikuti klasifikasi aljabar Lie sederhana kompleks berdasarkan Wilhelm Killing. Dickson juga membangun grup pengecualian tipe G₂ dan E₆ juga, tapi bukan tipe F₄, E₇, atau E₈ (Wilson 2009, hlm. 2). Pada 1950-an pekerjaan kelompok tipe Lie dilanjutkan, dengan Claude Chevalley memberikan konstruksi seragam dari kelompok klasik dan kelompok jenis luar biasa dalam kertas 1955. Ini menghilangkan kelompok tertentu yang diketahui (kelompok kesatuan proyektif), yang diperoleh dengan "memutar" konstruksi Chevalley. Kelompok tipe Lie yang tersisa diproduksi oleh Steinberg, Tits, dan Herzig (yang memproduseri ³D₄(q) and ²E₆(q)) dan oleh Suzuki dan Ree (grup Suzuki–Ree).

Grup ini (grup tipe Lie, bersama dengan kelompok siklik, kelompok bergantian, dan lima kelompok Mathieu yang luar biasa) diyakini sebagai daftar lengkap, tetapi setelah jeda hampir satu abad sejak karya Mathieu, pada tahun 1964 gruo Janko pertama ditemukan, dan sisa 20 grup sporadis ditemukan atau diduga pada tahun 1965–1975, berpuncak pada tahun 1981, ketika Robert Griess mengumumkan bahwa ia telah membangun "grup Monster" milik Bernd Fischer ". Monster adalah grup sederhana sporadis terbesar yang memiliki urutan 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000. Monster memiliki representasi 196.883 dimensi yang setia dalam Aljabar Griess dimensi 196.884, yang berarti bahwa setiap elemen Monster dapat diekspresikan sebagai matriks 196.883 x 196.883.

Klasifikasi

Klasifikasi lengkap secara umum diterima sebagai dimulai dengan Teorema Feit–Thompson tahun 1962/63, sebagian besar berlangsung hingga tahun 1983, tetapi baru selesai pada tahun 2004.

Segera setelah pembangunan Monster pada tahun 1981, menjadi bukti, berjumlah lebih dari 10.000 halaman, asalkan ahli teori grup telah berhasil mendaftar semua grup sederhana hingga, dengan kemenangan diumumkan pada tahun 1983 oleh Daniel Gorenstein. Ini terlalu dini, beberapa celah kemudian ditemukan, terutama dalam klasifikasi grup kuasithin, yang akhirnya diganti pada tahun 2004 oleh klasifikasi grup quasithin 1.300 halaman, yang sekarang secara umum diterima sebagai lengkap.

Tes untuk kesederhanaan

Pengujian Sylow: Misalkan n adalah bilangan bulat positif yang bukan prima, dan misalkan p menjadi pembagi prima dari n . Jika 1 adalah satu-satunya pembagi dari n yang sama dengan 1 modulo p, maka tidak ada grup orde sederhana n .

Bukti: Jika n adalah kekuatan-prima, maka segrup urutan n memiliki nontrivial pusat^[10] dan, oleh karena itu, tidaklah sederhana. Jika n bukan pangkat utama, maka setiap subkelompok Sylow adalah tepat, dan, menurut Teorema Ketiga Sylow, kita tahu bahwa jumlah subgrup p Sylow dari kelompok orde n sama dengan 1 modulo p dan membagi n . Karena 1 adalah satu-satunya bilangan tersebut, subgrup p Sylow unik, dan oleh karena itu normal. Karena ini adalah subkelompok non-identitas yang tepat, kelompok ini tidak sederhana.

Burnside: Grup sederhana hingga non-Abelian memiliki urutan yang habis dibagi oleh setidaknya tiga bilangan prima yang berbeda. Ini mengikuti dari Teorema p-q Burnside.

Lihat pula

Referensi

Catatan

^ Knapp (2006), [//books.google.com/books?id=KVeXG163BggC&pg=PA170&dq=%22Z+is+not+simple%2C+having+the+nontrivial+subgroup+2Z%22 p. 170]
^ Rotman (1995), [//books.google.com/books?id=lYrsiaHSHKcC&pg=PA226&dq=%22simple+groups+of+order+60+are+isomorphic%22 p. 226]
^ Rotman (1995), p. 281
^ Smith & Tabachnikova (2000), [//books.google.com/books?id=DD0TW28WjfQC&pg=PA144&dq=%22any+two+simple+groups+of+order+168+are+isomorphic%22 p. 144]
^ Higman, Graham (1951), "A finitely generated infinite simple group", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 26 (1): 61–64, doi:10.1112/jlms/s1-26.1.59, ISSN 0024-6107, MR 0038348
^ Burger, M.; Mozes, S. (2000). "Lattices in product of trees". Publ. Math. IHES. 92: 151–194. doi:10.1007/bf02698916.
^ Galois, Évariste (1846), "Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, XI: 408–415, diarsipkan dari versi asli tanggal 2022-11-26, diakses tanggal 2009-02-04, PSL(2,p) dan kesederhanaan dibahas pada hal. 411; tindakan luar biasa pada 5, 7, atau 11 poin yang dibahas pada hlm. 411–412; GL(ν,p) dibahas di hal. 410
^ Wilson, Robert (October 31, 2006), "Chapter 1: Introduction", The finite simple groups, diarsipkan dari versi asli tanggal 2011-05-22, diakses tanggal 2020-12-12
^ Jordan, Camille (1870), Traité des substitutions et des équations algébriques
^ Lihat bukti di grup-p, misalnya.

Buku teks

Wilson, Robert A. (2009), The finite simple groups, Graduate Texts in Mathematics 251, 251, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012, 2007 preprint.
Burnside, William (1897), Theory of groups of finite order, Cambridge University Press

Knapp, Anthony W. (2006), Basic algebra, Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
Rotman, Joseph J. (1995), An introduction to the theory of groups, Graduate texts in mathematics, 148, Springer, ISBN 978-0-387-94285-8
Smith, Geoff; Tabachnikova, Olga (2000), Topics in group theory, Springer undergraduate mathematics series (edisi ke-2), Springer, ISBN 978-1-85233-235-8

Dokumen

Silvestri, R. (September 1979), "Simple groups of finite order in the nineteenth century", Archive for History of Exact Sciences, 20 (3–4): 313–356, doi:10.1007/BF00327738