Grup topologi

Bilangan riil membentuk grup topologis di bawah penambahan

Dalam matematika, grup topologis adalah grup G bersama dengan topologi pada ${\displaystyle G}$ sehingga kedua operasi biner grup dan elemen grup pemetaan fungsi ke balikkannya masing-masing adalah fungsi kontinu yang berkaitan dengan topologi. Grup topologis adalah objek matematika dengan struktur aljabar dan struktur topologi. Jadi, salah satunya dapat melakukan operasi aljabar, karena struktur grupnya, dan salah satunya dapat berbicara tentang fungsi kontinu, karena topologinya.

Grup topologis, bersama dengan aksi grup kontinu, digunakan untuk mempelajari simetri kontinu, yang memiliki banyak penerapan, misalnya dalam fisika. Dalam analisis fungsional, setiap ruang vektor topologis adalah grup topologis aditif dengan sifat tambahan bahwa perkalian skalar adalah kontinu; akibatnya, banyak hasil dari teori grup topologis dapat diterapkan pada analisis fungsional.

Definisi formal

Grup topologis, G, adalah ruang topologi yang juga merupakan grup operasi grup (dalam hal ini darab):

${\displaystyle \cdot :G\times G\to G}$, ${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$

dan peta balikkan:

${\displaystyle ^{-1}:G\to G}$, ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$

adalah kontinu.^{[note 1]} Disini G × G dipandang sebagai ruang topologi dengan topologi darab. Topologi seperti itu dikatakan serasi dengan operasi grup dan disebut topologi grup.

Memeriksa kekontinuan

Peta darab kontinu jika dan hanya jika untuk ${\displaystyle x,y\in G}$ dan setiap lingkungan ${\displaystyle W}$ dari ${\displaystyle xy}$ di ${\displaystyle G}$, terdapat lingkungan ${\displaystyle U}$ dari ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle V}$ dari ${\displaystyle y}$ pada ${\displaystyle G}$ sehingga ${\displaystyle U\cdot V\subseteq W}$, dimana ${\displaystyle U\cdot V:=\{u\cdot v:u\in U,v\in V\}}$}. Peta balikkan kontinu jika dan hanya jika ${\displaystyle x\in G}$ dan suatu lingkungan ${\displaystyle V}$ dari ${\displaystyle x^{-1}}$ pada ${\displaystyle G}$, lingkungan ${\displaystyle U}$ dari ${\displaystyle x}$ ke ${\displaystyle G}$ sehingga ${\displaystyle U^{-1}\subseteq V}$, dimana ${\displaystyle U^{-1}:=\{u^{-1}:u\in U\}}$.

Untuk menunjukkan bahwa topologi serasi dengan operasi grup, itu sudah cukup untuk memeriksa peta

${\displaystyle G\times G\to G}$, ${\displaystyle (x,y)\mapsto (xy)^{-1}}$

adalah kontinu. Secara eksplisit, ini berarti bahwa untuk ${\displaystyle x,y\in G}$ dan suatu lingkungan ${\displaystyle W}$ oleh ${\displaystyle G}$ dari xy ⁻¹, ada lingkungan ${\displaystyle U}$ dari ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle V}$ dari ${\displaystyle y}$ di ${\displaystyle G}$ maka ${\displaystyle U\cdot (V^{-1})\subseteq W}$.

Notasi aditif

Definisi ini menggunakan notasi untuk grup perkalian; padanan untuk grup aditif adalah bahwa dua operasi berikut kontinu:

${\displaystyle +:G\times G\to G}$, ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}$

${\displaystyle -:G\to G}$, ${\displaystyle x\mapsto -x}$.

Ke-Hausdorff-an

Meski bukan bagian dari definisi ini, banyak penulis^[1] perlu bahwa topologi pada ${\displaystyle G}$ menjadi Hausdorff. Salah satu alasan untuk ini adalah bahwa setiap grup topologi dapat secara kanonik dikaitkan dengan grup topologi Hausdorff dengan mengambil hasil bagi kanonik yang sesuai; Ini bagaimanapun, sering kali masih membutuhkan kerja dengan grup topologi takHausdorff asli. Alasan lain, dan beberapa kondisi yang setara, dibahas di bawah ini.

Artikel ini tidak akan mengasumsikan bahwa grup topologi selalu Hausdorff.

Kategori

Dalam bahasa teori kategori, grup topologi dapat didefinisikan secara ringkas sebagai objek grup dalam kategori ruang topologi, dengan cara yang sama seperti grup biasa adalah objek grup dalam kategori himpunan. Perhatikan bahwa aksioma diberikan dalam bentuk peta (darab biner, balikkan uner, dan identitas nol), oleh karena itu definisi kategoris.

Kehomomorfan

Kehomomorfan dari grup topologis berarti kehomomorfan grup ${\displaystyle G\to H}$. Grup topologis, bersama dengan kehomomorfannya, membentuk kategori. kehomomorfan grup antara grup topologi komutatif kontinu jika dan hanya jika kontinu pada beberapa titik.^[2]

Keisomorfan dari grup topologis adalah grup keisomorfan yang juga merupakan homeomorfisme dari ruang topologi yang mendasarinya. Ini lebih kuat daripada hanya perlu keisomorfan grup kontinu, kebalikannya juga harus kontinu. Terdapat contoh grup topologis yang isomorfik sebagai grup biasa tetapi tidak sebagai grup topologis. Memang, setiap grup topologis takdiskret juga merupakan grup topologis bila dipertimbangkan dengan topologi diskret. Grup yang mendasari sama, tetapi sebagai grup topologis tidak ada keisomorfan.

Contoh

Setiap grup dapat dengan mudah dibuat menjadi grup topologis dengan mempertimbangkannya menggunakan topologi diskret; grup seperti itu disebut grup diskret. Dalam pengertian ini, teori grup topologi mengasumsikan bahwa grup biasa. Topologi takdiskret (yaitu topologi trivial) juga membuat setiap grup menjadi grup topologis.

Bilangan real, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dengan topologi biasa membentuk grup topologis di bawah tambahan. Ruang Euklidean-n dari ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ juga merupakan grup topologis dalam penambahan, dan lebih umum lagi, setiap ruang vektor topologis membentuk grup topologis (Abel). Beberapa contoh lain dari grup topologis Abel adalah grup lingkaran ${\displaystyle S^{1}}$, atau torus ${\displaystyle (S^{1})^{n}}$ untuk bilangan asli ${\displaystyle n}$.

Grup klasik adalah contoh penting dari grup topologis takAbel. Misalnya, grup linear umum ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$ mengenai semua terbalikkan matriks ${\displaystyle n}$ kali ${\displaystyle n}$ dengan entri real dapat dilihat sebagai grup topologis dengan topologi yang ditentukan dengan melihat ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$ sebagai subruang dari ruang Euklides ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}}$. Grup klasik lainnya adalah grup ortogonal ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$, grup dari semua peta linear dari ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ terhadap dirinya sendiri yang mempertahankan panjang dari semua vektor. Grup ortogonal adalah kompak sebagai sebuah ruang topologi. Banyak dari geometri Euklides dapat dipandang sebagai mempelajari struktur grup ortogonal, atau grup yang terkait erat ${\displaystyle O(n)\ltimes \mathbb {R} ^{n}}$ mengenai isometri dari ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Grup yang disebutkan sejauh ini adalah semua grup Lie, artinya grup tersebut manifold halus sedemikian rupa sehingga operasi grup adalah mulus, tidak hanya kontinu. Grup Lie adalah grup topologis yang paling dipahami; banyak pertanyaan tentang grup Lie dapat diubah menjadi pertanyaan aljabar murni tentang aljabar Lie dan kemudian diselesaikan.

Contoh grup topologis yang bukan grup Lie adalah grup aditif ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dari bilangan rasional, dengan topologi yang diwarisi dari ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Ini adalah ruang terhitung, dan tidak memiliki topologi diskret. Contoh yang penting untuk teori bilangan adalah grup ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ dari bilangan bulat p-adik, untuk bilangan prima ${\displaystyle p}$, yang berarti batas balikkan dari grup hingga ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}}$ karena ${\displaystyle n}$ menuju takterhingga. Grup ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ is berperilaku baik karena kompak (pada kenyataannya, homeomorfik ke himpunan Cantor), tetapi berbeda dari grup Lie (real) karena takterhubung.

Grup ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ adalah grup pro-hingga; itu isomorfik ke subgrup darab ${\displaystyle \prod _{n\geq 1}\mathbb {Z} /p^{n}}$ sedemikian rupa sehingga topologinya diinduksi oleh topologi darab, di mana grup hingga ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}}$ diberi topologi diskret. Kelas besar lain dari grup pro-terbatas yang penting dalam teori bilangan adalah grup Galois mutlak.

Grup topologis Abel lengkap

Informasi tentang konvergensi jaring dan filter, seperti definisi dan sifat, dapat ditemukan di artikel tentang filter dalam topologi.

Keseragaman kanonik pada grup topologis komutatif

Artikel utama: Ruang seragam

Selanjutnya kita akan mengasumsikan bahwa setiap grup topologis yang kami anggap adalah grup topologis komutatif aditif dengan elemen identitas 0.

Definisi (Rombongan kanonik dan diagonal):

Diagonal dari X adalah himpunan

Δ_X  :=  { (x, x) : x ∈ X  }

dan untuk N ⊆ X berisi 0, rombongan kanonik' atau lingkungan kanonik sekitar N' adalah himpunan

Δ_X(N)  :=  { (x, y) ∈ X × X : x - y ∈ N }  =  ∪y ∈ X [(y + N) × { y }]  =  Δ_X + (N × { 0 })

Definisi (Keseragaman kanonik):^[3] Untuk grup topologi (X, τ), keseragaman kanonik pada X adalah struktur seragam yang diinduksi oleh himpunan semua lingkungan kanonik Δ(N) sebagai rentang N di semua lingkungan 0 pada X.

Artinya, ini adalah penutupan ke atas dari prefilter berikut pada X × X,

{ Δ(N) : N adalah lingkungan 0 pada X }

di mana prefilter ini membentuk apa yang dikenal sebagai basis lingkungan dari keseragaman kanonik.

Definisi (Keseragaman translasi-invarian):^[4] Untuk grup aditif komutatif X, sistem dasar lingkungan ℬ disebut translasi-invarian jika untuk setiap B ∈ ℬ, (x, y) ∈ B jika dan hanya jika (x + z, y + z) ∈ B for all x, y, z ∈ X. Keseragaman ℬ disebut translasi-invarian jika memiliki basis lingkungan yang merupakan invarian-translasi.

Catatan:

• Keseragaman kanonik pada setiap grup topologi komutatif adalah invarian-translasi.
• Keseragaman kanonik yang sama akan dihasilkan dengan menggunakan basis lingkungan asal alih-alih filter dari semua lingkungan asal.
• Setiap rombongan Δ_X(N) berisi diagonal Δ_X := Δ_X({0}) = { (x, x) : x ∈ X  } karena 0 ∈ N.
• Jika N adalah simetris (yaitu - N = N) kemudian Δ_X(N) simetris (yaitu, (Δ_X(N))^op  =  Δ_X(N)) dan

  Δ_X(N) ∘ Δ_X(N)  =  { (x, z) : ∃ y ∈ X  such that  x, z ∈ y + N }  =  ∪y ∈ X [(y + N) × (y + N)]  =  Δ_X + (N × N).

• Topologi yang diinduksi pada X oleh keseragaman kanonik adalah sama dengan topologi yang dimulai dengan X (yaitu τ).

Pratapis dan jaring Cauchy

Artikel utama: Filter dalam topologi dan Jaring (matematika)

Teori umum ruang seragam s memiliki definisi sendiri tentang "Cauchy pratapis" dan "Cauchy net." Untuk keseragaman kanonik pada X, ini dikurangi menjadi definisi yang dijelaskan.

Definisi (Jumlah dan hasil jala):^[5] Seharusnya x_• = (x_i)_{i ∈ I} adalah jaring di X dan y_• = (y_i)_{j ∈ J} adalah jaring di Y. Buat I × J menjadi satu set diarahkan dengan menyatakan (i, j) ≤ (i₂, j₂) jika dan hanya jika i ≤ i₂ dan j ≤ j₂. Kemudian x_• × y_•  :=  (x_i, y_j)_{(i, j) ∈ I×J} menunjukkan produk jaring. Jika X = Y lalu gambar jaring ini di bawah peta tambahan X × X → X menunjukkan jumlah dari dua jaring ini:

x_• + y_•  :=  ( x_i + y_j )_{(i, j) ∈ I×J}

dan perbedaan mereka didefinisikan sebagai citra bersih produk di bawah peta pengurangan:

x_• - y_•  :=  ( x_i - y_j )_{(i, j) ∈ I×J}.

Definisi (Jaring Cauchy):^[6] jaring x_• = (x_i)_{i ∈ I} dalam grup topologi aditif X disebut Jaring Cauchy jika

( x_i - x_j )_{(i, j) ∈ I×I}  →  0  in  X

atau setara, jika untuk setiap lingkungan N dari 0 di X, ada beberapa i₀ ∈ I maka x_i - x_j ∈ N untuk i, j ≥ i₀ dengan i, j ∈ I.

Urutan Cauchy adalah Cauchy net yang berurutan.

Definisi ( N-himpunan kecil):^[7] Jika B adalah subset dari grup aditif X dan N adalah himpunan yang berisi 0, lalu kita katakan bahwa B adalah N-kecil atau urutan kecil N if B - B ⊆ N.

Definisi (Prafilter Cauchy): Sebuah prefilter ℬ pada grup topologi aditif X disebut Cauchy prefilter jika memenuhi salah satu kondisi setara berikut:

1. ℬ  -  ℬ  →  0  in X, dimana  ℬ  -  ℬ  :=  { B  -  C  :  B, C ∈ ℬ } adalah sebuah prefilter.
2. { B  -  B  :  B ∈ ℬ }  →  0  in X, dimana  { B  -  B  :  B ∈ ℬ } adalah prafilter yang setara dengan ℬ  -  ℬ.
3. For setiap lingkungan N dari 0 di X, ℬ berisi beberapa N-himpunan kecil (yaitu, ada beberapa B ∈ ℬ maka B - B ⊆ N).^[8]

dan jika X komutatif maka juga:

4. Untuk setiap lingkungan N dari 0 di X, ada beberapa B ∈ ℬ dan beberapa x ∈ X maka B ⊆ x + N.^[7]

• Itu sudah cukup untuk memeriksa salah satu kondisi di atas untuk setiap basis lingkungan yang diberikan dari 0 di X.

Ucapan:

• Misalkan ℬ adalah pratapis pada grup topologis komutatif X dan x ∈ X. Kemudian ℬ → x di X jika dan hanya jika x ∈ cl ℬ dan ℬ adalah Cauchy.^[5]

Generalisasi

Berbagai generalisasi grup topologis dapat diperoleh dengan melemahkan kondisi kekontinuan:^[9]

• Grup semitopologi adalah grup ${\displaystyle G}$ dengan topologi untuk c ∈ G dua fungsi G → G didefinisikan oleh x ↦ xc dan x ↦ cx adalah kontinu.
• Grup kuasitopologi adalah grup semitopologis di mana elemen pemetaan fungsi ke balikkannya juga kontinu.
• Grup paratopologi adalah grup dengan topologi sedemikian rupa sehingga operasi grup kontinu.

Lihat pula

• Grup aljabar
• Grup kompak
• Ruang vektor topologis lengkap
• Grup Lie
• Grup kompak lokal
• Grup tak terbatas
• Gelanggang topologi
• Ruang vektor topologis

Catatan

1. yaitu Kontinu artinya untuk himpunan terbuka U ⊆ G, f ⁻¹(U) terbuka di domain dom f dari f.

Referensi

1. Armstrong 1997, hlm. 73; Bredon 1997, hlm. 51
2. Narici & Beckenstein 2011, hlm. 19-45.
3. Edwards 1995, hlm. 61.
4. Schaefer & Wolff 1999, hlm. 12-19.
5. Narici & Beckenstein 2011, hlm. 47-66.
6. Narici & Beckenstein 2011, hlm. 48.
7. Narici & Beckenstein 2011, hlm. 48-51.
8. Narici & Beckenstein 2011, hlm. 48–51.
9. Arhangel'skii & Tkachenko 2008, hlm. 12.

Bibliografi

• Arhangel'skii, Alexander; Tkachenko, Mikhail (2008). Topological Groups and Related Structures. World Scientific. ISBN 978-90-78677-06-2. MR 2433295. 
• Armstrong, Mark A. (1997). Basic Topology (edisi ke-1st). Springer-Verlag. ISBN 0-387-90839-0. MR 0705632. 
• Banaszczyk, Wojciech (1983), "On the existence of exotic Banach–Lie groups", Mathematische Annalen, 264 (4): 485–493, doi:10.1007/BF01456956, MR 0716262, diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-06-10, diakses tanggal 2021-01-01 
• Bourbaki, Nicolas (1998), General Topology. Chapters 1–4, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64241-2, MR 1726779 
• Bredon, Glen E. (1997). Topology and Geometry. Graduate Texts in Mathematics (edisi ke-1st). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3. MR 1700700. 
• Hatcher, Allen (2001), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, MR 1867354, diarsipkan dari versi asli tanggal 2018-05-19, diakses tanggal 2021-01-01 
• Templat:Edwards Functional Analysis Theory and Applications
• Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1979), Abstract Harmonic Analysis, 1 (edisi ke-2nd), Springer-Verlag, ISBN 978-0387941905, MR 0551496 
• Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1970), Abstract Harmonic Analysis, 2, Springer-Verlag, ISBN 978-0387048321, MR 0262773 
• Mackey, George W. (1976), The Theory of Unitary Group Representations, University of Chicago Press, ISBN 0-226-50051-9, MR 0396826 
• Montgomery, Deane; Zippin, Leo (1955), Topological Transformation Groups, New York, London: Interscience Publishers, MR 0073104 
• Templat:Narici Beckenstein Topological Vector Spaces
• Pontryagin, Lev S. (1986). Topological Groups. trans. from Russian by Arlen Brown and P.S.V. Naidu (edisi ke-3rd). New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 2-88124-133-6. MR 0201557. 
• Porteous, Ian R. (1981). Topological Geometry (edisi ke-2nd). Cambridge University Press. ISBN 0-521-23160-4. MR 0606198. 
• Templat:Schaefer Wolff Topological Vector Spaces