Teorema Lagrange (teori grup)

Untuk Teorema Lagrange, lihat Teorema Lagrange (disambiguasi).

G adalah grup ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$, bilangan bulat mod 8 sebagai tambahan. Subkelompok H hanya berisi 0 dan 4, dan bersifat isomorfik ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$. Ada empat koset kiri H: H itu sendiri, 1 + H, 2 + H, dan 3 + H (ditulis menggunakan notasi aditif karena ini adalah grup aditif). Bersama-sama mereka mempartisi seluruh grup G menjadi set yang berukuran sama dan tidak tumpang tindih. Jadi indeks [G: H] adalah 4.

Teorema Lagrange, dalam teori grup, bagian dari matematika, menyatakan bahwa jika H adalah subgrup dari grup terbatas G, maka urutan dari H membagi urutan G (urutan grup adalah jumlah elemen yang dimilikinya). Teorema ini dinamai Joseph-Louis Lagrange. Varian berikut juga mengidentifikasi rasio ${\displaystyle |G|/|H|}$, sebagai indeks [G : H], didefinisikan sebagai jumlah kohimpunan kiri dari H dalam G.

Teorema Lagrange — Jika H adalah subkelompok dari grup G, maka ${\displaystyle \left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|.}$

Varian ini berlaku meskipun G tidak terbatas, asalkan ${\displaystyle |G|}$, ${\displaystyle |H|}$, dan [G : H] ditafsirkan sebagai bilangan kardinal.

Bukti

Coset kiri dari H di G adalah kelas ekivalen dari hubungan ekivalen tertentu pada G: khusus, panggil x dan y di G setara jika ada h di H sedemikian rupa sehingga x = yh. Oleh karena itu koset kiri membentuk partisi dari G. Setiap koset kiri aH memiliki kardinalitas yang sama dengan H karena ${\displaystyle x\mapsto ax}$ mendefinisikan kebijaksanaan ${\displaystyle H\to aH}$ (the inverse is ${\displaystyle y\mapsto a^{-1}y}$). Jumlah koset kiri adalah indeks [G : H]. Dengan tiga kalimat sebelumnya,

${\displaystyle \left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|.}$

Ekstensi

Teorema Lagrange dapat diperluas ke persamaan indeks antara tiga subgrup G.^[1]

Ekstensi teorema Lagrange — Jika H adalah subkelompok dari G dan K adalah subgrup dari H, maka

${\displaystyle [G:K]=[G:H]\,[H:K].}$

Bukti —

Misalkan S menjadi himpunan perwakilan coset untuk K di H, jadi ${\displaystyle H=\coprod _{s\in S}sK}$ (disjoint union), dan ${\displaystyle |S|=[H:K]}$. Untuk ${\displaystyle a\in G}$, perkalian-kiri-dengan a adalah bijeksi ${\displaystyle G\to G}$, jadi ${\displaystyle aH=\coprod _{s\in S}asK}$. Jadi, setiap koset kiri dari H terurai menjadi ${\displaystyle [H:K]}$ koset kiri dari K. Karena G terurai menjadi ${\displaystyle [G:H]}$ koset kiri dari H, masing-masing terurai menjadi ${\displaystyle [H:K]}$ kosmetik kiri K, jumlah total ${\displaystyle [G:K]}$ dari koset kiri K di G adalah ${\displaystyle [G:H][H:K]}$.

Jika kita ambil K = (e} (e adalah elemen identitas dari G), lalu [G : (e}] = |G| dan [H : (e}] = |H|. Oleh karena itu kita dapat memulihkan persamaan aslinya |G| = [G : H] |H|.

Aplikasi

Konsekuensi dari teorema ini adalah bahwa urutan elemen apa pun a dari grup berhingga (yaitu bilangan bulat positif terkecil k dengan a^k = e, di mana e adalah elemen identitas grup) membagi urutan grup itu, karena urutan a sama dengan urutan subgrup siklik dihasilkan dari a. Jika grup memiliki elemen n, maka grup akan mengikuti

${\displaystyle \displaystyle a^{n}=e{\mbox{.}}}$

Ini dapat digunakan untuk membuktikan teorema kecil Fermat dan generalisasinya, Teorema Euler. Kasus-kasus khusus ini telah diketahui jauh sebelum teorema umum dibuktikan.

Teorema ini juga menunjukkan bahwa setiap kelompok orde utama adalah siklik dan sederhana. Hal ini pada gilirannya dapat digunakan untuk membuktikan teorema Wilson, bahwa jika p adalah bilangan prima maka p adalah faktor dari ${\displaystyle (p-1)!+1}$.

Teorema Lagrange juga dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa ada banyak bilangan prima yang tak terhingga: jika ada bilangan prima terbesar p, kemudian pembagi prima q dari bilangan Mersenne ${\displaystyle 2^{p}-1}$ akan menjadi sedemikian rupa sehingga urutan 2 dalam grup perkalian ${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{*}}$ (lihat aritmatika modular) membagi urutan ${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{*}}$, yaitu ${\displaystyle q-1}$. Karenanya p < q, bertentangan dengan asumsi bahwa p adalah bilangan prima terbesar.^[2]

Keberadaan subkelompok dengan urutan tertentu

Teorema Lagrange memunculkan pertanyaan sebaliknya, apakah setiap pembagi urutan suatu kelompok adalah urutan dari suatu subgrup. Ini tidak berlaku secara umum: diberi grup terbatas G dan pembagi d dari |G|, belum tentu ada subgrup G dengan urutan d . Contoh terkecil adalah A₄ (grup bergantian dengan derajat 4), yang memiliki 12 elemen tetapi tidak ada subgrup berorde 6.

"Kebalikan dari Teorema Lagrange "(CLT) grup adalah grup berhingga dengan properti bahwa untuk setiap pembagi dari urutan grup, ada subkelompok dari urutan. Diketahui bahwa grup CLT harus solvable dan setiap grup selesaikan adalah grup CLT. Namun, terdapat grup yang dapat dipecahkan yang bukan CLT (misalnya, A ₄ ) dan grup CLT yang tidak dapat diselesaikan (misalnya, S _{4 </ sub>, kelompok simetris derajat 4).}

Ada sebagian percakapan dalam teorema Lagrange. Untuk kelompok umum, Teorema Cauchy menjamin keberadaan suatu unsur, dan karenanya dari subkelompok siklik, dengan urutan bilangan prima apa pun yang membagi urutan grup. Teorema Sylow memperluas hal ini hingga keberadaan subkelompok ordo yang sama dengan pangkat maksimal bilangan prima apa pun yang membagi ordo grup. Untuk grup yang dapat dipecahkan, Teorema Hall menegaskan keberadaan subgrup ordo yang sama dengan pembagi kesatuan mana pun dari urutan grup (yaitu, coprime pembagi untuk itu

Contoh kebalikan dari kebalikan dari teorema Lagrange

Kebalikan dari teorema Lagrange menyatakan bahwa jika d adalah pembagi dari urutan grup G, maka terdapat subgrup dimana |H| = d.

Jika memeriksa grup bergantian A₄, himpunan genap permutasi sebagai subgrup dari Grup simetris S₄.

A₄ = (e, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)}.

|A₄| = 12 jadi pembaginya adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12. Asumsikan sebaliknya bahwa terdapat subgrup H pada A₄ dengan |H| = 6.

Misalkan V menjadi subgrup non-cyclic dari A₄ yang disebut [[Klein empat grup] ].

V = (e, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}.

Maka K = H ⋂ V. Karena H dan V adalah subgrup dari A₄, K juga merupakan subgrup dari A₄.

Dari teorema Lagrange, urutan K harus membagi 6 dan 4, urutan H dan {{mvar | V} } masing-masing. Dua bilangan bulat positif yang membagi 6 dan 4 adalah 1 dan 2. Begitu |K| = 1 atau 2.

Menganggap |K| = 1, menjadi K = (e}. Jika H tidak berbagi elemen apa pun dengan V, maka 5 elemen di H selain Elemen identitas e harus menjadi dari bentuk (a b c) dimana a, b, c adalah elemen berbeda di (1, 2, 3, 4}.

Karena setiap elemen bentuk (a b c) kuadrat adalah (a c b), dan (a b c)(a c b) = e, any element of H dalam bentuk (a b c) harus dipasangkan dengan kebalikannya. Secara khusus, 5 elemen yang tersisa dari H harus berasal dari pasangan elemen yang berbeda di A₄ yang tidak ada di V. Hal ini tidak mungkin karena pasangan elemen harus genap dan tidak dapat berjumlah hingga 5 elemen. Jadi, asumsi |K| = 1 salah, jadi |K| = 2.

Kemudian, K = (e, v} dimana v ∈ V, v harus dalam bentuk (a b)(c d) dimana a, b, c, d adalah elemen yang berbeda dari (1, 2, 3, 4}. Empat elemen lainnya dalam H adalah siklus dengan panjang 3.

Perhatikan bahwa coset dihasilkan oleh subgrup grup adalah partisi dari grup. Koset yang dihasilkan oleh subgrup tertentu bisa identik satu sama lain atau disjoint. Indeks subgrup dalam satu grup [A₄ : H] = |A₄|/|H| adalah jumlah koset yang dihasilkan oleh subkelompok itu. Karena |A₄| = 12 and |H| = 6, H akan menghasilkan dua koset kiri, yang satu sama dengan H dan yang lainnya, gH, yang panjangnya 6 dan menyertakan semua elemen di A₄ tidak termasuk H.

Karena hanya ada 2 koset berbeda yang dihasilkan oleh H, maka H harus normal. Karena, H = gHg⁻¹ (∀g ∈ A₄). Secara khusus, ini benar untuk g = (a b c) ∈ A₄. Karena H = gHg⁻¹, gvg⁻¹ ∈ H.

Tanpa kehilangan keumuman, asumsikan a = 1, b = 2, c = 3, d = 4. Kemudian g = (1 2 3), v = (1 2)(3 4), g⁻¹ = (1 3 2), gv = (1 3 4), gvg⁻¹ = (1 4)(2 3). Bertransformasi kembali, kita dapatkan gvg⁻¹ = (a d)(b c). Karena V berisi semua transposisi terputus-putus dalam A₄, gvg⁻¹ ∈ V. Hence, gvg⁻¹ ∈ H ⋂ V = K.

Karena gvg⁻¹ ≠ v, kami telah menunjukkan bahwa ada elemen ketiga di K. Tapi sebelumnya kami berasumsi seperti itu |K| = 2, jadi kami memiliki kontradiksi.

Oleh karena itu, asumsi awal kita bahwa ada subgrup berorde 6 tidak benar dan akibatnya tidak ada subgrup orde 6 pada A₄ dan kebalikan dari teorema Lagrange belum tentu benar. Q.E.D.

Sejarah

Lagrange tidak membuktikan teorema Lagrange dalam bentuk umumnya. Ia menyatakan, dalam artikelnya tentangRéflexions sur la résolution algébrique des équations,^[3] bahwa jika polinomial dalam variabel n variabelnya diubah dalam semua cara n !, jumlah polinomial berbeda yang diperoleh selalu merupakan faktor dari n!. (Misalnya, jika variabel x , y , dan z diubah dalam 6 kemungkinan cara dalam polinomial x + y − z maka kami mendapatkan total 3 polinomial berbeda: x + y − z, x + z − y, dan y + z − x. Perhatikan bahwa 3 adalah faktor 6.) Banyaknya polinomial tersebut adalah indeks dalam grup simetris S_n dari subkelompok H dari permutasi yang mempertahankan polinomial. (Misalnya x + y − z, subgrup H pada S₃ berisi identitas dan transposisi (x y).) So the size of H membagi n!. Dengan perkembangan kelompok abstrak kemudian, hasil Lagrange pada polinomial ini diakui untuk memperluas teorema umum tentang kelompok hingga yang sekarang menyandang namanya.

Dalam miliknya Disquisitiones Arithmeticae pada tahun 1801, Carl Friedrich Gauss membuktikan teorema Lagrange untuk kasus khusus ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{*}}$, kelompok perkalian bilangan bulat bukan nol modulo p , dengan p adalah bilangan prima.^[4] In 1844, Augustin-Louis Cauchy proved Lagrange's theorem for the symmetric group S_n.^[5]

Camille Jordan akhirnya membuktikan teorema Lagrange untuk kasus grup permutasi mana pun pada tahun 1861.^[6]

Catatan

1. Bray, Nicolas, Lagrange's Group Theorem, MathWorld 
2. Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2018), "Chapter 1", Proofs from THE BOOK (edisi ke-Revised and enlarged sixth), Berlin: Springer, hlm. 3–8, ISBN 978-3-662-57264-1 
3. Lagrange, Joseph-Louis (1771). "Suite des réflexions sur la résolution algébrique des équations. Section troisieme. De la résolution des équations du cinquieme degré & des degrés ultérieurs" [Rangkaian refleksi pada solusi aljabar persamaan. Bagian ketiga. Pada solusi persamaan derajat kelima & derajat yang lebih tinggi]. Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin: 138–254.  ; see especially pages 202-203.
4. Gauss, Carl Friedrich (1801), Disquisitiones Arithmeticae (dalam bahasa Latin), Leipzig (Lipsia): G. Fleischer , pp. 41-45, Art. 45-49.
5. Augustin-Louis Cauchy, §VI. — Sur les dérivées d'une ou de plusieurs substitutions, et sur les systèmes de substitutions conjuguées [Pada produk dari satu atau beberapa permutasi, dan pada sistem permutasi konjugasi] dari: "Mémoire sur les arrangements que l'on peut former avec des lettres données, et sur les permutations ou substitutions à l'aide desquelles on passe d'un arrangement à un autre" [Memoar tentang pengaturan yang dapat dibentuk dengan huruf tertentu, dan permutasi atau substitusi yang digunakan seseorang untuk berpindah dari satu pengaturan ke pengaturan lainnya] di: Exercises d'analyse et de physique mathématique [Exercises in analysis and mathematical physics], vol. 3 (Paris, France: Bachelier, 1844), pp. 183-185.
6. Jordan, Camille (1861). "Mémoire sur le numbre des valeurs des fonctions" [Memoir on the number of values of functions]. Journal de l'École Polytechnique. 22: 113–194.  Jordan's generalization of Lagrange's theorem appears on page 166.

Referensi

• Bray, Henry G. (1968), "A note on CLT groups", Pacific J. Math., 27 (2): 229–231, doi:10.2140/pjm.1968.27.229  
• Gallian, Joseph (2006), Contemporary Abstract Algebra (edisi ke-6th), Boston: Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-51471-7 
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract algebra (edisi ke-3rd), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-43334-7, MR 2286236 
• Roth, Richard R. (2001), "A History of Lagrange's Theorem on Groups", Mathematics Magazine, 74 (2): 99–108, doi:10.2307/2690624, JSTOR 2690624 

Pranala luar

• (Inggris) Bray, Nicolas. "Lagrange's Group Theorem". MathWorld.