Share to: share facebook share twitter share wa share telegram print page

Grup Abelian

Dalam matematika, grup Abelian, juga disebut grup komutatif, adalah grup dimana hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya. Artinya, operasi grup adalah komutatif. Dengan tambahan sebagai operasi, bilangan bulat dan bilangan riil membentuk grup abelian, dan konsep grup abelian dapat dilihat sebagai generalisasi dari contoh ini. Grup Abelian dinamai matentikawan awal abad ke-19 Niels Henrik Abel.[1]

Konsep grup abelian mendasari struktur aljabar fundamental, seperti bidang, gelanggang, ruang vektor, dan aljabar. Teori grup abelian umumnya lebih sederhana dari teori rekan non-abelian, dan grup abelian hingga sangat dipahami dan diklasifikasikan.

Definisi

Struktur grup
Totalitasα Asosiatif Identitas Invers Komutativitas
Semigrupoid Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Kategori Kecil Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Grupoid Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Magma Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Kuasigrup Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Magma Unital Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Loop Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Semigrup Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Semigrup invers Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Monoid Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Monoid komutatif Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan
Grup Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Grup Abelian Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan
Penutupan, yang digunakan dalam banyak sumber, merupakan aksioma yang setara dengan totalitas, meskipun didefinisikan secara berbeda.

Grup abelian adalah himpunan dengan operasi yang menggabungkan dua elemen dan dari untuk membentuk elemen lain dari dilambangkan . Simbol adalah placeholder umum untuk operasi diberikan secara konkret. Untuk memenuhi syarat sebagai grup abelian, himpunan dan operasi harus memenuhi lima persyaratan yang dikenal sebagai aksioma grup abelian:

Penutupan
Untuk , dengan , hasil operasi dengan .
Asosiatif
Untuk , , dan dalam , persamaan .
Elemen identitas
Elemen dalam , maka untuk semua elemen dengan adalah persamaan .
Elemen invers
Untuk dengan , elemen dalam maka , dimana adalah elemen identitas.
Komutatif
Untuk , dengan , .

Grup operasi merupakan grup tersebut tidak komutatif disebut "grup non-abelian" atau "grup non-komutatif".

Fakta

Notasi

Ada dua ketentuan notasi utama untuk grup abelian pada aditif dan perkalian.

Konvensi Operasi Identitas Pangkat Invers
Penambahan 0
Perkalian atau 1

Umumnya, notasi perkalian adalah notasi umum untuk grup, sedangkan notasi penjumlahan adalah notasi umum untuk modul dan gelanggang. Notasi aditif digunakan untuk menekankan bahwa grup tertentu adalah abelian, setiap kali grup abelian dan non-abelian beberapa pengecualian penting adalah dekat gelanggang dan grup terurut sebagian, dimana operasi ditulis secara aditif bahkan ketika non-abelian.

Tabel perkalian

Untuk memverifikasi bahwa grup hingga adalah abelian dengan tabel (matriks) yang dikenal sebagai tabel Cayley. Dengan cara menggunakan tabel perkalian. Jika grup di bawah operasi , ke entri tabel ini menggunakan produk .

Grup tersebut adalah abelian jika dan hanya jika tabel tersebut simetris dengan diagonal utama. Karena grup tersebut adalah abelian jika dan hanya jika untuk , jika di luar entri tabel sama dengan entri untuk , yaitu tabel simetris dengan diagonal utama.

Contoh

  • Untuk bilangan bulat dan operasi penambahan dilambangkan , operasi + menggabungkan dua bilangan bulat untuk membentuk bilangan bulat ketiga, penambahan bersifat asosiatif, sedangkan nol adalah identitas aditif, setiap bilangan bulat dengan menggunakan aditif invers, dan operasi penambahan bersifat komutatif karena untuk dua bilangan bulat dan .
  • Setiap grup siklik adalah abelian, karena jika , dengan , maka . Maka bilangan bulat, , membentuk grup abelian dengan penambahan, sebagai contoh bilangan bulat modulo dan .
  • Setiap gelanggang adalah grup abelian dengan operasi penjumlahan. Dalam gelanggang komutatif elemen invers atau unit membentuk abelian grup perkalian. Secara khusus, bilangan riil adalah grup abelian di bawah penjumlahan, dan bilangan riil bukan nol adalah grup abelian dalam perkalian.
  • Setiap subgrup dari grup abelian adalah normal, maka setiap subgrup adalah grup hasil bagi. Subgrup, hasil, dan jumlah langsung adalah grup abelian. Grup abelian sederhana hingga merupakan grup siklik dari urutan prima.[2]
  • Konsep grup abelian dan modul-. Lebih khusus, setiap modul- adalah grup abelian dengan operasi penjumlahan, dan setiap grup abelian adalah modul di atas gelanggang bilangan bulat dengan cara unik.

Secara umum, matriks bahkan matriks invers, tidak membentuk grup abelian dalam perkalian karena perkalian matriks umumnya tidak komutatif. Namun, beberapa grup matriks adalah grup abelian dalam perkalian matriks, salah satu contohnya adalah grup pada matriks rotasi.

Catatan sejarah

Camille Jordan menamai grup abelian setelah matematikawan asal norsk Niels Henrik Abel, karena Abel menemukan bahwa komutatifitas grup polinomial bahwa akar polinomial dapat dihitung dengan menggunakan akar.[3]:144–145

Sifat

Jika adalah bilangan asli dan adalah elemen dari grup abelian yang ditulis secara aditif, maka bisa didefinisikan sebagai () dan . Dengan cara ini, sebagai modul di atas gelanggang dari bilangan bulat. Maka, modul lebih dari diidentifikasikan dengan grup abelian.

Teorema tentang grup abelian (yaitu modul di atas domain ideal utama ) digeneralisasikan ke teorema tentang modul melalui domain ideal prinsipal arbitrer. Contoh tipikal adalah klasifikasi grup abelian yang dihasilkan secara hingga merupakan spesialisasi dari teorema struktur untuk modul yang dihasilkan secara hingga di atas domain ideal utama. Dalam kasus grup abelian yang dihasilkan secara hingga, teorema tersebut bahwa grup abelian terbagi sebagai jumlah langsung dari grup torsi dan grup abelian bebas. Yang pertama dapat ditulis sebagai jumlah langsung dari banyak grup bentuk tak hingga untuk prima , dan yang terakhir adalah jumlah langsung dari banyak salinan .

Jika adalah dua homomorfisme grup di antara grup abelian, kemudian jumlah semua , ditentukan oleh adalah homomorfisme (ini tidak tentu benar jika adalah grup non-abelian). Himpunan dari semua homomorfisme grup dari hingga merupakan grup abelian dalam itu sendiri.

Agak mirip dengan dimensi dari ruang vektor, setiap grup abelian memiliki peringkat. Ini didefinisikan sebagai kardinalitas maksimal dari satu himpunan elemen bebas linear (di atas bilangan bulat) grup.[4]:49–50 Grup abelian hingga dan grup torsi memiliki peringkat nol, dan setiap grup abelian dengan peringkat nol adalah grup torsi. Bilangan bulat dan bilangan rasional memiliki peringkat satu, serta setiap bukan nol subgrup aditif dari rasio. Di sisi lain, grup perkalian dari rasio bukan nol memiliki pangkat tak hingga, karena ini adalah grup abelian bebas dengan himpunan bilangan prima sebagai basis (dari hasil dari teorema fundamental aritmetika).

Pusat dari grup adalah himpunan elemen dengan setiap elemen . Grup adalah abelian jika dan hanya jika sama dengan pusatnya . Pusat dari grup merupakan karakteristik subgrup abelian dari . Jika grup hasil bagi grup dengan pusat siklik adalah abelian.[5]

Grup abelian hingga

Grup siklik dari bilangan bulat modulo , termasuk di antara contoh pertama grup. Ternyata grup abelian hingga trivial adalah isomorfik dari sejumlah langsung grup siklik hingga dari tatanan pangkat utama, dan tatanan ini ditentukan secara unik, membentuk sistem invarian kompleks. Grup automorfisme dari grup abelian hingga dapat dijelaskan secara langsung dalam istilah invarian. Teori ini pertama kali dikembangkan pada makalah tahun 1879 oleh Georg Frobenius, Ludwig Stickelberger, dan kemudian disederhanakan dan digeneralisasikan untuk modul yang dihasilkan secara halus, membentuk bab penting dari aljabar linear.

Setiap grup tatanan utama isomorfik ke grup siklik dan adalah abelian. Setiap grup yang urutannya adalah kuadrat dari bilangan prima juga adalah abelian.[6] Maka, untuk setiap bilangan prima (isomorfisme hingga) tepat dua grup tatanan , yaitu dan .

Klasifikasi

Teorema fundamental dari grup abelian hingga menyatakan bahwa setiap grup abelian hingga dapat diekspresikan sebagai jumlah langsung subgrup siklik dari prima dengan urutan pangkat; hal tersebut dikenal sebagai teorema dasar untuk grup abelian hingga.[7] Digeneralisasikan dengan teorema fundamental dari grup abelian yang dihasilkan secara hingga, dengan grup hingga menjadi kasus khusus ketika G memiliki nol peringkat; merujuk banyak generalisasi lebih lanjut.

Klasifikasi ini dibuktikan oleh Leopold Kronecker pada tahun 1870, meskipun tidak disebutkan dalam istilah teori-grup modern sampai sekarang, dan didahului oleh klasifikasi serupa dari bentuk kuadrat oleh Carl Friedrich Gauss pada tahun 1801; lihat sejarah untuk detailnya.

Grup siklik dengan urutan isomorfik dengan jumlah langsung dari dan jika dan hanya jika dan adalah koprima. Oleh karena itu, setiap grup abelian hingga adalah isomorfik dengan jumlah langsung dari bentuk

dengan salah satu cara kanonik berikut:

  • bilangan adalah pangkat bilangan prima (tidak harus berbeda),
  • bilangan membagi , dimana dibagi .

Sebagai contoh, dapat dinyatakan sebagai jumlah langsung dari dua subgrup siklik tatanan 3 dan 5: . Hal yang sama dapat dikatakan untuk setiap grup abelian tatanan 15, yang mengarah pada kesimpulan bahwa semua grup abelian urutan 15 adalah isomorfis.

Untuk contoh lain, setiap grup abelian berorde 8 isomorfik untuk (bilangan bulat 0 hingga 7 di bawah tambahan modulo 8), (bilangan bulat ganjil 1 sampai 15 dalam perkalian modulo 16), atau .

Lihat pula daftar grup kecil untuk grup abelian hingga tatanan 30 atau kurang.

Automorfisme

Menerapkan teorema fundamental untuk menghitung (dan terkadang menentukan) automorfisme dari grup abelian terbatas yang diberikan . Untuk menggunakan fakta bahwa jika membagi sebagai jumlah langsung dari subgrup koprima urutan, maka .

Dengan ini, teorema fundamental menunjukkan bahwa untuk menghitung grup automorfisme dari itu cukup untuk menghitung grup automorfisme dari Sylow subgrup secara terpisah (yaitu, semua jumlah langsung subkelompok siklik, masing-masing dengan urutan pangkat ). Perbaiki bilangan prima dan anggaplah eksponen dari faktor siklik dari subgrup Sylow disusun dalam urutan yang meningkat:

untuk beberapa . Seseorang perlu menemukan automorfisme

Satu kasus khusus adalah ketika , maka hanya ada satu faktor daya utama siklik pada subgrup Sylow dengan . Dalam hal ini teori automorfisme grup siklik hingga digunakan. Kasus khusus lainnya adalah kapan trivial tetapi untuk . Mempertimbangkan menjadi bentuk

jadi elemen subgrup ini dapat dilihat sebagai terdiri dari ruang vektor berdimensi di atas bidang hingga elemen pada . Oleh karena itu, automorfisme subgrup ini diberikan oleh transformasi linear invers, maka

dimana adalah grup linear umum yang sesuai, dengan mudah terbukti memiliki tatanan

Dalam kasus umum, dimana dan berubah-ubah, grup automorfisme lebih sulit ditentukan. Diketahui, bagaimanapun, bahwa jika mendefinisikan

dan

maka seseorang memilikinya secara khusus , , dan

Hal itu dapat memeriksa bahwa ini menghasilkan tatanan dalam contoh sebelumnya sebagai kasus khusus (lihat Hillar, C., & Rhea, D.).

Grup abelian yang dihasilkan tak hingga

Grup abelian A tanpa batas jika himpunan elemen hingga (disebut generator) sedemikian rupa maka setiap elemen grup adalah kombinasi linear dengan koefisien bilangan bulat elemen G.

Misalkan L menjadi grup abelian bebas dengan basis Homomorfisme grup unik sebagai

Homomorfisme ini adalah surjektif, dan kernel-nya dihasilkan secara halus (karena bilangan bulat membentuk gelanggang Noetherian). Pertimbangkan matriks M dengan entri bilangan bulat, sehingga entri dari kokernel ke j adalah koefisien dari generalisasi kernel j. Maka, grup abelian bersifat isomorfik terhadap kokernel dari peta linear yang ditentukan M. Sebaliknya, setiap matriks bilangan bulat mendefinisikan grup abelian yang dihasilkan secara hingga.

Oleh karena itu, studi tentang grup abelian yang dihasilkan hingga setara dengan studi tentang matriks bilangan bulat. Secara khusus, mengubah himpunan pembangkit A sama dengan mengalikan M sebelah kiri dengan matriks unimodular (yaitu, matriks bilangan bulat inversnya merupakan matriks bilangan bulat). Mengubah himpunan pembangkit kernel M sama dengan mengalikan M sebelah kanan dengan matriks unimodular.

Bentuk normal Smith dari M adalah sebuah matriks

dimana U dan V unimodular, dan S adalah matriks sehingga semua entri non-diagonal adalah nol, entri diagonal bukan-nol adalah yang pertama, dan adalah pembagi dari untuk i > j. Keberadaan dan bentuk normal Smith membuktikan bahwa grup abelian yang dihasilkan tak hingga A adalah jumlah langsung

dimana r adalah jumlah baris nol di bagian bawah r (dan peringkat grup). Ini adalah teorema fundamental dari grup abelian yang dihasilkan secara hingga.

Adanya algoritma untuk bentuk normal Smith menunjukkan bahwa dalil dasar grup abelian yang dihasilkan tak hingga bukan hanya dalil eksistensi abstrak, tetapi menyediakan cara untuk menghitung ekspresi grup abelian yang dihasilkan secara terbatas sebagai jumlah langsung.

Grup abelian tak hingga

Grup abelian tak hingga paling sederhana adalah grup siklik tak hingga . Grup abelian yang dihasilkan secara hingga isomorfik jumlah langsung salinan dari dan grup abelian hingga, diuraikan menjadi jumlah langsung dari banyak grup siklik dari tatanan pangkat utama. Meskipun dekomposisinya tidak unik, bilangan atau disebut peringkat dari , dan pangkat utama yang memberikan urutan puncak siklik hingga ditentukan secara unik.

Sebaliknya, klasifikasi grup abelian umum yang dihasilkan tanpa batas masih jauh dari lengkap. Grup divisibel yaitu grup abelian dimana persamaan sebagai solusi untuk bilangan asli dan elemen dari , merupakan satu kelas penting dari grup abelian tak hingga yang dapat sepenuhnya dicirikan. Setiap grup divisibel adalah isomorfik ke jumlah langsung, dengan penjumlahan isomorfik sebagai dan grup Prüfer untuk berbagai bilangan prima , dan kardinalitas penjumlahan dari setiap jenis ditentukan secara unik.[8] Selain itu, jika grup yang dapat dibagi adalah subgrup dari grup abelian maka sebagai pelengkap langsung: subgrup dari sedemikian rupa maka . Dengan demikian, grup yang dapat dibagi adalah modul injeksi dalam kategori grup abelian, dan sebaliknya, setiap grup abelian injeksi dapat dibagi (kriteria Baer). Grup abelian tanpa subgrup yang dapat dibagi bukan nol disebut tereduksi.

Dua kelas khusus penting dari grup abelian tak hingga dengan sifat berlawanan secara diametris adalah grup torsi dan grup bebas torsi, dicontohkan oleh grup (periodik) dan (bebas torsi).

Grup torsi

Grup abelian disebut periodik atau torsi, jika setiap elemen memiliki terbatas tatanan. Jumlah langsung dari grup siklik hingga bersifat periodik. Meskipun pernyataan sebaliknya tidak benar secara umum, beberapa kasus khusus diketahui. Teorema Prüfer pertama dan kedua menyatakan bahwa jika adalah grup periodik, dan memiliki eksponen terbatas, yaitu untuk beberapa bilangan asli , atau dihitung dan tinggi- elemen terbatas untuk setiap , maka adalah isomorfik ke jumlah langsung dari grup siklik hingga.[9] Kardinalitas himpunan sumsum langsung isomorfik ke dalam dekomposisi invarian dari .[10]:6 Teorema ini kemudian dimasukkan dalam kriteria Kulikov. Di arah yang berbeda, Helmut Ulm menemukan perluasan dari teorema Prüfer kedua menjadi abelian grup- yang dapat dihitung dengan elemen ketinggian tak hingga: grup itu sepenuhnya diklasifikasikan melalui invarian Ulm mereka.

Grup bebas torsi dan campuran

Grup abelian disebut bebas torsi jika setiap elemen bukan nol memiliki urutan tak hingga. Beberapa kelas dari grup abelian bebas torsi telah dipelajari secara ekstensif:

Grup abelian tidak periodik atau bebas torsi disebut campuran. Jika adalah grup abelian dan adalah subgrup torsi, maka grup faktor bebas torsi. Namun, secara umum subgrup torsi bukan merupakan penjumlahan langsung dari , jadi adalah bukan isomorfik ke . Jadi teori grup campuran melibatkan lebih dari sekedar menggabungkan hasil tentang grup periodik dan bebas torsi. Grup aditif bilangan bulat bebas torsi modul-.[11]:206

Invarian dan klasifikasi

Salah satu invarian dasar dari grup abelian tak hingga adalah peringkat: kardinalitas dari himpunan independen linear maksimal dari . Grup abelian dengan peringkat 0 merupakan grup periodik, sedangkan grup abelian bebas torsi peringkat 1 harus merupakan subgrup dari and can be completely described. Secara lebih umum, grup abelian bebas torsi dengan peringkat terbatas adalah subgrup dari . Di sisi lain, grup bilangan bulat -adik adalah grup abelian bebas torsi tanpa batas peringkat- dan grup dengan yang berbeda adalah non-isomorfik, jadi invarian bahkan tidak sepenuhnya sifat dari beberapa grup yang sudah dikenal.

Teorema klasifikasi untuk periodik yang dihasilkan tak hingga, habis dibagi, dapat dihitung, dan grup abelian bebas torsi peringkat 1 yang dijelaskan di atas semuanya diperoleh sebelum tahun 1950 dan membentuk dasar klasifikasi grup abelian tak hingga yang lebih umum. Alat teknis penting yang digunakan dalam klasifikasi grup abelian tak terbatas adalah subgrup murni dan dasar. Pengenalan berbagai invarian dari grup abelian bebas torsi telah menjadi salah satu jalan untuk kemajuan lebih lanjut. Lihat buku oleh Irving Kaplansky, László Fuchs, Phillip Griffith, dan David Arnold, serta prosiding konferensi tentang Teori Grup Abelian yang diterbitkan di Catatan Kuliah di Matematika untuk temuan yang lebih baru.

Grup aditif gelanggang

Grup aditif dari sebuah gelanggang adalah grup abelian, tetapi tidak semua kelompok abelian adalah grup aditif gelanggang (dengan perkalian nontrivial). Beberapa topik penting dalam bidang studi ini adalah:

  • Produk Tensor
  • Hasil sudut pada grup bebas torsi yang dihitung
  • Selah bekerja untuk menghilangkan batasan kardinalitas.

Catatan tentang tipografi

Di antara kata sifat matematika yang diturunkan dari nama diri dari seorang matematikawan, Kata "abelian" jarang terjadi karena sering dieja dengan huruf kecil a, bukan huruf besar A, yang menunjukkan betapa konsep tersebut dalam matematika modern.[12]

Lihat pula

  • Subgrup komutator – subgrup normal terkecil di mana hasil bagi adalah komutatif
  • Abelianisasi – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya
  • Grup dihedral tatanan 6 – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya, grup non-abelian terkecil
  • Grup abelian elementer – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya
  • Dualitas pontriagin – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya

Catatan

  1. ^ Jacobson 2009, p. 41
  2. ^ 2012, p. 32 Diarsipkan 2023-08-09 di Wayback Machine..
  3. ^ D. A., Galois Theory (Hoboken: John Wiley & Sons, 2004), pp. 144–145 Diarsipkan 2023-08-09 di Wayback Machine..
  4. ^ Dixon, M. R., Kurdachenko, L. A., & Subbotin, I. Y., Linear Groups: The Accent on Infinite Dimensionality (Milton Park, Abingdon-on-Thames & Oxfordshire: Taylor & Francis, 2020), pp. 49–50 Diarsipkan 2023-08-09 di Wayback Machine..
  5. ^ Rose 2012, p. 48 Diarsipkan 2023-08-09 di Wayback Machine..
  6. ^ Rose 2012, p. 79.
  7. ^ Kurzweil, H., & Stellmacher, B., The Theory of Finite Groups: An Introduction (New York, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 2004), pp. 43–54.
  8. ^ Sebagai contoh, .
  9. ^ Asumsi hitungan dalam teorema Prüfer kedua tidak dapat dihilangkan: subgrup torsi dari produk langsung dari grup siklik karena semua natural bukanlah penjumlahan langsung dari grup siklik.
  10. ^ Faith, C. C., Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra (Providence: American Mathematical Society, 2004), p. 6 Diarsipkan 2023-08-09 di Wayback Machine..
  11. ^ Lal, R., Algebra 2: Linear Algebra, Galois Theory, Representation Theory, Group Extensions and Schur Multiplier (Berlin, Heidelberg: Springer, 2017), p. 206 Diarsipkan 2023-08-09 di Wayback Machine..
  12. ^ "Abel Prize Awarded: The Mathematicians' Nobel". Diarsipkan dari versi asli tanggal 31 December 2012. Diakses tanggal 3 July 2016. 

Referensi

Pranala luar

Baca informasi lainnya:

Jandaíra Municipio MapaCoordenadas 11°33′50″S 37°47′02″O / -11.563888888889, -37.783888888889Entidad Municipio • País  Brasil • Estado Bahía • Mesorregión Nordeste Bahiano • Microrregión Entre RíosSuperficie   • Total 642.652 km²[1]​Altitud   • Media 66 m s. n. m.Población (IBGE/2010[2]​)   • Total 10 322 hab. • Densidad 14,48 hab/km²IBGE/2008[3]​  …

هذه المقالة تحتاج للمزيد من الوصلات للمقالات الأخرى للمساعدة في ترابط مقالات الموسوعة. فضلًا ساعد في تحسين هذه المقالة بإضافة وصلات إلى المقالات المتعلقة بها الموجودة في النص الحالي. (سبتمبر 2023) بيريز كوبو   بداية 2004  النوع بوب ياباني  الموقع الرسمي الموقع الرسمي 

Iran BaratPersebaranAsia Barat, Asia Tengah, Pegunungan Kaukasus, dan Asia Selatan bagian baratPenggolonganbahasaIndo-EropaIndo-IranIranIran BaratSubcabang Iran Barat Laut Iran Barat Daya Kode bahasaGlottologwest2794 Portal Bahasa L • B • PWBantuan penggunaan templat ini Rumpun bahasa Iran Barat adalah cabang dari rumpun bahasa Iran, memiliki bukti tertulis tertua pada abad ke-6 SM dalam bahasa Persia Kuno dan Media. Klasifikasi Peta penyebaran rumpun bahasa Iran modern. Rumpu…

Sirkuit Kota EURLokasiRoma, ItaliaZona waktuUTC+01:00Acara besarFormula E 2018–Panjang2.86 km (1.77 mi)Tikungan21Rekor lap1:31.016 (Jean Eric Vergne, DS Techeetah, 2019, Formula E) Sirkuit Kota EUR adalah sirkuit jalan raya yang berlokasi di Esposizione Universale Roma, Roma, Italia. Sirkuit ini digunakan untuk ePrix Roma dalam kejuaraan mobil listrik kursi tunggal, Formula E. Sirkuit ini pertama kali digunakan pada tanggal 14 April 2018 untuk Formula E musim 2018–19.[1] Tata letak S…

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (ديسمبر 2018) 1977 في الأرجنتينمعلومات عامةالسنة 1977 البلد الأرجنتين 1976 في الأرجنتين 1978 في الأرجنتين تعديل - تعديل مصدري - ت…

Bài viết này cần thêm chú thích nguồn gốc để kiểm chứng thông tin. Mời bạn giúp hoàn thiện bài viết này bằng cách bổ sung chú thích tới các nguồn đáng tin cậy. Các nội dung không có nguồn có thể bị nghi ngờ và xóa bỏ. Liên đoàn Ô tô Quốc tế (Fédération Internationale de l'Automobile hay FIA) trao giải Vô địch thế giới công thức 1 hàng năm, bắt đầu từ 1950 cho các tay đua và bắt đầu từ 19…

American drag queen Kornbread JetéKornbread Jeté at RuPaul's DragCon LA, 2022Born (1992-01-14) January 14, 1992 (age 31)Columbia, South Carolina, U.S.Other namesDemoria Elise WilliamsKornbread The Snack JeteKornbreadEducationAmerican Musical and Dramatic AcademyOccupationDrag queenTelevisionRuPaul's Drag Race (season 14) Kornbread Jeté, also known as Kornbread The Snack Jeté or simply Kornbread, is the stage name of Demoria Elise Williams (born January 14, 1992),[1] an Amer…

LengkongkulonDesaNegara IndonesiaProvinsiJawa BaratKabupatenMajalengkaKecamatanSindangwangiKode Kemendagri32.10.21.2003 Luas... km²Jumlah penduduk... jiwaKepadatan... jiwa/km² Lengkongkulon adalah desa di kecamatan Sindangwangi, Majalengka, Jawa Barat, Indonesia. Galeri Masjid Lengkongkulon lbsKecamatan Sindangwangi, Kabupaten Majalengka, Jawa BaratDesa Balagedog Bantar Agung Buahkapas Jerukleueut Lengkongkulon Lengkongwetan Leuwilaja Padaherang Sindangwangi Ujungberung Artikel bertopik k…

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Desember 2022. Liu Nian刘念Lahir02 Februari 2001 (umur 22) TiongkokNama lainNiàn Niàn (念念)Tinggi164 cm (5 ft 5 in) Liu Nian (Hanzi: 刘念; lahir 2 Februari 2001) adalah seorang penyanyi Mandopop dan idola Tiongkok yang berada …

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Februari 2023. Pinnekjøtt dengan bubur Rutabaga dan kentang. Pinnekjøtt (pengucapan Norwegia: [ˈpinːəˌçøt]) arti: daging stik/ bertangkai) adalah hidangan utama dari Norwegia yang terbuat dari bahan utama daging kambing atau daging domba muda yang dikering…

Asy-Syaikh Fadhillah KhanFatahillahFatahillah (kanan) dalam perangko keluaran tahun 2008Sultan Cirebon ke-2Masa jabatan1568–1570PendahuluSunan Gunung JatiPenggantiPanembahan Ratu I Informasi pribadiLahirFadhillah KhanTidak diketahuiSamudera Pasai[a]Meninggal1570 MCirebon, Kesultanan CirebonAgamaIslamAnak Kiai Bagus Abdurrahman Kiai Mas Abdul Aziz Ratu Darah Putih Maulana Abdullah Pangeran Sendang Garuda Orang tuaMahdar Ibrahim bin Abdul Ghafur bin Zainal Alam Barakat bin Jamaluddin Al-…

Teachers' university in Yining, Yili, Xinjiang Uyghur Autonomous Region, China Yili Normal UniversityMain Gate of Yili Normal UniversityAddress448 Jiefang Xilu, Yining, Yili, Xinjiang, ChinaInformationTypePublicMotto品正学实Established17 April 1948; 75 years ago (1948)Staff941Faculty621Number of students14,134Area1.25 square kilometersWebsitewww.ylsy.edu.cn Yili Normal University (Chinese: 伊犁师范大学; Kazakh: ىلە سىفان داشۋەىسى) is a higher norma…

В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Васильев; Васильев, Сергей; Васильев, Сергей Дмитриевич. Сергей Васильев Имя при рождении Сергей Дмитриевич Васильев Дата рождения 22 октября (4 ноября) 1900 Место рождения Москва, Российская империя Дата смер…

Indian politician This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This biography of a living person relies too much on references to primary sources. Please help by adding secondary or tertiary sources. Contentious material about living persons that is unsourced or poorly sourced must be removed immediately, especially if potentially libelous or harmful.Find sources: S. Ajaya Kumar …

County highway in New Jersey, U.S. County Route 512CR 512 highlighted in redRoute informationLength32.96 mi[1] (53.04 km)ExistedJanuary 1, 1953[2][3]–presentMajor junctionsWest end CR 513 in CalifonMajor intersections CR 517 in Tewksbury US 206 in Peapack-Gladstone US 202 in Far Hills CR 525 in Bernards Township CR 531 in Long Hill TownshipEast end Route 24 / Route 124 / CR 527 in Summit LocationCountryUnited S…

2010 single by Nicole Scherzinger PoisonSingle by Nicole Scherzingerfrom the album Killer Love ReleasedOctober 25, 2010 (2010-10-25)Recorded2010Studio Koryland (Barcelona, Spain) Solid Sound (Nice, France) Genre Dance-pop electro-rock Length3:48LabelInterscopeSongwriter(s) Nicole Scherzinger RedOne Bilal The Chef Beatgeek AJ Junior Kinnda Kee Hamid Producer(s) RedOne Beatgeek Jimmy Joker Nicole Scherzinger singles chronology Heartbeat (2010) Poison (2010) Don't Hold Your Breath (2…

Uwe Albrecht, 2016 Uwe Albrecht (* 30. August 1954 in Kiel) ist ein deutscher Kunsthistoriker. Inhaltsverzeichnis 1 Leben 2 Schriften 3 Literatur 4 Weblinks 5 Einzelnachweise Leben Uwe Albrecht studierte Kunstgeschichte, Klassische Archäologie und Ur- und Frühgeschichte an der Universität Kiel, der Universität Poitiers und der Universität Frankfurt, wo er 1982 mit einer Dissertation über französische spätmittelalterliche Schlossbaukunst zum Dr. phil. promoviert wurde. Er war zunächst wi…

1944 film by Harold D. Schuster Marine RaidersOriginal film posterDirected byHarold D. SchusterRobert Wise (additional scenes)Written byMartin RackinWarren DuffProduced byRobert FellowsStarringPat O'BrienRobert RyanRuth HusseyCinematographyNicholas MusuracaEdited byPhilip Martin Jr.Music byRoy WebbDistributed byRKORelease dateJune 30, 1944 (1944-06-30)Running time88 minutesCountryUnited StatesLanguageEnglish Marine Raiders is a 1944 RKO war film showing a fictional depiction of th…

For other uses, see True Colors. 20th episode of the 2nd season of Amphibia True ColorsAmphibia episodeTitle cardEpisode no.Season 2Episode 20Directed by Kyler Spears Jenn Strickland Written by Michele Cavin Jenava Mie Original air dateMay 22, 2021 (2021-05-22)Running time28 minutesGuest appearancesFull list Haley Tju as Marcy Wu Anna Akana as Sasha Waybright Troy Baker as Captain Grime Keith David as King Andrias Michelle Dockery as Lady Olivia Zehra Fazal as General Yunan E…

Paul Gascoigne Informasi pribadiNama lengkap Paul John GascoigneTanggal lahir 27 Mei 1967 (umur 56)Tempat lahir Dunston, Gateshead,, InggrisTinggi 5 ft 9 1⁄2 in (1.77 m)Posisi bermain Gelandang (pensiun)Karier junior1980–1985 Newcastle UnitedKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol) 1985–19881988–19921992–19951995–19981998–20002000–2002200220032004 Newcastle UnitedTottenham HotspurLazioRangersMiddlesbroughEvertonBurnleyGansu TianmaBoston UnitedTotal 092 (21)092 (19)043 0(6)074 (3…

Рейс 772 UTA Мемориал рейсу 772 Общие сведения Дата 19 сентября 1989 года Время 12:59 Характер Падение с эшелона, разрушение в воздухе Причина Террористический акт Место пустыня Тенере, в 450 км от Бильмы (Нигер) Координаты 16°51′57″ с. ш. 11°57′10″ в. д.HGЯO Погибшие 170 (все) Ранены…

2011 Chinese filmLittle Big PandaPoster熊猫总动员Directed byMichael Schoemann (Assistant) Greg ManwaringStory byJörg TensingProduced byMichael SchoemannDirk HampelEdited byMichael SchoemannProductioncompaniesChina Film Group CorporationBenchmark EntertainmentChina Film and TV ProductionChina ACG GroupU FilmBeijing KAKU Cartoon Satellite TVBeijing Yishang Media InvestmentQuidam StudiosBeijing Zhongqi Guangshi MediaDe Guo Ben Cou Yu LeAcció Studios[1]Distributed byChina Film Group C…

German handball club SC DHfK Leipzig HandballFull nameSportclub Deutsche Hochschule für Körperkultur LeipzigFounded1954; 69 years ago (1954)ArenaArena LeipzigCapacity8,000PresidentBernd MerbitzHead coachAndré HaberLeagueHandball-Bundesliga2022–2311th of 18Club colours    Home Away Website Official site SC DHfK Leipzig Handball is a German handball team from Leipzig, Germany, that plays in the Handball-Bundesliga. It was one of the strongest GDR clu…

R Северной КороныЗвезда Красным кружком показано место звезды R Северной Короны в созвездии Графики временно недоступны из-за технических проблем. История исследования Открыватель Эдуард Пиготт Дата открытия 1795 Наблюдательные данные(Эпоха J2000.0) Тип Переменная звезда Пря…

Este artículo o sección tiene referencias, pero necesita más para complementar su verificabilidad.Este aviso fue puesto el 19 de enero de 2023. Boston Red Sox Logo del equipoDatos generalesApodo(s) The Sox, The BoSox, The Olde Towne TeamDeporte BéisbolFundación 1901Historia Boston Americans1901-1907Boston Red Sox1908-presenteColores               Propietario(s) Fenway Sports GroupMánager Alex CoraInstalacionesCampo Fenway ParkUbic…

Vo-tech public high school in Newport, Delaware, United StatesDelcastle Technical High SchoolAddress1417 Newport RoadNewport, Delaware 19804United StatesCoordinates39°43′35″N 75°37′38″W / 39.7265°N 75.6271°W / 39.7265; -75.6271InformationTypeVo-tech public high schoolEstablished1969 (54 years ago) (1969)School districtNew Castle County Vocational-Technical School DistrictCEEB code080170PrincipalJustin ComegysTeaching staff127.00 (FTE) (2019-2020)…

1985 Indian filmMayuriPosterDirected bySingeetam Srinivasa RaoWritten bySingeetam Srinivasa Rao Ganesh PatroProduced byRamoji RaoStarringSudha ChandranCinematographySrihari AnumoluMusic byS. P. BalasubrahmanyamProductioncompanyUshakiran MoviesRelease date1985Running time142 minutesCountryIndiaLanguageTelugu Mayuri (transl. Peacock) is a 1985 Indian Telugu-language biographical dance film directed by Singeetam Srinivasa Rao and produced by Ramoji Rao. Based on the life of Sudha Chandran, th…

Peta Kabupaten Kolaka di Sulawesi Tenggara Berikut adalah daftar kecamatan dan kelurahan di Kabupaten Kolaka, Provinsi Sulawesi Tenggara, Indonesia. Kabupaten Kolaka terdiri dari 12 kecamatan, 35 kelurahan dan 100 desa dengan luas wilayah 3.283,59 km² dan jumlah penduduk sebesar 228.970 jiwa (2017) dengan sebaran penduduk 70 jiwa/km².[1][2] Daftar kecamatan dan kelurahan di Kabupaten Kolaka, adalah sebagai berikut: Kode Kemendagri Kecamatan Jumlah Kelurahan Jumlah Desa Status D…

  ميّز عن ظربان مخطط. اضغط هنا للاطلاع على كيفية قراءة التصنيف ظربان أمريكي مخطط   حالة الحفظ   أنواع غير مهددة أو خطر انقراض ضعيف جدا[1] المرتبة التصنيفية نوع[2]  التصنيف العلمي  فوق النطاق  حيويات مملكة عليا  حقيقيات النوى مملكة  حيوان عويلم  ث…

German academic and politician of the social-democratic SPD (1896–1979) For people with similar names, see Carl Schmidt. Carlo Schmid (1963) Carlo Schmid (right) in 1970 Carlo Schmid (3 December 1896 – 11 December 1979) was a German academic and politician of the Social Democratic Party of Germany (SPD). Schmid is one of the most important authors of both the German Basic Law and the Godesberg Program of the SPD. He was intimately involved in German-French relations and served as Federal…

Kembali kehalaman sebelumnya