Share to: share facebook share twitter share wa share telegram print page

Aljabar Boolean (struktur)

Dalam aljabar abstrak, sebuah aljabar Boolean atau kekisi Boolean adalah kelengkapan kekisi distributif. Jenis struktur aljabar ini menangkap sifat penting dari operasi himpunan dan operasi logika. Aljabar Boolean dapat dilihat sebagai generalisasi dari aljabar himpunan daya atau himpunan medan, atau elemennya dapat dilihat sebagai nilai kebenaran yang digeneralisasi. Ini juga merupakan kasus khusus dari aljabar De Morgan dan aljabar Kleene (dengan involusi).

Setiap aljabar Boolean tingkatan ke gelanggang Boolean, dan sebaliknya, dengan perkalian gelanggang yang sesuai dengan konjungsi atau pertemuan ∧, dan penambahan gelanggang ke disjungsi eksklusif atau perbedaan simetris (bukan disjungsi ∨). Namun, teori gelanggang Boolean memiliki asimetri yang melekat antara dua operator, sedangkan aksioma dan teorema aljabar Boolean menyatakan simetri teori yang dijelaskan oleh prinsip dualitas.[1]

Kekisi Boolean pada himpunan bagian

Sejarah

Istilah "aljabar Boolean" sebagai tanda jasa oleh George Boole (1815–1864), seorang matematikawan Inggris yang belajar sendiri. Ia memperkenalkan sistem aljabar awalnya dalam pamflet kecil dengan buku The Mathematical Analysis of Logic, diterbitkan pada tahun 1847 sebagai tanggapan atas kontroversi publik yang sedang berlangsung diantara Augustus De Morgan dan William Hamilton, dan kemudian sebagai buku yang lebih substansial, buku The Laws of Thought, diterbitkan pada tahun 1854. Rumus Boole berbeda dari yang dijelaskan di atas dalam beberapa hal penting. Misalnya, konjungsi dan disjungsi dalam Boole bukanlah operasi sepasang ganda. Aljabar Boolean muncul pada tahun 1860-an, dalam makalah yang ditulis oleh William Jevons dan Charles Sanders Peirce. Presentasi sistematis pertama dari aljabar Boolean dan kekisi distributif adalah berkat "Vorlesungen" 1890 dari Ernst Schröder. Perlakuan ekstensif pertama kali dari aljabar Boolean dalam bahasa Inggris adalah A. N. Whitehead 1898 Aljabar Universal. Aljabar Boolean sebagai struktur aljabar aksiomatik dalam pengertian aksiomatik modern dimulai dengan makalah tahun 1904 oleh Edward V. Huntington. Aljabar Boolean muncul sebagai matematika dengan karya Marshall Stone pada 1930-an, dan dengan Garrett Birkhoff 1940 yang memperkenalkan Teori Kekisi. Pada tahun 1960-an, Paul Cohen, Dana Scott, dan lainnya menemukan hasil baru yang mendalam dalam logika matematika dan teori himpunan aksiomatik menggunakan cabang aljabar Boolean, yaitu paksaan dan model kenilaian Boolean.

Definisi

Sebuah aljabar Boolean adalah enam-tupel yang terdiri dari himpunan A, dilengkapi dengan dua operasi biner ∧ (disebut "pertemuan" atau "dan"), ∨ (disebut "sambungan" atau "atau"), sebuah operasi uner ¬ (disebut "kelengkapan" atau "bukan") dan dua elemen 0 dan 1 di A (disebut elemen "bawah" dan "atas", atau "terkecil" dan "terbesar", yang dilambangkan dengan simbol ⊥ dan ⊤), sehingga untuk semua elemen a, b dan c dari A, aksioma berikut ini berlaku:[2]

a ∨ (bc) = (ab) ∨ c a ∧ (bc) = (ab) ∧ c asosiatif
ab = ba ab = ba komutatifitas
a ∨ (ab) = a a ∧ (ab) = a serapan
a ∨ 0 = a a ∧ 1 = a identitas
a ∨ (bc) = (ab) ∧ (ac)   a ∧ (bc) = (ab) ∨ (ac)   distribusitif
a ∨ ¬a = 1 a ∧ ¬a = 0 kelengkapan

Perhatikan, pada hukum serapan dan bahkan hukum asosiatif dapat dikeluarkan dari himpunan aksioma karena mereka dapat diturunkan dari aksioma lainnya (lihat Sifat pembuktian).

Aljabar Boolean dengan hanya satu elemen disebut aljabar Boolean trivial atau aljabar Boolean degenerasi (catatan: dalam karya-karya yang lebih tua, beberapa penulis mengharuskan 0 dan 1 menjadi elemen "berbeda" untuk mengecualikan kasus ini).[butuh rujukan]

Ini mengikuti dari tiga pasang aksioma terakhir di atas (identitas, distributif dan komplemen), atau dari aksioma penyerapan, bahwa

a = ba     jika dan hanya jika     ab = b.

Relasi ≤ yang didefinisikan oleh ab jika kondisi ekuivalen ini berlaku, adalah urutan parsial dengan elemen terkecil 0 dan elemen terbesar 1. Pertemuan ab dan sambungan ab dari dua elemen bertepatan dengan infimum dan supremum yang sehubungan dengan ≤.

Empat pasang aksioma pertama merupakan definisi dari kekisi terbatas.

Dari lima pasang aksioma pertama, setiap komplemen adalah unik.

Himpunan aksioma adalah hasil ganda dalam arti bahwa jika seseorang bertukar ∨ dengan ∧ dan 0 dengan 1 dalam aksioma yang hasilnya adalah aksioma. Oleh karena itu, dengan menerapkan operasi ini ke aljabar Boolean (atau kekisi Boolean), satu memperoleh aljabar Boolean lain dengan elemen yang sama; yang disebut juga sebagai dual.[3]

Contoh

  • Aljabar Boolean non-trivial sederhana, dan aljabar Boolean dua elemen hanya memiliki dua elemen 0 dan 1, dan didefinisikan oleh aturan:
0 1
0 0 0
1 0 1
0 1
0 0 1
1 1 1
a 0 1
¬a 1 0
  • Ini memiliki aplikasi dalam logika, menafsirkan 0 sebagai salah, 1 sebagai benar, ∧ sebagai dan, ∨ sebagai atau, dan ¬ sebagai bukan. Ekspresi yang melibatkan variabel dan operasi Boolean mewakili bentuk pernyataan, dan dua ekspresi tersebut dapat ditunjukkan sama dengan menggunakan aksioma di atas jika dan hanya jika bentuk pernyataan yang sesuai adalah ekuivalen secara logi5.
  • Aljabar Boolean dua elemen juga digunakan untuk desain sirkuit di teknik elektro;[catatan 1] disini 0 dan 1 mewakili dua status berbeda dari satu bit dalam sirkuit digital, biasanya tegangan tinggi dan rendah. Sirkuit dijelaskan oleh ekspresi yang mengandung variabel, dan dua ekspresi tersebut sama untuk semua nilai variabel jika dan hanya jika sirkuit yang sesuai memiliki perilaku input-output yang sama. Selanjutnya, setiap perilaku input-output yang mungkin dimodelkan dengan ekspresi Boolean.
  • Aljabar Boolean dua elemen juga penting dalam teori umum aljabar Boolean, karena persamaan yang melibatkan beberapa variabel umumnya benar dalam semua aljabar Boolean jika dan hanya jika benar dalam aljabar Boolean dua elemen (apabila memeriksa dengan algoritma paksa brute trivial untuk sejumlah kecil variabel). Ini misalnya dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa hukum berikut (Teorema konsensus) umumnya berlaku di semua aljabar Boolean:
    • (ab) ∧ (¬ac) ∧ (bc) ≡ (ab) ∧ (¬ac)
    • (ab) ∨ (¬ac) ∨ (bc) ≡ (ab) ∨ (¬ac)
  • Himpunan daya (himpunan dari semua himpunan bagian) dari himpunan tak kosong S dalam bentuk aljabar Boolean, sebuah aljabar himpunan, dengan dua operasi ∨ := ∪ (gabungan) and ∧ := ∩ (persimpangan/irisan). Elemen terkecil 0 adalah himpunan kosong dan elemen terbesar 1 adalah himpunan S sendiri.
  • Setelah aljabar Boolean dua elemen, aljabar Boolean sederhana adalah yang didefinisikan oleh himpunan daya dari dua atom:
0 a b 1
0 0 0 0 0
a 0 a 0 a
b 0 0 b b
1 0 a b 1
0 a b 1
0 0 a b 1
a a a 1 1
b b 1 b 1
1 1 1 1 1
x 0 a b 1
¬x 1 b a 0
  • Himpunan (dari semua himpunan bagian) dari S hingga atau kofinit adalah aljabar Boolean, sebuah aljabar himpunan.
  • Dimulai dengan kalkulus proposisional dengan simbol kalimat κ, bentuk aljabar Lindenbaum (yaitu, himpunan kalimat dalam modulo kalkulus proposisional ekuivalen logika). Konstruksi ini menghasilkan sebagai aljabar Boolean. Sebenarnya aljabar Boolean bebas adalah generator. Penugasan kebenaran dalam kalkulus proposisi adalah homomorfisme aljabar Boolean dari aljabar ini ke aljabar Boolean dua elemen.
  • Diberikan setiap urutan linearitas pada himpunan L dengan elemen terkecil, aljabar interval adalah aljabar terkecil dari himpunan bagian L yang berisi semua interval setengah terbuka [a, b) sehingga a apabila L dan b adalah L atau sama dengan ∞. Aljabar interval berguna dalam mempelajari aljabar Lindenbaum–Tarski; setiap aljabar Boolean yang dapat dihitung adalah isomorfik terhadap aljabar interval.
Diagram Hasse dari aljabar Boolean dari pembagi 30.
  • Untuk sembarang bilangan asli n, himpunan semua pembagian positif dari n, mendefinisikan ab jika a membagi b, dalam bentuk kekisi distributif. Kekisi ini adalah aljabar Boolean jika dan hanya jika n adalah persegi bebas. Elemen bawah dan elemen atas aljabar Boolean ini masing-masing adalah bilangan asli 1 dan n. Kekomplemen dari a diberikan oleh n/a. Pertemuan dan sambungan dari a dan b diberikan oleh faktor persekutuan terbesar (fpb) dan kelipatan persekutuan terkecil (kpt) dari a dan b. Penambahan gelanggang a+b diberikan oleh fpb(a,b)/kpt(a,b). Citra menunjukkan contoh untuk n = 30. Sebagai contoh tandingan, dengan mempertimbangkan non-persegi-bebas n=60, faktor persekutuan terbesar dari 30 dan komplemennya 2 adalah 2, sementara itu harus menjadi elemen terbawah 1.
  • Contoh lain dari aljabar Boolean muncul dari ruang topologi: jika X adalah ruang topologi, maka kumpulan semua himpunan bagian X maupun terbuka dan tertutup dalam bentuk aljabar Boolean dengan operasi ∨ := ∪ (gabungan) dan ∧ := ∩ (persimpangan/irisan).
  • Jika R adalah gelanggang sebarang dan kami mendefinisikan himpunan idempoten sentral dengan
    A = { eR : e2 = e, ex = xe, ∀xR }
    maka himpunan A sebagai aljabar Boolean dengan operasi ef := e + f - ef dan ef := ef.

Homomorfisme dan isomorfisme

Sebuah homomorfisme antara dua aljabar Boolean A dan B adalah fungsi f : AB sedemikian rupa sehingga untuk semua a, b di A:

f(ab) = f(a) ∨ f(b),
f(ab) = f(a) ∧ f(b),
f(0) = 0,
f(1) = 1.

Maka mengikuti bahwa f a) = ¬f(a) untuk semua a di A. kelas dari semua aljabar Boolean, bersama dengan gagasan morfisme ini, dalam bentuk subkategori penuh dari kekisi kategori.

Sebuah isomorfisme antara dua aljabar Boolean A dan B adalah homomorfisme f : AB dengan homomorfisme invers, yaitu homomorfisme g : BA sedemikian rupa sehingga komposisi gf: AA adalah fungsi identitas pada A, dan komposisi fg: BB adalah fungsi identitas pada B. Homomorfisme aljabar Boolean adalah isomorfisme jika dan hanya jika bijektif.

Gelanggang Boolean

Setiap aljabar Boolean (A, ∧, ∨) diberikan gelanggang (A, +, ·) dengan mendefinisikan a + b := (a ∧ ¬b) ∨ (b ∧ ¬a) = (ab) ∧ ¬(ab) (operasi ini disebut perbedaan simetris dalam kasus himpunan dan XOR dalam kasus logika) dan a · b := ab). Elemen nol dari gelanggang ini bertepatan dengan 0 dari aljabar Boolean; elemen identitas perkalian dari gelanggang adalah 1 dari aljabar Boolean. Gelanggang ini memiliki sifat bahwa a · a = a untuk semua a di A; gelanggang dengan sifat ini disebut gelanggang Boolean.

Sebaliknya, jika diberikan gelanggang Boolean A, kita dapat mengubahnya menjadi aljabar Boolean dengan mendefinisikan xy := x + y + (x · y) dan xy := x · y.[4][5] Karena kedua konstruksi ini adalah invers, apabila setiap gelanggang Boolean sebagai dari aljabar Boolean, dan sebaliknya. Selanjutnya, peta f : AB adalah homomorfisme aljabar Boolean jika dan hanya jika itu adalah homomorfisme gelanggang Boolean. Kategori gelanggang Boolean dan aljabar Boolean adalah ekuivalen.[6]

Hsiang (1985) memberikan algoritma berbasis aturan ke pemeriksaan apakah dua ekspresi sebarang menunjukkan nilai yang sama di setiap gelanggang Boolean. Secara umum, Boudet, Jouannaud, dan Schmidt-Schauß (1989) diberikan algoritma untuk menyelesaikan persamaan antara ekspresi gelanggang Boolean berubah. Menggunakan kesamaan gelanggang Boolean dan aljabar Boolean, kedua algoritma memiliki aplikasi dalam pembuktian teorema otomatis.

Ideal dan filter

Sebuah ideal dari aljabar Boolean A adalah himpunan bagian I sehingga untuk semua x, y di I maka memiliki xy di I dan untuk semua a di A maka memiliki ax di I. Gagasan ideal ini bertepatan dengan gagasan ranah gelanggang dalam gelanggang Boolean A. Sebuah ideal I dari A disebut juga prima jika IA dan jika ab in I selalu menyiratkan a di A atau b di A. Selanjutnya, untuk setiap aA memiliki a itu ∧ -a = 0 ∈ I dan maka aI atau -aI untuk setiap aA, jika A adalah bilangan prima. Sebuah I ideal dari A disebut juga maksimal jika I''A dan jika satu-satunya ideal I adalah A. Untuk "I" yang ideal, jika aI dan -aI, maka I ∪ {a} or I ∪ {-a} yang terkandung dalam ideal lain J. Oleh karena itu, bahwa "I" tak maksimal dan oleh karena itu gagasan tentang ideal prima dan ideal maksimal setara dalam aljabar Boolean. Selain itu, gagasan ini bertepatan dengan teori gelanggang ranah prima dan ranah maksimal dalam gelanggang Boolean A.

Kesamaan dari ideal adalah filter. Sebuah filter dari aljabar Boolean A adalah himpunan bagian p sehingga untuk semua x, y di p memiliki xy di p dan untuk semua a di A kami memiliki ax di p. Ganda dari maksimal (atau prima) ideal dalam aljabar Boolean adalah ultrafilter. Ultrafilter sebagai alternatif dapat digambarkan sebagai morfisme nilai-2 dari A ke aljabar Boolean dua elemen. Pernyataan setiap filter dalam aljabar Boolean apabila diperluas ke ultrafilter disebut teorema ultrafilter dan tidak dapat dibuktikan dalam ZF, jika ZF adalah konsisten. Teorema ultrafilter memiliki banyak rumus ekuivalen: setiap aljabar Boolean memiliki ultrafilter, setiap ranah dalam aljabar Boolean apabila diperluas ke ranah prima, dll.

Wakilan

Dapat ditunjukkan bahwa setiap aljabar Boolean hingga adalah isomorfik terhadap aljabar Boolean dari semua himpunan bagian dari himpunan hingga. Oleh karena itu, jumlah elemen dari setiap aljabar Boolean hingga adalah pangkat dua.

Stone's merayakan teorema wakilan untuk aljabar Boolean menyatakan bahwa setiap aljabar Boolean A isomorfik dengan aljabar Boolean dari semua himpunan tertutup di beberapa (kompak urutan terputus Hausdorff.

Aksiomatik

Aksiomatisasi pertama kekisi/aljabar Boolean secara umum diberikan oleh filsuf dan matematikawan Inggris Alfred North Whitehead pada tahun 1898.[7][8] Itu termasuk di atas aksioma dan tambahan x∨1=1 dan x∧0=0. Pada tahun 1904, matematikawan Amerika Edward V. Huntington (1874–1952) memberikan aksiomatisasi yang pelit berdasarkan ∧, ∨, ¬, bahkan membuktikan hukum asosiatif (lihat kotak).[9] Ia juga membuktikan bahwa aksioma-aksioma ini independen satu sama lain.[10] Pada tahun 1933, Huntington menetapkan aksiomatisasi elegan berikut untuk aljabar Boolean.[11] Ini hanya membutuhkan satu operasi biner + dan simbol fungsional uner n, untuk dibaca sebagai 'kelengkapan', yang memenuhi hukum berikut:

  1. Komutatif: x + y = y + x.
  2. Asosiatif: (x + y) + z = x + (y + z).
  3. PERSAMAAN Huntington: n(n(x) + y) + n(n(x) + n(y)) = x.

Herbert Robbins segera bertanya: Jika persamaan Huntington diganti dengan dualnya, yaitu:

4. Persamaan Robbins: n(n(x + y) + n(x + n(y))) = x,

apakah (1), (2), dan (4) dalam bentuk basis untuk aljabar Boolean? Menyebut (1), (2), dan (4) sebuah Aljabar Robbins, pertanyaannya kemudian menjadi: Apakah setiap aljabar Robbins merupakan aljabar Boolean? Pertanyaan ini (yang kemudian dikenal sebagai konjektur Robbins) tetap terbuka selama beberapa dekade, dan menjadi pertanyaan favorit Alfred Tarski dan murid-muridnya. Pada tahun 1996, William McCune di Laboratorium Nasional Argonne, berdasarkan pekerjaan sebelumnya oleh Larry Wos, Steve Winker, dan Bob Veroff, menjawab pertanyaan Robbins dengan tegas: Setiap aljabar Robbins adalah aljabar Boolean. Penting bagi bukti McCune adalah program penalaran otomatis EQP yang dia rancang. Untuk penyederhanaan bukti McCune, lihat Dahn (1998).

Pekerjaan lebih lanjut telah dilakukan untuk mengurangi jumlah aksioma; lihat Aksioma minimal untuk aljabar Boolean.

Generalisasi

Menghapus persyaratan keberadaan unit dari aksioma aljabar Boolean menghasilkan "aljabar Boolean umum". Secara formal, kekisi distributif B adalah kekisi Boolean umum, jika memiliki elemen terkecil 0 dan untuk setiap elemen a dan b di B sehingga ab, apabila terdapat elemen x sehingga a ∧ x = 0 dan a ∨ x = b. Mendefinisikan a ∖ b sebagai unik x sehingga (a ∧ b) ∨ x = a dan (a ∧ b) ∧ x = 0, maka katakan bahwa struktur (B,∧,∨,∖,0) adalah "aljabar Boolean umum", sedangkan (B,∨,0) adalah Boolean umum semikekisi. Kekisi Boolean umum adalah ranah dari kekisi Boolean.

Struktur yang memenuhi semua aksioma aljabar Boolean kecuali dua aksioma distributif disebut kekisi ortokomplemenkan. Ortokomplemenkan muncul secara asli dalam logika kuantum sebagai kekisi subruang tertutup untuk ruang Hilbert yang dipisahkan.

Lihat pula

Catatan

  1. ^ Sebenarnya, insinyur listrik cenderung menggunakan status tambahan untuk mewakili kondisi sirkuit lain seperti impedansi tinggi—lihat IEEE 1164 atau IEEE 1364.

Referensi

  1. ^ Givant & Halmos 2009, hlm. 20.
  2. ^ Davey & Priestley 1990, hlm. 109, 131, 144.
  3. ^ Goodstein 2012, hlm. 21ff.
  4. ^ Stone 1936.
  5. ^ Hsiang 1985, hlm. 260.
  6. ^ Cohn 2003, hlm. 81.
  7. ^ Padmanabhan & Rudeanu 2008, hlm. 73.
  8. ^ Whitehead 1898, hlm. 37.
  9. ^ Huntington 1904, hlm. 292-293.
  10. ^ Huntington 1904, hlm. 296.
  11. ^ Huntington 1933a.

Kutipan

Referensi umum

Templat:Insufficient inline citations

  • Brown, Stephen; Vranesic, Zvonko (2002), Fundamentals of Digital Logic with VHDL Design (edisi ke-2nd), McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-249938-4 . See Section 2.5.
  • Boudet, A.; Jouannaud, J.P.; Schmidt-Schauß, M. (1989). "Unification in Boolean Rings and Abelian Groups". Journal of Symbolic Computation. 8 (5): 449–477. doi:10.1016/s0747-7171(89)80054-9. 
  • Cori, Rene; Lascar, Daniel (2000), Mathematical Logic: A Course with Exercises, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850048-3 . See Chapter 2.
  • Dahn, B. I. (1998), "Robbins Algebras are Boolean: A Revision of McCune's Computer-Generated Solution of the Robbins Problem", Journal of Algebra, 208 (2): 526–532, doi:10.1006/jabr.1998.7467 .

Pranala luar

Baca informasi lainnya:

Marriage RecordsFounded2001 (2001)FounderCurtis KnappAdrian OrangeDistributor(s)Nail, Southern Records, Chicago Independent, Revolver, The BusinessGenreIndie, experimental, electronic, freak folk, alt folkCountry of originU.S.LocationPortland, Oregon, Los AngelesOfficial websitewww.marriagerecs.com Marriage Records is a small, independent record label formed in Portland, Oregon. It was founded in 2001 by Curtis Knapp and Adrian Orange. The label has released a number of albums by musicians …

Prostate cancer treatment BicalutamideClinical dataPronunciationBicalutamide:• /ˌbaɪkəˈluːtəmaɪd/[1]• BY-kə-LOO-tə-myde[1] Trade namesCasodex, Calutex, othersOther namesICI-176,334; ZD-176,334AHFS/Drugs.comMonographMedlinePlusa697047License data US DailyMed: Bicalutamide US FDA: Bicalutamide Pregnancycategory AU: D Routes ofadministrationBy mouth[2]Drug classNonsteroidal antiandrogenATC codeL02BB03 (WHO) Legal statusLeg…

Scorzonera hispanicaescorcioneira Escorcioneira Classificação científica Reino: Plantae Divisão: Spermatophyta Clado: eudicotiledóneas Ordem: Asterales Família: Asteraceae Género: Scorzonera Espécie: S. hispanica Nome binomial Scorzonera hispanicaL. A Scorzonera hispanica L., conhecida pelo nome comum de escorcioneira, é uma planta perene do género Scorzonera na família do girassol (Asteraceae), indígena do sul e centro da Europa e é cultivada como uma raiz comestível. Raízes de e…

?Пічкур коротковусий Охоронний статус Найменший ризик (МСОП 3.1) Біологічна класифікація Домен: Ядерні (Eukaryota) Царство: Тварини (Animalia) Підцарство: Справжні багатоклітинні (Eumetazoa) Тип: Хордові (Chordata) Підтип: Черепні (Craniata) Надклас: Щелепні (Gnathostomata) Клас: Променепері&…

Bupati MesujiLambang Kabupaten MesujiPetahanaSulpakarsejak 22 Mei 2022KediamanPendapa Kabupaten MesujiMasa jabatan5 tahunDibentuk2009Pejabat pertamaHusodo HadiSitus webmesujikab.go.id Berikut ini adalah Daftar Bupati Mesuji dari masa ke masa. No Bupati Mulai Jabatan Akhir Jabatan Prd. Ket. Wakil Bupati 1 Drh.Husodo Hadi 3 April 2009 24 Oktober 2009 1 [Ket. 1][1] 2 Ruswandi Hasan 24 Oktober 2009 13 Juli 2011 2 [Ket. 2][2] 3 Albar Hasan Tanjung 13 Juli 2011 13 …

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (سبتمبر 2022) إسحاق فولورونسو أديول   معلومات شخصية الميلاد 5 مايو 1954 (69 سنة)  مواطنة نيجيريا  مناصب نائب رئيس   في المنصب1 ديسمبر 2010  – 30 نوفمبر 2015  في جامعة إب…

General der Infanterie Wöhler (links) mit Generaloberst Ferdinand Schörner bei einer Lagebesprechung, 11. April 1944 in Barlad, Rumänien Otto Wöhler (* 12. Juli 1894 in Großburgwedel; † 5. Februar 1987 ebenda) war ein deutscher General der Infanterie, der im Zweiten Weltkrieg in verschiedenen Positionen Generalstabsoffizier und zuletzt Oberbefehlshaber der 8. Armee und dann der Heeresgruppe Süd war. 1948 wurde er im Nürnberger OKW-Prozess wegen Kriegsverbrechen und Verbrechen gegen die …

Natural history museum at the University of Wisconsin-Madison This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: UW–Madison Geology Museum – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (October 2023) (Learn how and when to remove this template message) UW–Madison Geology MuseumCoordinates43°04′14″N 89°24…

SuperclásicoBoca JuniorsRiver Plate Datos generalesPaís  ArgentinaEquiposinvolucrados Club Atlético Boca JuniorsClub Atlético River PlateFundaciones Boca Juniors3 de abril de 1905 (118 años) River Plate25 de mayo de 1901 (122 años)EstadísticasPartidos oficiales 260Historial Boca Juniors (91) Empates (83) River Plate (86)Primer partido 24 de agosto de 1913Boca Juniors 1:2 River PlateÚltimo partido 1 de octubre de 2023Boca Juniors 0:2 River PlateRécordsMayor goleadade River…

Peacekeeping unit of the Russian army 15th Separate Guards Motorized Rifle BrigadeRussian: 15-я отдельная гвардейская мотострелковая бригадаShoulder sleeve insigniaActive1 February 2005–PresentCountry RussiaBranch Russian Ground ForcesTypeMechanized infantry (peacekeeping)SizeBrigadePart of2nd Guards Combined Arms Army, Central Military DistrictGarrison/HQRoshchinsky, Volzhsky District, Samara OblastEquipmentTorn-MDM radio intelligence s…

Espresso machine/coffee capsule system This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article's lead section may be too short to adequately summarize the key points. Please consider expanding the lead to provide an accessible overview of all important aspects of the article. (February 2016) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by ad…

Dekanat Łódź-Teofilów-Żubardź Państwo  Polska Siedziba parafia Miłosierdzia Bożego Archidiecezja łódzka Dziekan ks. Jarosław Kaliński Wicedziekan ks. Marek Pluta Ojciec duchowny o. Hieronim Skrzypek CP Dane statystyczne Liczba parafii 7 Dekanat Łódź-Teofilów-Żubardź – dekanat należący do archidiecezji łódzkiej. Został stworzony z połączenia dekanatów Łódź-Teofilów i zlikwidowanego dekanatu Łódź-Żubardź[1]. Nazwa dekanatu pochodzi od łódzkich osiedli …

Indian Bengali Soap Opera SreemoyeeGenreDrama Romance FamilyScreenplay byLeena GangopadhyayStory byLeena GangopadhyayDirected bySaibal Banerjee Diganta SinhaCreative directorLeena GangopadhyayStarringIndrani Haldar Tota Roy Chowdhury Sudip Mukherjee Ushasie Chakraborty Saptarshi Maulik Roosha Chatterjee Aishi Bhattacharya Arnab BanerjeeTheme music composerDebojyoti MishraOpening themeSreemoyee by AnweshaaCountry of originIndiaOriginal languageBengaliNo. of seasons1No. of episodes834ProductionExe…

Genus of flies Diasemopsis Stalk-eyed fly (Diasemopsis sp.) Scientific classification Kingdom: Animalia Phylum: Arthropoda Class: Insecta Order: Diptera Family: Diopsidae Subfamily: Diopsinae Genus: DiasemopsisRondani, 1875 Type species Diopsis aethiopicaRondani, 1873 Synonyms Chaetodiopsis Séguy, 1955 Diasemopsis is a genus of stalk-eyed flies in the family Diopsidae. They are known from sub-Saharan Africa.[1] Species D. aethiopica (Rondani, 1873) D. albifacies Curran, 1931 (Central Af…

明愛張奧偉國際賓館 明愛張奧偉國際賓館(Caritas Oswald Cheung International House),為香港的一間三星級酒店,位處於香港島香港仔田灣田灣街20號,酒店於2006年10月開幕,共提供119間客房,由香港明愛管理。 命名 是以紀念已故的張奧偉爵士(1922年-2003年)而命名,以感謝張奧偉爵士家人慷慨捐助予香港明愛,使賓館的建設工程得以順利完成。 酒店設施 咖啡廳 會議室 祈禱室 公…

Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.Cari sumber: 6 Starz – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR 6 StarzAsalJakarta, IndonesiaGenrePopTahun aktif2010–SekarangLabelNagaswaraMantan anggotaGlowLennyPriscilMeganCindyBabyEqynJessicaYoana 6 Starz …

For other films with similar titles, see Toofan (disambiguation). 1989 Hindi film directed by Ketan Desai ToofanTheatrical poster designed by ChandrakantDirected byKetan DesaiWritten bySalim KhanK.K. ShuklaProduced byManmohan DesaiStarringAmitabh BachchanMeenakshi SheshadriAmrita SinghPranCinematographyPeter PereiraEdited byRaju KapadiaMangal MistryMusic byAnu MalikDistributed byM.K.D. Films CombineRelease date 11 August 1989 (1989-08-11) Running time176 minutesCountryIndiaLanguag…

Shafa Asrama Hogwarts|Gryffindor Tiga Tokoh Sentral (Trio Emas) Harry Potter Ronald Weasley Hermione Granger Satu Angkatan Dengan Harry Clay Canicie anggota Laskar Dumbledore, Auror Neville Longbottom anggota Laskar Dumbledore, Guru Herbologi Hogwarts pada masa depan, suami Hannah Abbott Lavender Brown anggota Laskar Dumbledore, menghadiri pesta dansa Yule Ball bersama Seamus Finnigan, sempat menjadi pacar Ron Weasley di buku keenam Seamus Finnigan anggota Laskar Dumbledore Parvati Patil anggota…

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Desember 2022. Scirtothrips dorsalis TaksonomiKerajaanAnimaliaFilumArthropodaKelasInsectaOrdoThysanopteraFamiliThripidaeGenusScirtothripsSpesiesScirtothrips dorsalis J. Douglas Hood, 1919 lbs Scritothrips dorsalis adalah hama yang menyerang berbagai jenis tanaman sayur…

Building in Gatehouse of Fleet, Dumfries & GallowayCally PalaceGeneral informationLocationGatehouse of Fleet, Dumfries & GallowayCompleted1763Opened1934OwnerMcMillan HotelsDesign and constructionArchitect(s)Robert MylneDeveloperJames Murray of BroughtonOther informationNumber of rooms56Websitecallypalace.co.uk Cally Palace, formerly known as Cally House, is an 18th-century country house in the historical county of Kirkcudbrightshire in Dumfries and Galloway, south-west Scotland. The hous…

Dives in misericordiaLatin: Kaya dalam Kemurahan HatiSurat ensiklik dari Paus Yohanes Paulus II Tanggal30 November 1980ArgumenTentang Kerahiman IlahiNomor ensiklik2 dari 14 dari kepausanNaskahDalam LatinDalam bahasa Inggris←Redemptor hominis Laborem exercens→ Dives in Misericordia (Bahasa Latin untuk Kaya dalam Kemurahan Hati) adalah nama dari ensiklik kedua yang ditulis oleh Paus Yohanes Paulus II. Ensiklik ini merupakan sebuah pengamatan teologis yang mendalam atas peran kemurahan hati - b…

American judge (born 1960) Greg G. GuidryJudge of the United States District Court for the Eastern District of LouisianaIncumbentAssumed office June 21, 2019Appointed byDonald TrumpPreceded byKurt D. EngelhardtAssociate Justice of the Louisiana Supreme CourtIn officeJanuary 1, 2009 – June 21, 2019Succeeded byWilliam J. Crain Personal detailsBornGreg Gerard GuidryJuly 1960 (age 63)Jefferson, Louisiana, U.S.Political partyRepublicanEducationLouisiana State University (BA, …

Australian radio and television presenter For the Kuwaiti footballer, see Waleed Ali. Waleed AlyAly in 2010Born (1978-08-15) 15 August 1978 (age 45)Melbourne, Victoria, AustraliaNationalityAustralianEducationWesley CollegeAlma materUniversity of MelbourneMonash UniversityOccupation(s)Author, journalist, newspaper columnist, radio and television presenter, lawyer, academic, guitarist, songwriterYears active1996–presentTelevisionThe ProjectSpouse Susan Carland ​(m.&#…

2020 studio album by LeadSingularityStudio album by LeadReleasedMarch 18, 2020Recorded2019-2020GenreHip hop, pop, R&B, danceLabelPony CanyonCD (PCCA-4903)CD+DVD (PCCA-04901)2CD+Booklet (PCCA-04902)Lead chronology Milestone(2018) Singularity(2020) Joy Joy Home Mix(2020) Singles from Singularity Be the NakedReleased: January 30, 2019 Summer VacationReleased: July 24, 2019 Hide and Seek/Sunset RefrainReleased: February 17, 2020 Singularity (stylized as SINGULARITY) is the ninth studio a…

French association football team This article is about the association football club. For the rugby union club, see US Colomiers. Football clubUS ColomiersFull nameUnion Sportive Colomiers FootballFounded1932[1]GroundStade Bertrand Andrieux,ColomiersChairmanPatrick DelacroixManagerPatrice MaurelLeagueNational 3 Group B2022–23National 3 Group H, 8thWebsiteClub website Home colours Away colours Union Sportive Colomiers Football, more commonly known as US Colomiers, is a French associatio…

University in Haryana, India Kurukshetra UniversityMottoयोगस्थः कुरु कर्माणिTypeEducation and ResearchEstablished1956 (1956)ChancellorGovernor of HaryanaVice-ChancellorProf.(Dr.) Som Nath Sachdeva[1]LocationKurukshetra, Haryana, India29°57′28″N 76°48′57″E / 29.957691°N 76.815848°E / 29.957691; 76.815848CampusUrbanAffiliationsUGC, NAACWebsitewww.kuk.ac.in Kurukshetra University, Kurukshetra (KUK) is a university …

Gaio Melisso Mecenate (in latino: Gaius Melissus Maecenas; Spoleto, I secolo a.C. circa – I secolo circa) è stato un commediografo, bibliotecario e poeta romano. Indice 1 Biografia 2 Note 3 Voci correlate 4 Altri progetti 5 Collegamenti esterni Biografia Fu uno schiavo, amico di Gaio Cilnio Mecenate e da lui liberato. Abbandonato dai genitori, gli fu imposto, come si usava per i servi, un nome greco (Melisso) accanto al nome latino (Caio). Fu educato nelle lettere dai suoi genitori adottivi c…

Flora FinchPotret pada kartu pos, sekitar tahun 1916Lahir(1867-06-17)17 Juni 1867London, InggrisMeninggal4 Januari 1940(1940-01-04) (umur 72)Los Angeles, CaliforniaPekerjaanAktrisTahun aktif1908–1939Suami/istriHarold March (?–?) Flora Finch (17 Juni 1867 – 4 Januari 1940) adalah seorang pemeran film, panggung dan vaudevillian kelahiran Inggris yang tampil dalam lebih dari 300 film bisu, termasuk lebih dari 200 film untuk perusahaan film Vitagraph Studios. Sayangnya,…

Genus of succulents Sedella Sedella pumila Scientific classification Kingdom: Plantae Clade: Tracheophytes Clade: Angiosperms Clade: Eudicots Order: Saxifragales Family: Crassulaceae Subfamily: Sempervivoideae Tribe: Sedeae Genus: SedellaBritton & Rose Type species Sedella pumila Species See text Sedella (formerly Parvisedum) is a small genus of annual flowering plants in the family Crassulaceae. There are approximately 7 species,[1] all native to California, United States, one with …

Kembali kehalaman sebelumnya