Grup hasil bagi

Sebuah kohimpunan dengan akar uniti

Grup hasil bagi adalah grup, yang menggunakan konstruksi standar dari grup tertentu ${\displaystyle G}$ dengan bantuan sebagai pembagi normal ${\displaystyle N\trianglelefteq G}$ terbentuk. Maka dilambangkan dengan ${\displaystyle G/N}$ dan merupakan himpunan dari kelas minor.

Konstruksi

Elemen-elemen dari ${\displaystyle G/N}$ adalah kelas minor sehubungan dengan ${\displaystyle N}$, maka

${\displaystyle G/N:=\{gN:g\in G\}}$.

Koneksi batin ${\displaystyle \circ \colon G/N\times G/N\rightarrow G/N}$ didefinisikan sebagai:

${\displaystyle (gN)\circ (hN):=(gh)N}$.

Dengan bantuan properti pembagi normal ${\displaystyle N}$ seseorang dapat menunjukkan bahwa tautan ini adalah terdefinisi dengan baik dan ${\displaystyle (G/N,\ circ)}$ adalah grup. Grup ini disebut grup hasil bagi dari ${\displaystyle G}$ hingga ${\displaystyle N}$. Elemen netral dari ${\displaystyle G/N}$ adalah ${\displaystyle N}$ dan elemen terbalik ke ${\displaystyle gN}$ diberikan ${\displaystyle g^{-1}N}$.

Produk ${\displaystyle (gN)\circ (hN)=(gh)N}$ setuju dengan produk kompleks ${\displaystyle (gN)\cdot (hN)}$ pertandingan. Sebaliknya, seseorang dapat menunjukkan bahwa subgrup ${\displaystyle U}$ dari sebuah grup ${\displaystyle (G,\cdot )}$ adalah pembagi normal, jika untuk semua ${\displaystyle g,h\in G}$ persamaan ${\displaystyle (gU)\cdot (hU)=(gh)U}$.

Dalam grup abelian setiap subgrup adalah subgrup normal. Jadi, setelah setiap subgrup, dapat dibentuk kelompok faktor di sana, yang selanjutnya adalah Abelian.

urutan dari grup faktor ${\displaystyle G/N}$ tepatnya adalah jumlah kelas sekunder dari ${\displaystyle N}$. Angka ini disebut Indeks oleh ${\displaystyle N}$ pada ${\displaystyle G}$ dan dengan ${\displaystyle (G:N)}$ ditunjuk. Jika ${\displaystyle G}$ adalah grup berhingga, maka berdasarkan Teorema Lagrange ${\displaystyle (G:N)=|G/N|={\tfrac {|G|}{|N|}}}$.

Bilangan bulat genap dan ganjil

Pertimbangkan grup bilangan bulat Z (di bawah tambahan) dan subgrup 2Z yang terdiri dari semua integer genap. Ini adalah subgrup normal, karena Z adalah abelian. Hanya ada dua koset: himpunan bilangan bulat genap dan himpunan bilangan bulat ganjil, dan oleh karena itu grup hasil bagi Z/2Z adalah grup siklik dengan dua elemen. Kelompok hasil bagi ini isomorfik dengan himpunan {0,1} dengan tambahan modulo 2; secara informal, kadang-kadang dikatakan demikian Z/2Z memadai himpunan {0,1} dengan tambahan modulo 2.

Contoh dijelaskan lebih lanjut...

Maka ${\displaystyle \gamma (m)=}$ sisa dari ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$ saat membagi dengan ${\displaystyle 2}$.
Kemudian ${\displaystyle \gamma (m)=0}$ jika ${\displaystyle m}$ adalah genap dan ${\displaystyle \gamma (m)=1}$ when ${\displaystyle m}$ adalah ganjil.
Menurut definisi ${\displaystyle \gamma }$, inti dari ${\displaystyle \gamma }$,
ker(${\displaystyle \gamma }$) ${\displaystyle =\{m\in \mathbb {Z} :\gamma (m)=0\}}$, adalah himpunan dari semua bilangan bulat genap.
Maka ${\displaystyle H=}$ ker(${\displaystyle \gamma }$).
Kemudian ${\displaystyle H}$ adalah subgrup, karena identitasnya di ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, which is ${\displaystyle 0}$, dalam ${\displaystyle H}$,
jumlah dari dua integer genap adalah genap dan karenanya jika ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ berada di ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle m+n}$ dalam ${\displaystyle H}$ (penutupan)
dan jika ${\displaystyle m}$ genap, ${\displaystyle -m}$ juga genap dan ${\displaystyle H}$ berisi inversnya.
Menetapkan ${\displaystyle \mu :}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ / H${\displaystyle \to \mathbb {Z} _{2}}$ sebagai ${\displaystyle \mu (aH)=\gamma (a)}$ ke ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$
dan ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ / H adalah grup hasil bagi dari koset kiri; ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ / H${\displaystyle =\{H,1+H\}}$.
Dengan cara yang telah kami tentukan ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \mu (aH)}$ adalah ${\displaystyle 1}$ jika ${\displaystyle a}$ ganjil dan ${\displaystyle 0}$ jika ${\displaystyle a}$ genap.
Jadi, ${\displaystyle \mu }$ adalah isomorfisme dari ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ / H ke ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$.

Quotients dari grup Lie

Jika ${\displaystyle G}$ adalah grup lie dan ${\displaystyle N}$ adalah subgrup Lie normal ${\displaystyle G}$, hasil bagi ${\displaystyle G}$ / ${\displaystyle N}$ juga merupakan grup Lie. Dalam kasus ini, grup asli ${\displaystyle G}$ memiliki struktur sebuah fiber bundle (khususnya, sebuah utama ${\displaystyle N}$ -bundel), dengan ruang dasar ${\displaystyle G}$ / ${\displaystyle N}$ dan serat ${\displaystyle N}$.

Untuk subgruo Lie non-normal ${\displaystyle N}$, ruang ${\displaystyle G}$ / ${\displaystyle N}$ dari coset kiri bukanlah sebuah grup, tetapi hanya sebuah lipatan yang dapat dibedakan di mana ${\displaystyle G}$ bertindak. Hasilnya dikenal sebagai ruang homogen.

Jika subgrup ${\displaystyle N}$ ditutup (dalam arti topologi daripada aljabar kata tersebut), kemudian dimensi kelompok Lie atau ruang homogen ${\displaystyle G}$ / ${\displaystyle N}$ banding ${\displaystyle \mathrm {dim} \ G-\mathrm {dim} \ N}$.^[1]

Sifat universal dari grup hasil bagi

Jika ${\displaystyle H}$ adalah pembagi normal dari ${\displaystyle G}$, maka pemetaannya adalah ${\displaystyle \pi \colon G\rightarrow G/H}$ dengan ${\displaystyle g\mapsto gH}$ dengan kernel ${\displaystyle H}$ a epimorphism, jadi subjektif homomorfisme. Sifat universal sekarang mengatakan, bahwa untuk setiap homomorfisme grup ${\displaystyle \varphi \colon G\rightarrow G'}$ mit ${\displaystyle H\subseteq ker(\varphi )}$ persis satu grup homomorfisme ${\displaystyle \varphi '\colon G/H\rightarrow G'}$ mit ${\displaystyle \varphi =\varphi '\circ \pi }$ existiert.

Contoh: jika ${\displaystyle \pi \colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }$ proyeksi natural dari bilangan bulat ke kelas sisa modulo 6. Maka ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }$ Homomorfisme grup. Lalu grup lie ${\displaystyle 6\mathbb {Z} }$ pada inti ${\displaystyle \varphi }$ dan ${\displaystyle \varphi '\colon \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }$ menghasilkan:

${\displaystyle \varphi '([0]_{6})=[0]_{3}}$

${\displaystyle \varphi '([1]_{6})=[1]_{3}}$

${\displaystyle \varphi '([2]_{6})=[2]_{3}}$

${\displaystyle \varphi '([3]_{6})=[0]_{3}}$

${\displaystyle \varphi '([4]_{6})=[1]_{3}}$

${\displaystyle \varphi '([5]_{6})=[2]_{3}}$.

Lihat pula

• Ekstensi grup
• Kategori hasil bagi
• Urutan persis pendek

Catatan

1. John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Second Edition, theorem 21.17

Referensi

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2003), Abstract Algebra (edisi ke-3rd), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-43334-7 
• Herstein, I. N. (1975), Topics in Algebra (edisi ke-2nd), New York: Wiley, ISBN 0-471-02371-X