Dalam matematika, grup selang-seling (bahasa Inggris: Alternating group) adalah grup dari permutasi genap dari himpunan hingga. Grup selang-seling pada himpunan elemen disebut grup selang-seling derajat, atau grup selang-seling pada huruf dan dilambangkan dengan or .
Seperti dalam grup simetris, dua elemen yang sekawan oleh elemen harus memiliki bentuk siklus yang sama. Kebalikannya belum tentu benar. Jika bentuk siklus hanya terdiri dari siklus dengan panjang ganjil tanpa ada dua siklus yang panjangnya sama, dimana siklus dengan panjang satu dimasukkan ke dalam tipe siklus, maka tepat ada dua kelas konjugasi untuk bentuk siklus ini (Scott 1987, §11.1, p299).
Contoh:
Kedua permutasi dan tidak sekawan dalam , meskipun mereka memiliki bentuk siklus yang sama, dan oleh karena itu sekawan di .
Permutasi (123) (45678) tidak sekawan dengan kebalikannya pada , meskipun kedua permutasi tersebut memiliki bentuk siklus yang sama, sehingga keduanya sekawan dalam .
dihasilkan oleh siklus-3, karena siklus-3 dapat diperoleh dengan menggabungkan pasangan transposisi. Himpunan pembangkit ini sering digunakan untuk membuktikan bahwa adalah sederhana untuk .
Untuk dan , grup automorfisme adalah trivial. Untuk grup automorfisme adalah , dengan grup automorfisme dalam dan grup automorfisme luar trivial .
Grup automorfisme luar adalah grup empat Klein, dan terkait dengan automorfisme luar. Automorfisme luar ekstra di menukar siklus-3 (seperti ) dengan elemen bentuk (seperti ).
isomorfik untuk , , dan kelompok simetri kiral simetri ikosahedral. (Lihat[1] untuk isomorfisme taklangsung dari menggunakan klasifikasi grup sederhana berorde 60, dan di sini untuk bukti langsung).
isomorfik untuk dan .
isomorfik untuk .
Lebih jelasnya, isomorfik bagi grup siklik, dan , , dan isomorfik ke grup trivial (yang juga untuk ).
adalah grup isometri dodekahedron dalam 3 ruang, jadi ada wakilan
Dalam gambar ini verteks polihedra mewakili elemen grup, dengan pusat bola mewakili elemen identitas. Setiap verteks mewakili rotasi pada sumbu yang menunjuk dari pusat ke verteks tersebut, dengan sudut yang sama dengan jarak dari titik asal, dalam radian. Verteks dalam polihedron yang sama berada dalam kelas sekawan yang sama. Karena persamaan kelas sekawan untuk adalah , kita mendapatkan empat polihedra (taktrivial) berbeda.
Simpul dari setiap polihedron berada dalam korespondensi bijektif dengan elemen kelas sekawannya, dengan pengecualian kelas sekawan siklus-, yang diwakili oleh sebuah ikosidodekahedron di permukaan luar, dengan verteks antipodal yang diidentifikasi satu sama lain. Alasan redundansi ini adalah bahwa rotasi terkait oleh radian, sehingga dapat diwakili oleh vektor dengan panjang di salah satu dari dua arah. Jadi kelas dari siklus- mengandung 15 elemen, sedangkan ikosidodekahedron memiliki 30 verteks.
Dua kelas sekawan dari dua belas siklus-5 dalam diwakili oleh dua ikosahedra, dari jari-jari berturut-turut, dan . Automorfisme luar taktrivial pada mempertukarkan kedua kelas ini dan ikosahedra berpadanan.
Catatan
^ abRobinson (1996), [//books.google.com/books?id=lqyCjUFY6WAC&pg=PA78&dq=%22PSL%22
p. 78]
Referensi
Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Graduate texts in mathematics, 80 (edisi ke-2), Springer, ISBN978-0-387-94461-6
Grup hingga Kehomomorfan grup Grup kuaternion Grup Abelian Grup berpenyelesaian Grup vokal wanita Grup disiklik Grup simetrik Grup titik Grup-p Grup selang-seling Grup divisibel Grup (matematika) Grup Dedekind V (grup) Grup Senario Grup 2/Sandi Yudha Teori grup Grup Lokal Grup 1/Para Komando Babak grup Piala AFC 2011 Babak grup Piala AFC 2018 DIA (grup musik) Grup Coimbra Grup D Paspampres Grup B Paspampres Grup C Paspampres Venus Flytrap (grup) Grup topologi NYC (grup musik) Babak grup Piala AFC 2022 Satuan Darat Grup Tengah Google Grup Daftar grup idola Korea Selatan Mega (grup musik) RAN (g…
rup musik) DuoDivaa (grup musik) Grup sederhana Grup A Kejuaraan AFF 2010 Daftar grup kecil Grup bebas Kelas grup Play-off Grup Dunia Piala Davis 2011 Armada (grup musik) Grup dihedral Grup A Paspampres Grup Lie Babak grup Piala UEFA 2005–2006 Babak grup Piala Uber 2016 Babak grup Liga Champions AFC 2015 Babak grup Piala Thomas 2016 Apple Pie (grup musik) Grup siklik Babak grup Liga Champions UEFA 2016–2017 Babak grup Liga Champions UEFA 2013–2014 Daftar topik teori grup Bima (grup musik) Grup vokal pria Babak grup Liga Eropa UEFA 2016–2017 Kualifikasi Piala Dunia FIFA 2018 – Grup D UEFA Kualifikasi Piala Dunia FIFA 2018 – Grup I UEFA Kualifikasi Piala Dunia FIFA 2018 – Grup G UEFA Kualifikasi Piala Dunia FIFA 2018 – Grup A UEFA Kualifikasi Piala Dunia FIFA 2018 – Grup E UEFA Kualifikasi Piala Dunia FIFA 2018 – Grup F UEFA Kualifikasi Piala Dunia FIFA 2018 – Grup B UEFA Grup nilpoten Kualifikasi Piala Dunia FIFA 2018 – Grup H UEFA Babak grup Piala Uber 2010 UN (grup musik) Babak grup Piala Uber 2012 Babak grup Piala Thomas 2012 Kualifikasi Piala Dunia FIFA 2018 – Grup C UEFA Romeo (grup musik) Babak grup Liga Champions AFC 2018 Babak grup Piala Thomas 2010