Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Solvable group di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan.
(Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel)
Secara historis, kata "berpenyelesaian" muncul dari teori Galois dan bukti dari ketidakmampuan umum persamaan kuintik. Secara spesifik, persamaan polinomial dapat diselesaikan dalam radikal jika dan hanya jika grup Galois yang sesuai berpenyelesaian[1] (perhatikan teorema ini hanya berlaku dalam karakteristik 0). Ini berarti terkait dengan polinomial jika menara perluasan lapangan
sehingga
dimana , jadi adalah penyelesaian persamaan dimana
berisi medan pemisahan untuk
Contoh
Misalnya, perluasan medan Galois terkecil dari mengandung elemen
memberikan grup berpenyelesaian. Ini memiliki perluasan medan terkait
memberikan grup berpenyelesaian merumuskan (bertindak pada ) dan (bertindak pada ).
Atau setara, jika deret jabaran, deret normal menurun
,
di mana setiap subgrup adalah subgrup komutator dari yang sebelumnya, akhirnya mencapai subgrup trivial dari . Kedua definisi ini setara, karena untuk setiap grup dan setiap subgrup normal dari , hasil bagi adalah grup Abel jika dan hanya jika termasuk subgrup komutator dari . Nilai terkecil sehingga disebut panjang jabaran dari grup berpenyelesaian .
Untuk grup berhingga, definisi ekuivalennya adalah bahwa grup berpenyelesaian adalah grup dengan deret komposisi yang semua faktornya adalah grup siklik dari urutanbilangan prima. Ini setara karena grup berhingga memiliki panjang komposisi berhingga, dan setiap grup Abel sederhana adalah siklik orde utama. Teorema Jordan–Hölder menjamin bahwa jika salah satu deret komposisi memiliki sifat ini, semua deret komposisi akan memiliki sifat ini juga. Untuk grup Galois dari polinomial, grup siklik ini berpadanan dengan akar (radikal) di beberapa medan. Kesetaraan tidak selalu: sebagai contoh, karena setiap subgrup taktrivial dari grup dari bilangan bulat di bawah penambahan adalah isomorfis pada , tidak memiliki deret komposisi, tetapi deret normal , dengan satu-satunya grup faktor isomorfik hingga , membuktikan bahwa ia berpenyelesaian.
Contoh
Grup Abel
Contoh dasar grup berpenyelesaian adalah grup Abel. Mereka berpenyelesaian secara trivial karena rangkaian subnormal diberikan hanya oleh grup itu sendiri dan grup trivial. Tetapi grup takAbel mungkin atau mungkin tidak bisa dipecahkan.
Grup nilpoten
Secara umum, semua grup nilpoten berpenyelesaian. Secara khusus, grup-p hingga berpenyelesaian, karena semua grup-p hingga adalah nilpoten.
Grup kuaternion
Secara khusus, grup kuaternion adalah grup berpenyelesaian yang diberikan oleh perluasan grup
dimana adalah subgrup yang dihasilkan oleh .
Perluasan grup
Perluasan grup merupakan contoh prototip dari grup berpenyelesaian. Artinya, jika dan adalah grup berpenyelesaian, maka suatu perluasan
mendefinisikan grup berpenyelesaian . Faktanya, semua grup berpenyelesaian dapat dibentuk dari perluasan grup tersebut.
Grup takAbel yang taknilpoten
Contoh kecil dari grup taknilpoten berpenyelesaian adalah grup simetrik. Faktanya, karena grup takAbel sederhana terkecil adalah , (grup selang-seling dengan derajat 5) mengikuti bahwa setiap grup dengan urutan lebih kecil dari 60 adalah berpenyelesaian.
Grup hingga dari urutan ganjil
Teorema Feit–Thompson yang terkenal menyatakan bahwa setiap grup berhingga dari urutan ganjil adalah berpenyelesaian. Secara khusus ini menyiratkan bahwa jika grup hingga adalah grup sederhana, itu adalah grup siklik.
Bukan contoh
Grup takberpenyelesaian, ia memiliki deret komposisi (dan Teorema Jordan–Hölder menyatakan bahwa setiap deret komposisi setara dengan yang satu itu), memberikan grup faktor isomorfik pada dan ; dan bukan Abel. Menggeneralisasi argumen ini, ditambah dengan fakta bahwa adalah subgrup normal, maksimal, sederhana takAbel dari , tidak berpenyelesaian untuk . Ini adalah langkah kunci dalam pembuktian bahwa untuk setiap ada polinomial derajat yang takberpenyelesaian oleh radikal (Teorema Abel–Ruffini). Sifat ini juga digunakan dalam teori kompleksitas dalam pembuktian teorema Barrington.
Subgrup
Andaikan subgrup
pada
untuk suatu medan . Maka, hasil bagi grup dapat ditemukan dengan mengambil sembarang elemen di , mengalikannya, dan mencari tahu struktur apa yang diberikannya. Jadi
Perhatikan syarat determinan pada menyiratkan , karenanya adalah subgrup (yang merupakan matriks di mana ). Untuk yang ditetapkan, persamaan linear menyiratkan , yang merupakan elemen sembarang pada ketika . Karena kita dapat mengambil matriks pada dan mengalikannya dengan matriks
dengan , kita bisa mendapatkan matriks diagonal pada . Ini menunjukkan grup hasil bagi .
Kata
Perhatikan bahwa deskripsi ini memberikan penguraian sebagai dimana bertindak pada oleh . Ini menyiratkan . Juga, matriks dari bentuk
berpadanan dengan elemen dalam grup.
Subgrup Borel
Untuk grup aljabar linearsubgrup Borel didefinisikan sebagai subgrup yang tertutup, terhubung, dan berpenyelesaian di , dan ini adalah subgrup yang paling mungkin dengan sifat ini (perhatikan dua yang kedua adalah sifat topologi). Misalnya, dalam dan , grup matriks segitiga atas, atau segitiga bawah adalah dua subgrup Borel. Contoh yang diberikan di atas, subgrup di adalah subgrup Borel.
Subgrup Borel pada
Pada terdapat subgrup
Perhatikan bahwa , maka grup Borel memiliki bentuk
Subgrup Borel hasil perkalian grup aljabar linear sederhana
Dalam grup hasilkali subgrup Borel dapat diwakili oleh matriks dalam bentuk
dimana adalah matriks segitiga atas dan adalah matriks segitiga atas .
Jika berpenyelesaian, dan adalah subgrup dari , maka adalah berpenyelesaian.[2]
Jika berpenyelesaian, dan terdapat homomorfisme dari pada, maka adalah berpenyelesaian; setara (dengan teorema isomorfisme pertama), jika berpenyelesaian, dan adalah subgrup normal dari , maka berpenyelesaian.[3]
Sifat sebelumnya dapat diperluas menjadi sifat "tiga untuk harga dua" berikut: dapat diselesaikan jika dan hanya jika dan keduanya berpenyelesaian.
Secara khusus, jika dan berpenyelesaian, hasilkali langsung berpenyelesaian.
Jika dan berpenyelesaian, maka begitu juga dengan ; secara khusus, jika dan berpenyelesaian, produk setengah langsung mereka juga berpenyelesaian.
Itu juga ditutup di bawah produk karangan bunga:
Jika dan berpenyelesaian, dan adalah himpunan , maka hasilkali karangan bunga dari dan terhadap juga berpenyelesaian.
Untuk suatu bilangan bulat positif , grup berpenyelesaian dari panjang jabaran paling banyak membentuk subvarietas dari berbagai grup, karena mereka tertutup terhadap pengambilan citra homomorfik, subaljabar, dan hasil kali (langsung). Hasil kali langsung dari urutan grup berpenyelesaian dengan panjang jabaran tak terbatas tidak berpenyelesaian, sehingga kelas semua grup berpenyelesaian bukanlah suatu varietas.
Grup hingga Kehomomorfan grup Grup kuaternion Grup berpenyelesaian Grup Abelian Grup vokal wanita Grup disiklik Grup simetrik Grup titik Grup-p Grup selang-seling Grup divisibel Grup (matematika) V (grup) Grup Dedekind Grup 2/Sandi Yudha Grup Senario Grup Lokal Teori grup Grup 1/Para Komando Babak grup Piala AFC 2011 Babak grup Piala AFC 2018 DIA (grup musik) Grup Coimbra Grup D Paspampres Grup B Paspampres Grup C Paspampres Venus Flytrap (grup) NYC (grup musik) Grup topologi Babak grup Piala AFC 2022 Mega (grup musik) RAN (grup musik) Satuan Darat Grup Tengah Daftar grup idola Korea Selatan G…
oogle Grup DuoDivaa (grup musik) Grup sederhana Grup A Kejuaraan AFF 2010 Daftar grup kecil Armada (grup musik) Grup bebas Kelas grup Grup dihedral Play-off Grup Dunia Piala Davis 2011 Babak grup Piala Uber 2016 Babak grup Liga Champions AFC 2015 Grup Lie Grup A Paspampres Babak grup Piala UEFA 2005–2006 Babak grup Piala Thomas 2016 Apple Pie (grup musik) Grup siklik Babak grup Liga Champions UEFA 2016–2017 Babak grup Liga Champions UEFA 2013–2014 Grup vokal pria Bima (grup musik) Daftar topik teori grup Babak grup Liga Eropa UEFA 2016–2017 Babak grup Piala Uber 2010 Babak grup Liga Champions AFC 2018 Kualifikasi Piala Dunia FIFA 2018 – Grup B UEFA Kualifikasi Piala Dunia FIFA 2018 – Grup F UEFA Kualifikasi Piala Dunia FIFA 2018 – Grup G UEFA Kualifikasi Piala Dunia FIFA 2018 – Grup A UEFA Kualifikasi Piala Dunia FIFA 2018 – Grup E UEFA Babak grup Piala Uber 2012 Babak grup Piala Thomas 2012 Romeo (grup musik) Kualifikasi Piala Dunia FIFA 2018 – Grup H UEFA Kualifikasi Piala Dunia FIFA 2018 – Grup I UEFA Kualifikasi Piala Dunia FIFA 2018 – Grup D UEFA Grup nilpoten UN (grup musik) Babak grup Piala Thomas 2010 Kualifikasi Piala Dunia FIFA 2018 – Grup C UEFA