三十面體
在幾何學 中，三十面體 是指有30個面的多面體 [ 1] 三維空間 的三十面體當中沒有任何一個形狀是正多面體 ，換言之即正三十面體並不存在，但仍有許多由正多邊形 組成的三十面體，例如二側帳塔截角立方體 ，也有等面 的三十面體，例如菱形三十面體 。
雖然三維空間中不存在正三十面體，但在四維空間 中允許三十面體以扭歪正多面體 的形式存在（見#扭歪三十面體 一節）。
部分晶體結構 也為三十面體，例如{211}和{100}複合而成的截六角鳶形二十四面體[ 2] 菱形三十面體 （Rhombic triacontahedron）[ 3] :49 。
此外要構成三十面體至少要有17個頂點 [ 4]
常見的三十面體中有一些柱體 與錐體 以及部份的詹森多面體 和均勻多面體 的對偶多面體 。
截六角鳶形二十四面體 截六角鳶形二十四面體 為截去六個頂點的鳶形二十四面體 ，其中這六個頂點可以對應到立方體 的面，其由30個面、72條邊和44個頂點組成，在其30個面中，有24個五邊形和6個四邊形。這個立體是晶體結構{100}（立方體 ）和{211}（鳶形二十四面體 ）的複合晶體結構，是一種三十面體（30-hedron）。[ 2]
截角立方體 的兩個八邊形面上各疊上一個四角帳塔 所構成的幾何體。
二側帳塔截角立方體可以分成兩種，一種是疊上一個四角帳塔 位於相對的八邊形面，稱為對二側帳塔截角立方體 ；另一種是疊上一個四角帳塔位於截角立方體上兩相鄰的八邊形面，稱為鄰二側帳塔截角立方體。其中，對二側帳塔截角立方體是一種詹森多面體。[ 5]
菱形三十面體 菱形三十面體 （Rhombic triacontahedron ）是一個由菱形 構成的三十面體[ 1] 全等 的黃金菱形 組成，具有60條邊和32個頂點 [ 6] 對偶多面體 為截半二十面体 [ 7] [ 8] 對偶多面體 是一個半正多面體 ，因此這種立體也屬於卡塔蘭多面體 [ 9]
由於菱形三十面體是一種面可遞 的立體[ 10] [ 11] [ 12]
正二十九角錐 二十九角錐 是一種底面 為二十九邊形的錐體 ，為三十面體的一種，具有30個面、58條邊和30個頂點 ，其對偶多面體是自己本身[ 13] 施萊夫利符號 中可以用{}∨{29}來表示。底邊長為
s
{\displaystyle s}
h
{\displaystyle h}
V
{\displaystyle V}
S
{\displaystyle S}
[ 13]
V
=
29
h
s
2
cot
-->
π π -->
29
12
≈ ≈ -->
22.2209
h
s
2
{\displaystyle V={\frac {29hs^{2}\cot {\frac {\pi }{29}}}{12}}\approx 22.2209hs^{2}}
S
=
29
s
(
4
h
2
+
s
2
cot
2
-->
π π -->
29
+
s
cot
-->
π π -->
29
)
4
≈ ≈ -->
7.25
s
(
4
h
2
+
84.5452
s
2
+
9.19485
s
)
{\displaystyle S={\frac {29s\left({\sqrt {4h^{2}+s^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{29}}}}+s\cot {\frac {\pi }{29}}\right)}{4}}\approx 7.25s\left({\sqrt {4h^{2}+84.5452s^{2}}}+9.19485s\right)}
正二十八角柱 二十八角柱 是一種底面為二十八邊形的柱體 ，是三十面體的一種，由30個面和84條邊和56個頂點組成，對偶多面體為雙二十八角錐。[ 14] 正方形 和1個二十八邊形的公共頂點，頂點圖 以
4
.
4
.
28
{\displaystyle 4{.}4{.}28}
施萊夫利符號 中可以用{28}×{}或t{2,28}來表示，在考克斯特符號 威佐夫符號 康威多面體表示法 中可以利用P28來表示。底邊長為單位長的正二十八角柱體積
V
{\displaystyle V}
S
{\displaystyle S}
[ 14]
V
=
7
cot
-->
π π -->
28
≈ ≈ -->
62.1267
{\displaystyle V=7\cot {\frac {\pi }{28}}\approx 62.1267}
S
=
28
(
1
+
cot
-->
π π -->
28
2
)
≈ ≈ -->
152.253
{\displaystyle S=28\left(1+{\frac {\cot {\frac {\pi }{28}}}{2}}\right)\approx 152.253}
正十四角反角柱 十四角反角柱 是一種底面為十四邊形的反柱體 ，是三十面體的一種，由30個面和56條邊和28個頂點組成，對偶多面體為十四方偏方面體。[ 15] 正三角形 和1個正十四邊形的公共頂點，頂點圖 以
3
.
3
.
3
.
14
{\displaystyle 3{.}3{.}3{.}14}
施萊夫利符號 中可以用s{2,28}、sr{2,14}或
s
{
2
14
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\14\end{Bmatrix}}}
[ 15] 考克斯特符號 威佐夫符號 康威多面體表示法 中可以利用A14來表示。底邊長為單位長的正十四角反角柱體積
V
{\displaystyle V}
S
{\displaystyle S}
[ 15]
V
=
7
(
2
− − -->
1
1
+
cos
-->
π π -->
14
)
3
2
cot
-->
π π -->
28
6
2
≈ ≈ -->
13.3655
{\displaystyle V={\frac {7\left(2-{\frac {1}{1+\cos {\frac {\pi }{14}}}}\right)^{\frac {3}{2}}\cot {\frac {\pi }{28}}}{6{\sqrt {2}}}}\approx 13.3655}
S
=
7
(
3
+
cot
-->
π π -->
14
)
≈ ≈ -->
42.7934
{\displaystyle S=7\left({\sqrt {3}}+\cot {\frac {\pi }{14}}\right)\approx 42.7934}
十五方偏方面體 是一種以十五邊形為底的偏方面體 ，是三十面體的一種，由30個面和60條邊和32個頂點組成，對偶多面體為十五角反角柱。[ 16]
魯洛夫斯的星形三十面體，由6個十二邊形和24個正方形組成[ 17] 有一些三十面體具有自相交的結構，也就是星形三十面體，例如部分的均勻多面體對偶 ，大多由考克斯特等人發現[ 18] [ 17]
無窮星形三十面體是指具有30個面的無窮星形多面體 。作為均勻多面體的對偶多面體，無窮星形三十面體共有六種，分別為小二十面半無窮星形十二面體 小十二面半無窮星形十二面體 大二十面半無窮星形十二面體 大十二面半無窮星形十二面體 小十二面半無窮星形二十面體 大十二面半無窮星形二十面體 小二十面半無窮星形十二面體 小十二面半無窮星形十二面體 大二十面半無窮星形十二面體 大十二面半無窮星形十二面體 小十二面半無窮星形二十面體 大十二面半無窮星形二十面體 [ 20]
除了上述六種無窮星形三十面體之外，還有兩種均勻多面體的對偶多面體為三十面體，分別為内侧菱形三十面体 [ 21] 大菱形三十面體 [ 22]
名稱
種類
圖像
符號
頂點
邊
面
χ
面的種類
對稱性
展開圖
對偶多面體
二十九角錐
錐體
( )∨{29}
30
58
30
2
1個二十九邊形
C 29v , [29], (*29 29)
二十九角錐（自身對偶）
二十八角柱
稜柱體
t{2,28}
56
84
30
2
2個二十八邊形矩形
D28h , [28,2], (*28 2 2)
雙二十八角錐
雙十五角錐
雙錐體
{ }+{15}
17
45
30
2
30個三角形
D15h , [15,2], (*15 2 2), 60階
十五角柱
十四角反棱柱
反棱柱
s{2,28}
28
56
30
2
2個十四邊形 三角形
D14d , [2+ ,28], (2*14), 56階
十四方偏方面體
十四角帳塔
帳塔
{14} || t{14}
42
70
30
2
14個三角形
C14v , [1,14], (*14 14), order 28
十五方偏方面體
偏方面體
{ }⨁{15}[ 23] :235
32
60
30
2
30個鷂形
D15d , [2+ ,15], (2*15)
十五角反棱柱
對二側帳塔截角立方體
側帳塔多面體
32
60
30
2
16個正三角形
D4h
鄰二側帳塔截角立方體
側帳塔多面體
32
60
30
2
16個正三角形
四側錐雙新月雙罩帳
凹多面體
18
46
30
2
2×4+4×5個正三角形
截六角鳶形二十四面體
凸多面體
44
72
30
2
24個五角形
Oh , [4,3], *432
小二十面半無窮星形十二面體 無窮星形多面體
26
60
30
-4
30個抽象四邊形
Ih , [5,3], *532
小二十面半十二面體
小十二面半無窮星形十二面體 18
-12
小十二面半十二面體
大二十面半無窮星形十二面體 無窮星形多面體
26
60
30
-4
Ih , [5,3], *532
大二十面半十二面體
大十二面半無窮星形十二面體 18
-12
大十二面半十二面體
小十二面半無窮星形二十面體 無窮星形多面體
22
60
30
-8
Ih , [5,3], *532
小十二面半二十面體
大十二面半無窮星形二十面體 大十二面半二十面體
内侧菱形三十面体
均勻多面體對偶
24
60
30
-6
30個菱形
Ih , [5,3], *532
截半大十二面體
大菱形三十面體
均勻多面體對偶
32
60
30
2
30個菱形
Ih , [5,3], *532
大截半二十面体
四角六片三角孔扭歪正三十面體 是一個扭歪三十面體。其位於四維空間，圖為四維到三維的施萊格爾投影。扭歪三十面體是指面與頂點並不存在同一個三維空間而無法確定體積 的三十面體，扭歪三十面體僅能存在於四維或以上的空間。
而扭歪三十面體的一個例子為四角六片三角孔扭歪正三十面體 ，其由30個正方形組成，具有30個面、60條邊和20個頂點，在施萊夫利符號中計為{4,6|3}，可以看做是截半五胞體 截半五胞體 [ 24]
^ 1.0 1.1 Weisstein, Eric W. (编). Triacontahedron . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ 2.0 2.1 Barrer, RM and Kerr, IS. 66. Hydrothermal chemistry of the silicates. Part XI. Habit and surface topography in synthetic crystals of the analcite group . Journal of the Chemical Society (Resumed) (Royal Society of Chemistry). 1963: 434–440 [2023-01-09 ] . doi:10.1039/JR9630000434 存档 于2022-12-26）. ^ Larkin, N.J. An Introduction to Solid Geometry: And to the Study of Chrystallography ; Containing an Investigation of Some of the Properties Belonging to the Platonic Bodies Independent of the Sphere . 1820 [2022-12-25 ] . LCCN 06004787 存档 于2022-12-25）. ^ Counting polyhedra . numericana.com. [2016-01-10 ] . （原始内容存档 于2020-08-20）. 页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）^ Weisstein, Eric W. (编). Biaugmented Truncated Cube . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ Can, Zeynep and Kaya, Rüstem; et al. On the metrics induced by icosidodecahedron and rhombic triacontahedron. KoG (Hrvatsko društvo za geometriju i grafiku). 2015, 19 (19.): 17–23. ^ Weisstein, Eric W. (编). Rhombic Triacontahedron . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ Livio Zefiro, DIP.TE.RIS. Review of the alternative choices concerning face colouring of all the regular convex polyhedra and a pair of Catalan polyhedra, the rhombic dodecahedron and the rhombic triacontahedron . mi.sanu.ac.rs. [2020-08-05 ] . （原始内容 存档于2020-07-11）. ^ The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 287, pentagonal icosikaitetrahedron)^ Isohedral Rhombohedra . orchidpalms.com. [2020-08-05 ] . （原始内容 存档于2021-04-10）. ^ McLean, K. Robin, Dungeons, dragons, and dice, The Mathematical Gazette, 1990, 74 (469): 243–256, JSTOR 3619822 ^ George W. Hart. Polyhedral Dice . Virtual Polyhedra. 1996 [2020-08-05 ] . （原始内容 存档于2021-04-26）. ^ 13.0 13.1 Wolfram, Stephen . " 29-gonal pyramid" Wolfram Alpha : Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语） . ^ 14.0 14.1 Wolfram, Stephen . " 28-gonal prism" Wolfram Alpha : Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语） . ^ 15.0 15.1 15.2 Wolfram, Stephen . " 14-antiprism" Wolfram Alpha : Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语） . ^ Wolfram, Stephen . " 15‐trapezohedron" Wolfram Alpha : Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语） . ^ 17.0 17.1 Göbel, Frits. The Taming of Roelofs Polyhedra (PDF) . Bridges London: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture. 2006: 105–108 [2023-01-09 ] . （原始内容存档 (PDF) 于2023-01-02）. ^ Coxeter, Harold Scott MacDonald ; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. Uniform polyhedra. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences (The Royal Society). 1954, 246 (916): 401–450. ISSN 0080-4614 JSTOR 91532 MR 0062446 S2CID 202575183 doi:10.1098/rsta.1954.0003 ^ Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press , 2003 [1983], ISBN 978-0-521-54325-5MR 0730208 doi:10.1017/CBO9780511569371 ^ Wenninger, Dual Models, 2003[ 19]
^ Versi-Regular Polyhedra: Medial Rhombic Triacontahedron . dmccooey.com. [2016-09-01 ] . （原始内容存档 于2016-03-24）. ^ Self-Intersecting Quasi-Regular Duals : Great Rhombic Triacontahedron . dmccooey.com. [2016-08-31 ] . （原始内容存档 于2016-07-31）. ^ Johnson, N.W. Chapter 11: Finite symmetry groups. Geometries and Transformations. 2018. ISBN 978-1-107-10340-5 ^ Klitzing, Richard. Skew polytopes x4o6o|x3o . bendwavy.org.
