二十二面體

二十二面體

部分的二十二面體
	五角帳塔柱
側台塔截角立方體	小十二面半二十面體

在幾何學中，二十二面體（icosidihedron）是指有22個面的多面體，在二十二面體當中沒有任何一個形狀是正多面體，換言之即正二十二面體並不存在，但仍有許多由正多邊形組成的二十二面體，例如正二十角柱^[1][2]。 由於二十二面體擁有比二十面體更多的面，因此在化學的分子結構相關研究中，二十二面體以及其他類似的立體被稱為超二十面體（Supraicosahedron），例如在一種含鈷的碳硼化合物就具有二十二面體的結構。^[3] 此外要構成二十二面體至少要有13個頂點^[4]。

在化學中

從正二十面體新增頂點構成的二十二面體

在化學中，二十二面體的分子結構因擁有超過二十個面，因此有時被稱為超二十面體（Supraicosahedron）^[5]。 由於球狀的硼烷結構有一種二十面體硼烷，其性質已經被充分研究，近年來，科學家開始研究面數超過二十面的超二十面體硼烷（supraicosahedral boranes）^[5]，這種超二十面體硼烷是基於具有多於二十面體的12個頂點的多面體。

CoC₂B₁₀H₁₂結構

最小的超二十面體硼烷，是具有13個頂點的碳硼烷。最小的全部都是三角形面的超二十面體硼烷是加入了鈷的碳硼烷（η⁵-C₅H₅)CoC₂B₁₀H₁₂）^[5]，其具有13個頂點和22個面^[6]，是一種二十二面體。

這種二十二面體具有2個分支度為6的頂點，這意味著有原子的化學鍵數為6，這在多面體硼烷化學中是不利的結構特徵。有另一種結構是移除了上述二十二面體其中一個分支度為6的頂點上的其中一條邊，這會形成一個由20個三角形面和1個四邊形面組成的二十一面體。^[7]

常見的二十二面體

常見的二十二面體包含了一些錐體、柱體和一些由錐體與柱體組合並包含22個面形狀，亦有一些拓樸結構明顯與錐體、柱體不同的二十二面體，例如化學中的二十二面體結構^[5]。

均勻多面體

在均勻多面體中有2種立體具有二十二個面，分別為大十二面半二十面體^[8]和小十二面半二十面體^[9]。

大十二面半二十面體

小十二面半二十面體

詹森多面體

在詹森多面體中有4種立體具有二十二個面^[10]，分別為五角帳塔柱、同相雙五角帳塔、異相雙五角帳塔和側帳塔截角立方體。

五角帳塔柱

同相雙五角帳塔

異相雙五角帳塔

側帳塔截角立方體

此外，亦有兩種詹森多面體的對偶多面體具有二十二個面，分別為对二侧锥正十二面体（英语：Parabiaugmented dodecahedron）的對偶多面體和间二侧锥正十二面体（英语：Metabiaugmented dodecahedron）的對偶多面體。

二十一角錐

二十一角錐是一種底面為二十一邊形的錐體，是二十二面體的一種，其具有22個面、44條邊和22個頂點，其對偶多面體是自己本身^[11]。正二十二角錐是一種底面為正二十二邊形的二十二角錐，在施萊夫利符號中可以用{}∨{22}來表示。底邊長為${\displaystyle s}$、高為${\displaystyle h}$的正二十二角錐體積${\displaystyle V}$和表面積${\displaystyle S}$為^[11]：

${\displaystyle V={\frac {7hs^{2}\cot {\frac {\pi }{21}}}{4}}\approx 11.6105hs^{2}}$

${\displaystyle S={\frac {21s\left({\sqrt {4h^{2}+s^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{21}}}}+s\cot {\frac {\pi }{21}}\right)}{2}}\approx 5.25s\left({\sqrt {4h^{2}+44.0175s^{2}}}+6.63457s\right)}$

二十角柱

二十角柱是一種底面為二十邊形的柱體，是二十二面體的一種，由22個面60條邊和40個頂點組成。正二十角柱代表每個面都是正多邊形的二十角柱，其每個頂點都是2個正方形和1個二十邊形的公共頂點，頂點圖以${\displaystyle 4{.}4{.}20}$表示，因此具有每個角等角的性質（點可遞），可以歸類為半正二十二面體，不過他跟其他較接近球形的半正多面體相比之下變得扁很多。

正二十角柱在施萊夫利符號中可以用{20}×{}或t{2,20}來表示，在考克斯特符號（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以用來表示，在威佐夫符號（英语：Wythoff symbol）中可以利用2 20 | 2來表示，在康威多面體表示法中可以利用P20來表示。底邊長為${\displaystyle s}$、高為${\displaystyle h}$的正二十角柱體積${\displaystyle V}$和表面積${\displaystyle S}$為^[12]：

${\displaystyle V={\frac {20hs^{2}\cot {\frac {\pi }{20}}}{4}}\approx 31.5688hs^{2}}$

${\displaystyle S=20s\left(h+{\frac {s\cot {\frac {\pi }{20}}}{2}}\right)\approx 20s\left(h+3.156876s\right)}$

十角反角柱

正十角反角柱

十角反角柱是一種底面為十邊形的反角柱，由22個面、40條邊和20個頂點組成。正十角反角柱代表每個面都是正多邊形的十角反角柱，其每個頂點都是3個三角形和1個十邊形的公共頂點，頂點圖以${\displaystyle 3{.}3{.}3{.}10}$表示，在施萊夫利符號中可以用${\displaystyle s\left\{{\begin{matrix}2\\10\end{matrix}}\right\}}$來表示^[13]。邊長為單位長的正十角反角柱體積${\displaystyle V}$和表面積${\displaystyle S}$為^[13]：

${\displaystyle V={\frac {5\left(2-{\frac {1}{{\sqrt {{\frac {\sqrt {5}}{8}}+{\frac {5}{8}}}}+1}}\right)^{3/2}\cot \left({\frac {\pi }{20}}\right)}{6{\sqrt {2}}}}\approx 6.74929}$

${\displaystyle S=5\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\approx 24.0487}$

參見

• 二十面體

參考文獻

1. Murray S. Klamkin. Problems in Applied Mathematics. SIAM. 1990. ISBN 9781611971729. 
2. Algonquin College, Carleton-Ottawa Mathematics Association. Crux Mathematicorum. 第 6 卷. Algonquin College. 1980: 29. 
3. Churchill, Melvyn Rowen and DeBoer, Barry G. Discovery of a triangulated thirteen vertex (1,5,6,1) docosahedron from an X-ray diffraction study of (π-C₅H₅)Co(π-7,9-B₁₀C₂H₁₂). Journal of the Chemical Society, Chemical Communications (Royal Society of Chemistry). 1972, (24): 1326–1327 [2023-11-21]. doi:10.1039/C39720001326. （原始内容存档于2023-11-21）. 
4. Counting polyhedra. numericana.com. [2016-01-10]. （原始内容存档于2016-05-06）. 
5. King, R. Bruce and Silaghi‐Dumitrescu, Ioan and Uţă, Matei M. Beyond the Icosahedron: A Density Functional Theory Study of 14‐Atom Germanium Clusters. European Journal of Inorganic Chemistry (Wiley). 2008-08, 2008 (25): 3996–4003. ISSN 1099-0682. doi:10.1002/ejic.200800376. 
6. Dustin, Donald F and Dunks, Gary B and Hawthorne, M Frederick. Novel 13-vertex metallocarborane complexes formed by polyhedral expansion of 1, 2-dicarba-closo-dodecaborane (12)(1, 2-B₁₀C₂H₁₂). Journal of the American Chemical Society (ACS Publications). 1973, 95 (4): 1109–1115. doi:10.1021/ja00785a019. 
7. Burke, Anthony and Ellis, David and Giles, Barry T. and Hodson, Bruce E. and Macgregor, Stuart A. and Rosair, Georgina M. and Welch, Alan J. Beyond the Icosahedron: The First 13‐Vertex Carborane. Angewandte Chemie International Edition (Wiley). 2003-01, 42 (2): 225–228. ISSN 1521-3773. doi:10.1002/anie.200390085. 
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10. Johnson, Norman W. Convex Solids with Regular Faces. Canadian Journal of Mathematics. 1966, 18: 169–200. ISSN 0008-414X. Zbl 0132.14603. doi:10.4153/cjm-1966-021-8. 
11. Wolfram, Stephen. "21-gonal pyramid". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）. 
12. Wolfram, Stephen. "20-gonal prism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）. 
13. Wolfram, Stephen. "10-gonal antiprism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.