二面體
在幾何學 中，二面體 是指由2個面組成的多面體 ，但由於三維空間中的多面體至少要具有4個面，因此少於四個面的多面體只能是退化的，換句話說，小於4個面的多面體無法具有非零的體積。二面體中最常見的就是多邊形二面體 ，即由兩個全等的平面圖型封閉出的零體積空間所形成的退化多面體。最簡單的二面體是一種球面鑲嵌：一角形二面體 ，它的對偶是一面形 。另外二面體也可以以環形多面體 正則地區圖 的形式存在。
二面體中不存在任何柱體，因為如果柱體要僅有兩個面，代表其不存在側面，而這樣的立體就不是柱體了。
任何平面圖形都可以視為一個二面體，並且屬於二面體群 。
若將一封閉的平面圖形放置於三維空間 也可以視為一個二面體，如多邊形二面體 。他們皆屬於二面體群 ，是透鏡空間 [ 1]
二面體可以以球面 鑲嵌 的方式存在，最簡單的例子是二面形 。
名稱
二面形
一角形二面體
多邊形二面體
圖像
施萊夫利符號
{2,2}
{1,2}
{n,2}
考克斯特記號
一個二面形，是一種由二個鑲嵌在球體上的球弓形組成的多面形，施萊夫利符號 中利用{2,2}來表示，該符號表達了二面形的結構——每個頂點都是2個二角形的公共頂點。
球面上的一角形二面體 一角形二面體 ，又稱為雙一角形 （dimonogon[ 2] 一面體 ：一面形。[ 2]
在球面幾何學 中，一角形二面體是一個球面上的一個圓上任一頂點。這形成了一個二面體，施萊夫利符號 中利用{1,2}來表示，與的兩個半球形一角形 面，共用一個360°的邊 和一個頂點 。它的對偶是一面形 ，施萊夫利符號 中利用{2,1}來表示，具有一個二角形 面（一個完整的360°弓形），一個180°的邊緣，和兩個頂點，因此屬於一面體 。
一角形二面體可以截角 為三面形 [ 2] [ 3]
三面形
作為球面鑲嵌的一角錐 一角錐是指底面 為一角形 的錐體，由於其底面為一角形，因此在歐幾里得空間 中，其已經退化無法擁有體積。在球面幾何學 中，其可以作為球面鑲嵌，此時的一角錐由1個球面一角形和1個球面三角形構成。這種一角錐共有2個面、2條邊和2個頂點。一角錐的對偶多面體同樣是一角錐，因此是一種自身對偶的多面體。
雙一角錐是以一角形 為底 的雙錐體，為一角柱 的對偶多面體。由於其以一角形為底，因此在歐幾里得空間中，其已經退化無法擁有體積。在球面幾何學 中，其可以作為球面鑲嵌，這種雙一角錐由2個面、3條邊和3個頂點組成，其兩個面都是三角形，但拓撲結構與三角形二面體 不同，其中的兩個頂點為對蹠點 ，剩下的一個頂點位於赤道面上連結與對蹠點相連的兩條邊。雙一角錐的對偶多面體為一角柱 。
{4,4}1 ,1 部分的環形多面體也是二面體，例如{4,4}1 ,1 [ 5] 1 ,0
部分的正則地區圖由兩個面組成，可以視為二面體的一種，例如虧格為2的二面正則地區圖有S2:{8,4}、S2:{6,6}和S2:{5,10}。其中S2:{8,4}為由兩個八邊形面共用4個頂點和8條邊[ 6] 8 來表示[ 7] [ 8] 2 來表示[ 7] [ 9] 2 來表示[ 7]
虧格
名稱
施萊夫利符號
頂點
邊
面
組成面
頂點圖
皮特里多邊形
對偶
2[ 7]
S2:{8,4}
{8,4}8
4
8
2
八邊形
四邊形（4個八邊形的公共頂點）
八邊形
S2:{4,8}（4個面）
S2:{6,6}
{6,6}2
2
6
2
六邊形
六邊形（6個六邊形的公共頂點）
二角形
自身對偶
S2:{5,10}
{5,10}2
1
5
2
五邊形
十邊形（10個五邊形的公共頂點）
二角形
S2:{10,5}（1個面）
3[ 10]
S3:{12,4}
{12,4}6
6
12
2
十二邊形
四邊形（4個十二邊形的公共頂點）
六邊形
S3:{4,12}（6個面）
S3:{8,8}4
{8,8}4
2
8
2
八邊形
八邊形（8個八邊形的公共頂點）
四邊形
自身對偶[ 11] [ 12]
S3:{8,8}2
{8,8}2
二角形
S3:{7,14}
{7,14}2
1
7
2
七邊形
十四邊形（14個七邊形的公共頂點）
二角形
S3:{14,7}（1個面）
4[ 13]
S4:{16,4}
{16,4}16
8
16
2
十六邊形
四邊形（4個十六邊形的公共頂點）
十六角形
S4:{4,16}（8個面）
S4:{12,6}
{12,6}4
4
12
2
十二邊形
六邊形（6個十二邊形的公共頂點）
四邊形
S4:{6,12}（4個面）
S4:{10,10}
{10,10}2
2
10
2
十邊形
十邊形（10個十邊形的公共頂點）
二角形
自身對偶
S4:{9,18}
{9,18}2
1
9
2
九邊形
十八邊形（18個九邊形的公共頂點）
二角形
S4:{18,9}（1個面）
在不嚴謹的情況下，圓錐 也能算是一種二面體，因為它可以看做是只有兩個面的幾何體，由一曲面（側面）和一圓形平面（底面）所組成。
名稱
種類
圖像
符號
頂點
邊
面
χ
面的種類
對稱性
一角形二面體
多邊形二面體
{1,2}
1
1
2
2
2個一角形
C1v
二面形
多面形 多邊形二面體
{2,2}
2
2
2
2
2個二角形
D2h
一角錐
角錐 退化 多面體( )∨{1}
2
2
2
2
1個一角形 三角形
C1v , [1]
雙一角錐
雙錐體 退化 多面體{ }+{1}
3
3
2
2
2個三角形
D 1h
四面形半形 [ 14]
多面形 多面體半形
{2,4}4 /2
1
2
2
1
2個二角形
三維多邊形
多邊形二面體
{n,2}
n
n
2
2
2個全等的多邊形
Dn hn 22）
二階無限邊形鑲嵌 [ 16] 鑲嵌圖
{∞,2}
∞
∞
2
2
2個無限邊形
[∞,2], (*∞22)
{4,4}1 ,1
環形多面體
{4,4}1 ,1
2
4
2
0
2個正方形
{3,6}1 ,0
環形多面體
{3,6}1 ,0
1
3
2
0
2個正三角形
S2:{8,4}[ 6]
正則地區圖
{8,4}8 [ 7]
4
8
2
-2
2個八邊形
S2:{6,6}[ 8]
正則地區圖
{6,6}2 [ 7]
2
6
2
-2
2個六邊形
S2:{5,10}[ 9]
正則地區圖
{5,10}2 [ 7]
1
5
2
-2
2個五邊形
圓錐體
非嚴格多面體
1
1
2
2
1個曲面
^ Gausmann, Evelise; Roland Lehoucq, Jean-Pierre Luminet, Jean-Philippe Uzan, Jeffrey Weeks. Topological Lensing in Spherical Spaces. Classical and Quantum Gravity. 2001, 18 : 5155–5186. arXiv:gr-qc/0106033 doi:10.1088/0264-9381/18/23/311 ^ 2.0 2.1 2.2 The dimonogon . weddslist.com. [2022-12-15 ] . （原始内容存档 于2021-07-31）. ^ The 3-hosohedron . weddslist.com. [2022-12-15 ] . （原始内容存档 于2022-12-15）. ^ Coxeter, H. S. M. ; Moser, W. O. J., Generators and Relations for Discrete Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 14 4th, Springer Verlag, 1980, ISBN 978-0-387-09212-6 ^ Coxeter 1980 [ 4] ^ 6.0 6.1 S2:{8,4} . weddslist.com. [2022-12-15 ] . ^ 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 Regular maps in the orientable surface of genus 2 . weddslist.com. [2022-12-15 ] . （原始内容存档 于2022-11-29）. ^ 8.0 8.1 S2:{6,6} . weddslist.com. [2022-12-15 ] . ^ 9.0 9.1 S2:{5,10} . weddslist.com. [2022-12-15 ] . ^ Regular maps in the orientable surface of genus 3 . weddslist.com. [2022-12-15 ] . （原始内容存档 于2021-10-19）. ^ S3:{8,8}4 . weddslist.com. [2022-12-15 ] . ^ S3:{8,8}2 . weddslist.com. [2022-12-15 ] . ^ Regular maps in the orientable surface of genus 4 . weddslist.com. [2022-12-15 ] . （原始内容存档 于2021-10-19）. ^ The hemi-4-hosohedron . weddslist.com. [2022-12-15 ] . （原始内容存档 于2020-02-01）. ^ The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 ^ Conway (2008)[ 15]
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