Октаедр має чотири спеціальні ортогональні проєкції, центровані ребром, вершиною, гранню і нормаллю до грані. Другий і третій випадок відповідають площинам Коксетера B2 і A2.
Октаедр можна представити, як сферичну мозаїку і спроєктувати на площину за допомогою стереографічної проєкції. Ця проєкція конформна, зберігає кути, але не довжини і площу. Відрізки на сфері віддзеркалюються в дуги кіл на площині.
Октаедр з довжиною ребра можна помістити в початок координат, так що його вершини лежатимуть на осях координат. Декартові координати вершин тоді будуть
(±1, 0, 0);
(0, ±1, 0);
(0, 0, ±1).
У x-y-zпрямокутній системі координат октаедр з центром з точці (a, b, c) і радіусом r — це множина всіх точок (x, y, z), таких, що
Площа і об'єм
Площа повної поверхні правильного октаедра з довжиною ребра a дорівнює
Об'єм октаедра (V) обчислюється за формулою:
Таким чином, об'єм октаедра в чотири рази більший за об'єм тетраедра з тією ж довжиною ребра, тоді як площа поверхні вдвічі більша (оскільки поверхня складається з 8 трикутників, а у тетраедра — з чотирьох).
Якщо октаедр розтягнути, щоб виконувалася рівність:
то формули для поверхні та об'єму перетворюються на:
Крім того, тензор моментів інерції розтягнутого октаедра дорівнюватиме:
Він зводиться до формули для правильного октаедра, коли:
Геометричні зв'язки
Октаедр являє собою перетин двох тетраедрів
Внутрішня (спільна) частина конфігурації з двох тетраедрів є октаедром, а сама ця конфігурація називається зірчастим октаедром (лат.: stella octangula). Конфігурація є єдиною зірчастою формою октаедра. Відповідно, правильний октаедр є результатом відсікання від правильного тетраедра чотирьох правильних тетраедрів з половиною довжини ребра (тобто повного усікання тетраедра). Вершини октаедра лежать на серединах ребер тетраедра і октаедр пов'язаний з тетраедром так само, як кубооктаедр та ікосододекаедр пов'язані з іншими платоновими тілами. Можна розділити ребра октаедра у відношенні золотого перетину для визначення вершин ікосаедра. Для цього слід розташувати вектори на ребрах, так, щоб всі грані були оточені циклами. Потім ділимо кожне ребро в золотому відношенні вздовж векторів. Отримані точки є вершинами ікосаедра.
Октаедр унікальний серед платонових тіл у тому, що тільки він має парне число граней при кожній вершині. Таким чином, це єдиний член групи, який має площини симетрії, що не перетинають жодну грань.
Якщо використовувати стандартну термінологію многогранників Джонсона, то октаедр можна назвати квадратною біпірамідою. Усікання двох протилежних вершин призводить до зрізаної біпіраміди[en].
Октаедр можна вписати в тетраедр, при тому чотири з восьми граней октаедра будуть суміщені з чотирма гранями тетраедра, всі шість вершин октаедра будуть суміщені з центрами шести ребер тетраедра.
Октаедр можна вписати в куб, при тому всі шість вершин октаедра будуть суміщені з центрами шести граней куба.
В октаедр можна вписати куб, при тому всі вісім вершин куба будуть розташовані в центрах восьми граней октаедра.
Такі многогранники комбінаторно еквівалентні правильному октаедру. Вони всі мають шість вершин, вісім трикутних граней і дванадцять ребер, що відповідає один до одного параметрам правильного октаедра.
Трикутні антипризми — дві грані являють собою рівносторонні трикутники, що лежать у паралельних площинах і мають загальну вісь симетрії. Решта шість трикутників рівнобедрені.
Чотирикутні біпіраміди, в яких щонайменше один екваторіальний чотирикутник лежить у площині. Правильний октаедр є спеціальним випадком, коли всі три чотирикутники є плоскими квадратами.
Многогранник Шенгардта, неопуклий многогранник, який можна розбити на тетраедри без введення нових вершин.
У загальному випадку, октаедром можна назвати будь-який многогранник з вісьмома гранями. Правильний октаедр має 6 вершин і 12 ребер, мінімальна кількість для октаедра. Неправильні восьмигранники можуть мати до 12 вершин і 18 ребер[4].
Існує 257 топологічно різних опуклих восьмигранників, виключаючи дзеркальні копії. Зокрема, є 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 восьмигранників з числом вершин від 6 до 12 відповідно[5][6]. (Два многогранники «топологічно різні», якщо вони мають внутрішньо різне розташування граней і вершин, так що немає можливості перетворити одне тіло в інше просто зміною довжини ребер або кутів між ребрами або гранями.)
Деякі відомі неправильні восьмигранники:
Шестикутна призма: Дві грані є паралельними правильними шестикутниками, шість квадратів з'єднують відповідні пари сторін шестикутників.
Семикутна піраміда: Одна грань є семикутником (зазвичай правильним), а решта сім граней трикутниками (зазвичай рівнобедреними). Неможливо домогтися, щоб всі трикутні грані були рівносторонніми.
Зрізаний тетраедр: Чотири грані тетраедра скорочуються до правильних шестикутників і утворюються три додаткові рівносторонні трикутні грані на місці відтятих вершин.
Форму октаедра мають міжатомні порожнини (пори) в щільноупакованих структурах чистих металів (нікелі, міді, магнії, титані, лантані та багатьох інших), а також іонних сполук (хлорид натрію, сфалерит, вюртцит та ін).
Якщо кожне ребро октаедра замінити одноомнимрезистором, то загальний опір між протилежними вершинами буде становити 1/2 ома, а між суміжними вершинами — 5/12 ома[7].
Шість музичних нот можна розташувати на вершинах октаедра так, що кожне ребро є співзвучне секунді, а кожна грань — співзвучна терції.
Тетраедрична зв'язка
Каркас з повторюваних тетраедрів і октаедрів винайдений Фуллером в 1950-х роках і він відомий як просторова рама[en] і вважається найміцнішою структурою, що чинить опір напругам консольної балки.
Пов'язані многогранники
Правильний октаедр можна збільшити до тетраедра додаванням чотирьох тетраедрів на грані, які чергуються. Додавання тетраедрів до всіх восьми граней утворює зірчастий октаедр.
Правильний октаедр можна розглядати як повністю зрізаний тетраедр і можна назвати тетратетраедром. Це можна показати за допомогою розмальованої двома кольорами моделі. При цьому розфарбовуванні октаедр має тетраедричну симетрію.
Порівняння послідовності усікання тетраедра і його двоїстої фігури:
Вищенаведені тіла можна розуміти як зрізи, ортогональні до довгої діагоналі тесеракта. Якщо розташувати цю діагональ вертикально з висотою 1, то перші п'ять перерізів зверху на висотах r, 3/8, 1/2, 5/8 і s, де r — будь-яке число в інтервалі (0,1/4], а s — будь-яке число в інтервалі [3/4,1).
↑Архівована копія. Архів оригіналу за 17 листопада 2014. Процитовано 27 жовтня 2017.{{cite web}}: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title (посилання)
Arthur S. Finbow, Bert L. Hartnell, Richard J. Nowakowski, Michael D. Plummer. On well-covered triangulations. III // Discrete Applied Mathematics. — 2010. — Т. 158, вип. 8. — DOI:10.1016/j.dam.2009.08.002.
Douglas J. Klein. Resistance-Distance Sum Rules // Croatica Chemica Acta. — 2002. — Т. 75, вип. 2. Процитовано 2006-09-30.
R. Williams. Chapter 5 The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff's // The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York : Dover Publications, 1979.